КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 3, с. 201-217
УДК 629.197.2
ГАЛО-ОРБИТЫ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ Ь2 СИСТЕМЫ
СОЛНЦЕ-ЗЕМЛЯ © 2014 г. И. С. Ильин, В. В. Сазонов, А. Г. Тучин
Институт прикладной математики РАН, г. Москва sazonov@keldysh.ru Поступила в редакцию 26.03.2013 г.
Предложены способы построения орбит космического аппарата, остающихся длительное время в окрестности точки либрации системы Солнце—Земля — так называемых гало-орбит, и траекторий безымпульсного перелета на гало-орбиты с низкой околоземной орбиты. Гало-орбиты и траектории перелета строятся в два этапа. Сначала строится подходящее решение круговой ограниченной задачи трех тел, которое затем преобразуется в решение ограниченной задачи четырех тел с учетом реальных движений Солнца, Земли и Луны. В случае гало-орбиты на первом этапе задается ее прототип в виде комбинации периодического решения Ляпунова, существующего в окрестности точки ¿2 и лежащего в плоскости движения больших тел, и решения линейной системы второго порядка, описывающей малые отклонения КА от этой плоскости вдоль периодического решения. Искомая орбита ищется как решение задачи трех тел, наилучшим образом аппроксимирующее прототип в среднем квадратичном. Построенная орбита служит аналогичным прототипом на втором этапе. На обоих этапах аппроксимирующее решение строится методом продолжения по параметру, которым служит длина интервала аппроксимации. Аналогичным образом строятся траектории перелета. Прототип орбиты первого этапа задается в виде комбинации решения, лежащего в плоскости движения больших тел, и решения линейной системы второго порядка, описывающей малые отклонения КА от этой плоскости. Плоское решение начинается вблизи Земли и с течением времени стремится к решению Ляпунова, существующему в окрестности точки ¿2. Начальные условия обоих прототипов и аппроксимирующих решений соответствуют отлету КА с низкой околоземной орбиты с заданными расстоянием в перигее и наклонением.
БО1: 10.7868/80023420614030066
1. ГАЛО-ОРБИТЫ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ Ь2
Сначала построим орбиты указанного типа в рамках круговой ограниченной задачи трех тел (материальных точек). Затем преобразуем эти орбиты в решения ограниченной задачи четырех тел с реальными движениями Солнца, Земли и Луны.
Рассмотрим движение трех материальных точек Р1, Р2 и Р, притягивающихся по закону Ньютона. Массы точек Р1 и Р2 обозначим соответственно т1 и т2. Полагаем, что т1 > т2 и что точка Р не влияет на движение точек Р1 и Р2. Движение двух последних точек считаем круговым. Уравнения движения точки Р запишем в безразмерных переменных. Единицей длины будем считать расстояние Р1Р2, единицу времени выберем так, чтобы период обращения точек Р1 и Р2 вокруг их центра масс был равен 2п. В правой декартовой системе координат Р2хуг ось z направим по вектору кинетического момента точек Р1 и Р2, ось х — по
вектору Р1Р2. Приняв в этой системе Р2Р = (х,у,г), уравнения движения точки Р запишем в виде [1]
х" - 2у' +
( 1 Л [иЛ
3 3
'г г1 ) (
= (1 -ц)
у" + 2х' +
'1 - А)
V 1)
г 1 Л Ц +1
3 3
У = 0,
г +
^ 1 а
ц +1 -ц
3 3
чг г )
г1
г = 0,
(1)
I 2 , 2 /7Г" 2
г = V х + у + г , г1 = V (1 + х) + у + г
т2
ц = ■
т1 + т2
Здесь штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному времени т. Уравнения (1) допускают первый интеграл (интеграл Якоби)
Н =
(х-)2 + (у)2 + (г)2 - х2 - у2
- (1 -м) х-н - цн
г г1
2
201
преобразования
(2)
и инвариантны относительно переменных
т —> —т, у — —у.
Точкой либрации Ь2 называется стационарное решение системы (1) х = х0, у = г = 0, где х0 — положительный корень уравнения
х = з -
ц(1 + x
V 3 - 2ц + (3 - ц)х + х
При ц <§ 1 имеем х0 ~ 3ц/3. Для системы Солнце-Земля ц = 3.04 • 10-6, х0 = 1.008 • 10-2.
Малые колебания точки P в окрестности точки либрации L2 описываются линеаризованными уравнениями
Ах" - 2y - (2a + 1)Дх = 0, y" + 2Дх' + (a - 1)y = 0, z" + az = 0,
Дх = х - х 0, a = 4 + 1 3 = 3.940522. х0 (1 + х0)
Общее решение линеаризованных уравнений имеет вид [1]
Дх = c1 exp ^х + c2 exp(-^x) + c 3 cos ют + c4 sin ют,
y = k1[c1 exp^т - c2 ехр(-^т)] +
+ k2(c 3 sin ют - c4 cos ют),
z = c5 cos>/at + c6 singlaт. Здесь c1, ..., c6 — произвольные постоянные,
(3)
X =
ю
V9a2 - 8a + a - 2
2
V9a2 - 8a - a + 2
2
2a -1 2X
= 2.484317,
= 2.057014,
k2 =--
2X 2ю
X + a - 1
2
ю + 2a + 1
= -0.5452636,
= -3.187229.
мейства — отношение ю/л/а не должно быть целым числом. В данном случае это условие выполнено.
