ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 10, № 4, 2014, стр. 5-15
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
ФУНКЦИЯ ГРИНА ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО ТЕРМОЭЛЕКТРОУПРУГОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОГО СЛОЯ
© 2014 г. Т.И. Белянкова1, В.В. Калинчук1
Поступила 01.09.2014
В рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций на конечные построена трехмерная функция Грина преднапряженного электротермоупругого функционально-градиентного слоя. Основание слоя в механическом плане предполагается защемленным, в электрическом - металлизированным и заземленным, в тепловом - теплоизолированным. В качестве опорного материала среды рассматривается пироэлектрик гексагональной сингонии с классом симметрии 6тт. При построении функции Грина среды использован гибридный численно-аналитический метод, который основан на сведении решения системы линеаризованных уравнений движения в частных производных с переменными коэффициентами к решению начально-краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка с условиями относительно расширенного вектора с компонентами векторов перемещений и напряжений, компонентами вектора индукции и теплового потока. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка с переменными коэффициентами строится методом Рунге-Кутты с модификацией Мерсона. Постановки задач о гармонических колебаниях электротермоупругого и термоупругого слоя даны в лагранжевой системе координат.
Ключевые слова: электротермоупругость, функционально-градиентный материал, начальные напряжения, начальная температура, преднагрев, трехмерная функция Грина.
ВВЕДЕНИЕ
Появление первых моделей функционально-градиентных материалов (ФГМ), т.е. материалов, свойства которых непрерывно изменяются в пространстве, сначала было связано с исследованиями в сейсмологии, фундаментостроении и геофизике [1-3], проблемами прочности трубопроводов, заполненных жидкостью, находящейся под большим статическим давлением [4-6]. Давление жидкости создает в стенке трубопровода неоднородное начальное напряженное состояние, которое при определенных динамических воздействиях может привести к аварийной ситуации. Массовое использование современных искусственных материалов в электронике и производстве высокотехнологичного оборудования привело к необходимости исследования физических, технологических и прочностных свойств новых материалов
1 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41, e-mail: kalin@ssc-ras. ru; tbelen415@mail.ru
в зависимости от режимов изготовления и условий их эксплуатации, что послужило стимулом для обширных экспериментальных, фундаментальных и прикладных исследований. В настоящее время моделирование структур с использованием ФГМ в большей степени связано с исследованиями по оптимизации параметров различного рода устройств на поверхностных акустических волнах (волны Гуляева-Блюштейна, Лэмба, Рэлея). Необходимо отметить, что для ФГМ или структур с функционально-градиентным покрытием в общем случае невозможно получить аналитическое решение динамических задач. В литературе [7-11] часто используется компромиссное предположение о том, что все параметры материала, включая плотность, изменяются по одному закону. Для моделирования ФГМ используются различные подходы. Так, в [7] использовано деление на слоистые элементы, в которых свойства материала являются линейными функции толщины. Иногда в качестве функциональных зависимостей изменения свойств материала по глубине используют либо технику разложения по степенным рядам [8], либо легко дифференцируемые экспоненциальные [9-11],
синусоидальные, гиперболические, квадратичные функции и многочлены [11]. Такой подход позволяет получить аналитическое решение, что, безусловно, важно для верификации результатов более сложного численного и численно-аналитического моделирования, но для моделирования неоднородности свойств материалов эффективен только в отдельных частных случаях.
