ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 4, с. 385-388
= МАТЕМАТИКА =
УДК 509
ГАМИЛЬТОНОВЫ СТРУКТУРЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ ГАМИЛЬТОНА-ДИРАКА
© 2015 г. Т. С. Ратью (Tudor Ratiu), О. Г. Смолянов
Представлено академиком РАН В.В. Козловым 14.11.2013 г. Поступило 04.12.2013 г.
Б01: 10.7868/80869565215040064
В сообщении обсуждаются гамильтоновы аспекты квантовой теории гамильтоновых систем со связями; в частности, на такие системы мы распространяем результаты работ [9] и [6]. В сообщении мы называем их обычно системами Гамильтона—Дирака, так как именно Дирак впервые определил их (назвав обобщенными гамиль-тоновыми системами). Такие системы возникают после применения преобразования Лежандра к лагранжевым системам без связей, но с сингулярной функцией Лагранжа (для которой преобразование Лежандра необратимо). Следует подчеркнуть, что гамильтоновы системы со связями не имеют ничего общего с лагранжевыми системами с голономными связями, однако их можно рассматривать как объект, двойственный лагранжевым системам с неголономными связями. Именно, преобразование Лежандра переводит лагранжевы системы с неголономными связями в гамильтоновы системы без связей, но с сингулярными функциями Гамильтона (для которых преобразование Ле-жандра необратимо).
Мы вводим два типа гамильтоновых структур на квантовых версиях систем Гамильтона-Дирака. Одна из них определяет обычную (но бесконечномерную) гамильтонову систему, другая -бесконечномерную систему Гамильтона-Дирака. Порождаемое первой структурой уравнение Гамильтона совпадает с уравнением типа Шрёдин-гера из [1]; вторая структура приводит к системе уравнений Гамильтона(-Дирака), совпадающей с системой уравнений типа Шрёдингера из [5]. Соответствующие уравнения Лиувилля и Лиувил-ля-Дирака (см. ниже) определяют эволюцию вероятностных распределений, описывающих состояния квантовых версий систем Гамильтона-Дирака. Гамильтоновы структуры на квантовых
Section de Mathématiques and Bernoulli Center, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Switzerland Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
версиях систем Гамильтона-Дирака позволяют также естественным образом определить вторичное квантование систем Гамильтона-Дирака (как квантование таких гамильтоновых структур (см. [9]). Такой подход может быть применен и к системам Гамильтона-Дирака с взаимодействием.
Отметим еще, что для (конечномерных) систем Гамильтона-Дирака можно определить аналог функции Вигнера; ее эволюция описывается системой "уравнений Мояла-Дирака", одновременно являющейся обобщением системы уравнений Лиувилля-Дирака, описывающей эволюцию неквантованной системы Гамильтона-Дирака, и уравнения Мояла, описывающего эволюцию квантовой версии классической гамильтоновой системы без связей (см. [5, с. 41; 7, §8.5; 8, §10.5] по поводу скобок Дирака). В случае бесконечномерных систем Гамильтона-Дирака вместо функции Вигнера необходимо использовать "меру Вигнера".
В этой работе мы рассматриваем алгебраические аспекты теории, опуская аналитические предположения.
1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ
Все рассматриваемые локально выпуклые топологические векторные пространства (ЛВП) предполагаются отделимыми и либо вещественными, либо комплексными. Если Е1 и Е2 - ЛВП, то ^"(Е1, Е2) - это пространство всех непрерывных п-линейных отображений пространства Е1 в Е2, наделенное, если не оговорено противное, топологией равномерной сходимости на компактных множествах; ^(Е1, Е2) := ^1(Е1, Е2). Топологическое сопряженное к ЛВП Е обозначается символом Е'; предполагается, что Е' наделено топологией, согласованной с двойственностью между Е' и Е. Если Т е е ^(Е1, Е2), то Т* е Е2, Е1) - его сопряженное; если Е1 и Е2 - ЛВП и V с Е1 - открытое множество, то отображение / V ^ Е2 называется гладким, если оно всюду бесконечно дифференциру-
емо по Гато (см., например, [3]), причем каково бы ни было компактное множество К с V, отображение Ух Кх ... К э (x, к1, к2, ..., кп) ^/(в)(х)(а1, Н2, ..., кп) е Е2 непрерывно, где/и)(x) е ^"(Е1; Е2) — это п-я производная Гато. Множество всех гладких отображений из ЛВП Е в ЛВП О обозначается символом 0ю (Е, О).