Семейства I и II принадлежат так называемому многообразию гало-орбит в окрестности точки Ь2. Это — семейство решений уравнений (1), ограниченных при т ^ ±да. С практической точки зрения гало-орбитами можно считать решения, остающиеся в окрестности точки Ь2 продолжительное время. Они могут быть использованы в качестве рабочих траекторий исследовательских КА. В малой окрестности этой точки гало-орбиты описываются формулами (3) при с1 = с2 = 0. Решения с с1 = 0 и с2 Ф 0 также представляют практический интерес. При т ^ они стремятся к гало-орбитам, причем некоторые из них прежде проходят вблизи Земли. Такие решения можно использовать для реализации перелета КА на многообразие гало-орбит [3, 4].
Далее будем рассматривать в основном решения семейства I. Это семейство и его продолжение в область конечных амплитуд исчерпывают так называемые плоские гало-орбиты, для которых г = г = 0. Периодические решения автономной системы определены с точностью до сдвига по времени. В силу инвариантности системы (1) относительно преобразования (2) в семействе I этот сдвиг модно выбрать так, чтобы решение с периодом Т удовлетворяло соотношениям х(-т) = х(т), у(-т) = -у(т) и определялось краевыми условиями
z' (T) = 0. (4)
ю2 - а + 1 2ю
Поскольку система (1) автономна, обладает первым интегралом и стационарным решением, к ней можно применить теорему Ляпунова о существовании периодических решений, называемых обычно его именем [2]. Согласно этой теореме в окрестности точки Ь2 существуют два семейства периодических решений Ляпунова, которые обозначим I и II. Семейство I имеет период Т ~ 2я/ю и близко решениям (3) при с1 = с2 = с5 = с6 = 0. В решениях этого семейства г = 0 — точка Р не покидает плоскости (х, у). Семейство II имеет период Т ~ 2тс/л/а и близко решениям (3) при с1 = с2 = = с3 = с4 = 0. Условие существования этого се-
х'(0) = у(0) = г'(0) = х' (Т) = у (Т
Произвольное решение краевой задачи (1), (4) продолжаемо на всю действительную ось как решение системы (1). Это решение — периодическое с периодом Т; в нем х и г — четные функции т, у — нечетная функция. При вычислении решений Ляпунова можно сразу положить в (1), (4) г = 0, что несколько упростит расчеты. Однако от решений краевой задачи (1), (4) с г = 0 могут ответвляться решения, имеющие г Ф 0 и представляющие практический интерес.
Решения краевой задачи (1), (4) удобно представлять графиками зависимости начальных условий х(0), у'(0) и г(0) от периода Т. Эти графики изображены на рис. 1а. Здесь представлены два семейства решений. Одно из них имеет г(0) = 0, и в его решениях г = 0. Кривые на рисунке, задающие начальные условия решений этого семейства, отмечены римской цифрой I, поскольку в окрестности точки х(0) = х0, у'(0) = г(0) = 0 оно представляет собой введенное выше семейство I. Для удобства все семейство, имеющее г(0) = 0, будем называть ниже семейством I. Указанная точка
S '_ -■ __-
1 £ 1 | 1
х(0)х-1 , z(0)хo-1, у'(0)х-1 (а) 1.380 1.017 0.653 0.290 -0.074
1.380 0.676
0
-0.676 -1.353
-2.903
Аь А2 2.266
(б)
1.983 2.386 1971.35
2.790 3.194 3.598 4.001
_
-
S /
| 1 1 1
1.983
2.487
2.992
3.497
4.001
1.983 2.386 2.790 3.194 3.598 4.001 Т
Рис. 1. Симметричные периодические решения в окрестности точки £2: (а) начальные условия решений краевой задачи (1), (4); (б) коэффициенты характеристического уравнения (5).
отвечает левому концу горизонтального луча I на графике начального условия г(0) и точкам с вертикальными касательными к кривым I на графиках начальных условий х(0) и у'(0).
Чтобы пояснить появление семейства решений с г(0) ^ 0 (отвечающие ему кривые на рис. 1а обозначены буквами 8' и 8"), опишем свойства устойчивости в линейном приближении вычисленных периодических решений. Рассмотрим характеристическое уравнение соответствующей системы уравнений в вариациях. Используя инвариантность системы (1) и вычисленных решений относительно преобразования (2), можно доказать что это уравнение — возвратное (возвратность характеристического уравнения обусловлена также тем обстоятельством, что систему (1) можно привести к гамильтоновой форме). Далее, поскольку система (1) автономна, характеристическое уравнение имеет корень 1, причем в силу указанной возвратности его кратность не ниже 2. С учетом сделанных замечаний это уравнение можно представить в виде
(р- 1)2(р2 - 4р + 1)(р2 - ^2Р +1) = 0,
(5)
где А1 и А2 — коэффициенты. Если А1 и А2 действительны и принадлежат отрезку [-2,2], то все корни уравнения (5) лежат на окружности |р| = 1 и выполнены необходимые условия орбитальной устойчивости исследуемого периодического ре-
шения. Такое решение называют орбитально устойчивым в первом (линейном) приближении. В противном случае это решение орбитально неустойчиво. Поскольку система (1) автономна, а исследуемые периодические решения образуют однопараметрические семейства с периодом в качестве параметра, эти решения всегда неустойчивы по Ляпунову.
Графики зависимости коэффициентов А1 и А2 от периода Т приведены на рис. 1б. Каждый из этих графиков выглядит как объединение двух гладких кривых (принято А1 < А2). Кривые, отмеченные цифрой I, отвечают семейству I. Как видно из рисунка, это семейство орбитально неустойчиво. Кривые 8, отвечают семейству решений задачи (1), (4), ответвляющемуся от семейства I. Ветвление имеет место в точке, где А1 = 2. В этой точке кривые 8' и 8" на графике начального условия г(0) имеют вертикальные касательные, а на графиках начальных условий х(0) и у'(0) эта точка отвечает правым концам кривых 8' и 8", которыми последние соединяются с кривыми I. Кривые 8' и 8" н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.