Взаимосвязь тепловых, электрических и упругих полей в пьезоэлектрических материалах обеспечивает механизм для определения термомеханических возмущений в зависимости как от характера внешних воздействий, так и от способа получения материала, т.е. от начальных механических напряжений, наведенных электрических потенциалов, температурных режимов. В [12-14] на основе решения динамических связанных задач обобщенной теории электротермоупругости рассмотрены изотропные пироэлектрики и пьезотермоэлектри-ческий материал класса 6тт гексагональной син-гонии, построены функции Грина, исследованы особенности формирования и распространения поверхностных волн, влияние начальных воздействий не учитывалось. В [15-17] показано влияние начальных механических и температурных воздействий на динамику однородного слоя из термоупругого материала с классом симметрии 6тт. Построена трехмерная функция Грина среды, проведен анализ влияния начальных напряжений на ее дисперсионные свойства [15]. Получено решение смешанной задачи о колебании слоя под действием тепловой нагрузки, имитирующей действие модулированного по частоте лазерного луча [16], установлены особенности распределения теплового потока в области контакта в зависимости от характера, вида и величины начальных воздействий [17]. В [18] в системе координат Лагранжа, связанной с естественной конфигурацией тела, проведена последовательная линеаризация определяющих соотношений и уравнений движения нелинейной механики электротермоупругой среды в предположении, что начальное напряженное состояние однородно и создается за счет воздействия механических усилий и температуры (преднагрев), внешние электрические поля отсутствуют. В настоящей работе на основе полученных в [18] линеаризованных уравнений рассмотрена модель преднапряженного функционально-градиентного электротермоупругого слоя. Для более адекватного учета не только различного изменения свойств материала, но характера и величины начальных механических и температурных воздействий использован предложенный в [1] и получивший развитие в [19-21] гибридный численно-аналитический подход к построению функции Грина среды. В его основе лежит сведение систе-
мы линеаризованных уравнении движения среды в частных производных 2-го порядка с переменными коэффициентами к системе обыкновенных дифференциальных уравнении 1-го порядка с начально-краевыми условиями относительно компонент расширенного вектора перемещении и нормальных компонент вектора напряжении. Решение этоИ системы строится методом Рунге-Кутты с модификацией Мерсона, позволяющей контролировать погрешность вычислении.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат Лагранжа x1, x2, x3, связанную с естественным состоянием. Будем полагать, что термо-электроупругий слой 0 < x3 < h, |x1, x2| <да нижняя грань которого в механическом плане защемлена, в электрическом - металлизирована и заземлена, в тепловом - изолирована, совершает установившиеся колебания по гармоническому закону с частотой м. Слой выполнен из ФГМ, для которого в качестве опорного испольлзован пироэлектрик класса 6mm гексагональной сингонии. Начально-деформированное состояние (НДС) слоя создается за счет действия однородных начальных механических деформаций
R = r • K, G = K • KT, K = djOirrj, у, = const, (1)
и температуры. То есть среда предварительно нагрета или охлаждена (Г1), внешнее электрическое поле отсутствует, электрическое поле в материале невелико и возникает только за счет действия механических деформаций и температуры. R, r - радиусы-векторы точки среды в начально-деформированном и естественном состоянии соответственно; у, = 1 + d, di - относительные удлинения волокон, направленных в естественной конфигурации вдоль осей a, i = 1, 2, 3, совпадающих с декартовыми координатами; dj - символ Кронекера.
В рамках сделанных предположений краевая задача о колебаниях преднапряженной термоэлектро-упругой среды описывается [18] линеаризованными уравнениями движения
4 о • ® = - t~2 u, (2)
линеаризованным уравнением вынужденной электростатики
4 о $ d = 0, (3)
линеаризованным уравнением теплопроводности 40 • h - i~hT1 = 0; (4)
механическими граничными условиями на поверх-
ности тела o = o1 + o2
n • © = f *
op
u • u
I 02'
(5)
(6)
электрическими граничными условиями на поверх-
ности тела o
n • d = - d
Ф = Ф
О45
(1) (8)
тепловыми граничными условиями на поверхности тела о = о5 + о,
J6
n • h = - h
T = T
o6 ■
(9) (10)
Здесь 40 - оператор Гамильтона, ®, d и h - линеаризованные тензор механических напряжений, векторы электрической индукции и потока тепла, "Л - энтропия среды, определенные в отсчетной конфигурации; и*, f *, п - векторы перемещений, напряжений и внешней нормали к поверхности среды соответственно, определенные в естественной системе координат (звездочкой отмечены заданные в соответствующей области величины), р - плотность материала среды, d*, {*, к*, Т* -плотность распределения заряда, электрический потенциал, поток тепла и температура соответственно. Вектор потока тепла определяется в соответствии с законом теплопроводности Фурье h = - Я • 40Т (Я - тензор коэффициентов удельной теплопроводности). При проведении линеаризации использован термодинамический потенциал [18, 22], в котором удержаны слагаемые не выше второй степени по S и W (соответственно тензор деформаций Коши и материальный вектор напряженности электрического поля)
| = }4cw •
S •• S - 3e • W •• S -
1 2 1 (Т - Т0)2
- — 2Ь • W $ W — с£р0 --— -
2 2 0 Т0
-2Q •• 8 (Т - Т0)-1 Р • W(T - Т0). (11)
4СW - тензор IV ранга упругих констант II порядка, характеризующий линейную деформацию при постоянной температуре и электрическом поле; 2Ь - тензор II ранга констант диэлектрической восприимчивости, компоненты которого в линейном приближении связаны с компонентами тензора
2е соотноше-
диэлектрической проницаемости
кп = £0 + Зкп .
электрических констант II порядка, связанных
ниями £k„ = sn dk„ + bkn. 3e - тензор III ранга пьезо
с электроакустическими эффектами; ^ - тензорный коэффициент термоупругости; 1Р -
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.