ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 412, № 3, с. 302-304
МАТЕМАТИКА
УДК 511.9
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЕТОК
© 2007 г. М. Н. Добровольский
Представлено академиком В.А. Садовничим 19.06.2006 г. Поступило 04.09.2006 г.
Рассмотрим произвольную решетку Л с [К5, 5 > 2, и ее гиперболическую дзета-функцию решетки £д(Л|а), а = а + и, задаваемую при а > 1 абсолютно
сходящимся рядом £н(Л|а) = X (х1 • х2 • ... • х5 )-а,
х е Л
где X' означает, что из суммирования исключен
» п »
х = 0, а для всех вещественных значении х полагаем х = тах(1, |х|).
Пусть Щх) = |х1х2.х5| - мультипликативная
норма вектора х. Она отлична от нуля только для точек общего положения, т.е. точек, не имеющих нулевых координат.
Дзета-функциеИ решетки Л будем называть функцию £(Л|а), а = а + И, задаваемую при а > 1 рядом
С(Л|а) = X
х е Л, N (х )* 0
N (х)-
(1)
5(т, Л) = X е
х е М(Л)
2п!(т, х) _
; Л*/Т
где т - произвольный целочисленный вектор. Рассмотрим для произвольной целочисленной
решетки Л и целого вектора т величину:
5л( т) =
[ 1, если т е Л, [о, если т е Т\Л
_ .(т, Л)
аёЛ"'
Символ 5Л( т) является многомерным обобщением известного теоретико-числового символа Коробова
6 N (т) =
[1, если т = 0( modN), 10, если т Ф 0 (modN).
Через О5 = [0; 1)5 будем обозначать 5-мерныИ полуоткрытый куб. Под сеткоИ мы понимаем произвольное непустое конечное множество М из О5.
Обобщенной параллелепипедальноИ сеткоИ М(Л) называется множество М(Л) = Л* п О5.
Для целочисленноИ решетки Л ее обобщенная параллелепипедальная сетка М(Л) является пол-ноИ системоИ вычетов взаимноИ решетки Л* по фундаментальноИ подрешетке Т5. Отсюда следует равенсто М(Л)| = detЛ. Для удобства полагаем N = detЛ.
ПолноИ линеИноИ кратноИ тригонометриче-скоИ суммоИ целочисленноИ решетки Л называется выражение
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Рассмотрим периодизированную по параметру Ь дзета-функцию Гурвица
с*(а; Ь) = X (п + Ь)-а, а = а + и,
0 < п + Ь
а > 1.
Она аналитически продолжается на всю комплексную плоскость, кроме точки а = 1, где имеет полюс первого порядка с вычетом, равным 1. При а < 0 периодизированная дзета-функция Гурвица имеет вид
с* (а; Ь) = 2(2п)а-1Г( 1- а) х
х
. па V
81Пт X
соз2ппЬ , па
---+ С08 —
1 - а 9
п
п=1 п=1
па
!т X
8т2 п пЬ
1 - а
Рассмотрим ряд Дирихле с периодическими коэффициентами вида
' к ь = X
^ 2шЬт/п
е
а = а + И, а> 1.
т =1
т
а
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
303
Для него справедлив частный случай общей теоремы (см. [2, с. 88]) об аналитическом продолжении рядов Дирихле с периодическими коэффициентами на всю комплексную плоскость. В частности, при а < 0 будет справедливо представление
/а, ^ = (2п)а-1Г( 1- а)х
х
I ni (а - 1)12 е ( ) ►I е -ni (а - 1) 12
i г 1Л 1 -а г л 1 -а
m =1 f i ь Ii m=0 f xi b 1 ]
m - i - r m + i - )
1 n I 1 n I
V V L J) V L J)
Полученный результат применим к еще одному виду рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Пусть
1 * '«■П) = X
2п ibmin
— а
m
а = G + it, о> 1.
Тогда при а < 0 справедливо равенство
а, b] = 1+2(2п)а-1 Г( 1- а)cos" ( а~ ' - х n) 2
х n
I
1
m =
nm + b ^ 0
(nm + b)
1 - а '
Через ряды Дирихле последнего вида при помощи тригонометрических сумм решеток выражается гиперболическая дзета-функция целочисленных решеток при а > 1:
се Л
Z н (Л|а) +1 = I' (Х1 •
= I
-а
Xs) + 1 =
5л( m)
det Л
(m1 • m2 • ... • ms)°
г е z
2ni (m, x
I I
X е М(Л) m е Z
(m, • m2 • ... • ms)0
S i /
к IП' *f«- bdex),
det Л
X е М(Л) 1 -
Нам потребуются присоединенная решетка Л^, которая определяется соотношением Лр = = det Л • Л*. Для любой целочисленной решетки Л ее присоединенная решетка Л(р) также является целочисленной. Поэтому, как известно (см. [1]), существуют аналитические продолжения £#(Л|а) и ^я(Л(р)|а) на всю комплексную а-плоскость, за исключением точки а = 1, где у них полюс порядка 5. Положим М(а) = 2Г(1 - а)(2п)а - ^т П-.
Теорема 1. Для дзета-функции произвольной целочисленной решетки Л в левой полуплоскости а < 0 справедливо представление
С(Л|а) = ±(М(а)Н1-а)Х(Л(р)\ 1- а).
Эта формула является функциональным уравнением для дзета-функции целочисленной решетки.
Пусть у г е Jt, 5, где множество 5 состоит из
целочисленных векторов у г, координаты которых образуют перестановку чисел от 1 до 5, причем координаты с первой по г-ю и с (г + 1)-й по 5-ю образуют возрастающие последовательности. Через П(у г) будем обозначать координатное подпространство П(уг) = {х | ху- = 0 (V = г + 1, г + 2, ..., 5)}. Если положить у* = (]1 + ..., у5,
ji, ..., 1t), то j* е Js
и
= П( jt) © (j * ) - раз-
где Ьу (х) = ху4е1Л - целое число (у = 1, 2, ..., 5) для
любой точки Х = (хъ х2, ..., х5) е М(Л). Используя это равенство, можно доказать следующую теорему.
ложение в прямую сумму координатных подпространств.
Положим (Л )> = Л п П(у г) - пересечение решетки с координатным подпространством. Через Л > будем обозначать г-мерную решетку, которая
уг
получается из решетки Л > отбрасыванием у каждой точки 5 - г нулевых координат. Таким образом, Л(р) - "присоединеная" г-мерная решетка.
уг
Теорема 2. Для гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решетки Л в левой полуплоскости а < 0 справедливо представление
Zh(Л|а) = IM(а)N-at I N-Ч(л!р)| 1-а).
t =1 -г
1t е Jt, S
m=-
S
304
Эта формула является функциональным уравнением для гиперболической дзета-функции целочисленной решетки.
В заключение выражаю благодарность В.Н. Чу-барикову за неоценимую помощь в работе.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 05-01-00672).
ДОБРОВОЛЬСКИИ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. 2-е изд. М.: МЦНМО, 2004.
2. Чудаков Н.Г. Введение в теорию Z-функций Дирихле. М.: Гостехиздат, 1947.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.