Почти пуассоново ЛВП — это пара (Е, где Е — это ЛВП и J: Е ^ *£(Е', Е) — гладкое отображение, такое что J(x)*(E') с Еи J(x)* = —J(x) для всех х е Е. Если/, g: Е ^ С (или Е ^ К в зависимости от того, является ли Е комплексным или вещественным векторным пространством) — гладкие отображения, то почти пуассонова J -скобка {/, g} определяется так: {/, g}(x) := /'(x)(J(x)g'(x))). J-скобка {•, •} билинейна, кососимметрична и удовлетворяет правилу Лейбница по каждому аргументу. Для нее справедливо тождество Якоби в точности тогда, когда к^^'^^^^Хк'з)] + + к^^^Як!)] + кз^^^к^)] = 0 для любого x е Е и к1, к2, к3 е Е'. В этом случае J-скобка является скобкой Пуассона и (Е, J) называется пуассоновым ЛВП. Если отображение J(x) обратимо для каждого x е Е, то предыдущее равенство выполняется в точности тогда, когда дифференциальная 2-форма x ^ [(у1, у2) ^ ^ (J(x)-1 v1)v2] на Е замкнута, В этом случае (Е, J) называется симплектическим ЛВП.
Для сокращения формулировок оказывается полезным использовать скобки Пуассона для функций, принимающих значения в многомерных векторных пространствах. Они могут быть определены следующим образом.
Пусть (Е, J) — симплектическое ЛВП, {•, •} — определенная выше скобка Пуассона, О1 и О2 — ЛВП, ¥1 и ¥2 — подпространства в С"(Е, С), а е О1, Ь е 02,/ е ¥1, g е ¥2 и (а ® Г)^) :=/^)а е 01, (Ь ® ® g)(x) := g(x)Ь е 02, так что (а ®/, Ь ® g) е Ою(Е, 01) х 0ю(Е, 02). Тогда скобка Пуассона {а ®/ Ь ® g} -это отображение из Е в О1 ® 02, определяемое так: {а ®/, Ь ® g}(x) := {/, g}(x)(а ® Ь), где {/, g} - скобка Пуассона скалярных функций. Если О3 — еще одно ЛВП, тогда для/е 0ю(Е, 0Х), g е 0ю(Е, 02), к е е 0ю(Е, О3) справедливо тождество Якоби; это значит, что для всех x е Е/, k}}(x) + {g, {к,/}^) + + {к, {/, g}}(x) = 0 в 01 ® 02 ® 03 (мы пользуемся "ассоциативностью" тензорного произведения). Произведение /• g определяется равенством / • g)(x) := :=/(л) ® g(x), так что / • g е 0ю(Е, О1 ® О2). При этом выполняется следующее правило Лейбница: {/, g • к} = {/, g} • к + g • {/, к} е 0ю(Е, О ® 02 ® Оз) (здесь используются "ассоциативность" и "коммутативность" тензорного произведения). Поэтому функцию {/, g} естественно называть скобкой Пуассона векторнозначных функций / и g.
2. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА—ДИРАКА И ЛИУВИЛЛЯ—ДИРАКА
Определение 1. Системой Га миль-то на—Дирака называется набор (Е, J, Ж, у), где (Е, J) — это симплектическое ЛВП, называемое фазовым пространством системы Гамильтона—Дирака, Ж — вещественная или комплексная функция на Е, называемая функцией Га -мильтона системы, у — гладкое отображение пространства Е во вспомогательное ЛВП Zv (при этом как отображение у, так и множество := := ^ е Е | у^) = 0} называются связями). Кроме того предполагается, что если у^) = 0, то {у, у}^) = 0 и {Ж, у}^) = 0, и что ноль — регулярное значение отображения у.
Замечание 1. Это определение является формализацией введенного Дираком определения обобщенных гамильтоновых систем со связями первого класса. Эти связи могут быть как первичными, так и вторичными, но для дальнейшего это различие не имеет значения.
Далее предполагается, что J(x) не зависит от x, так что J(x) = J е !£(Е', Е) для всех x е Е, где J* = —J. Так как производная J'(x) = 0 для каждого x е Е, то J-скобка является скобкой Пуассона. Поэтому (Е, J) — это пуассоново ЛВП и Сю(Е, С) — пуассо-нова алгебра.
Определение 2. Уравнением Гамильтон а—Д и р а к а для системы Гамильтона—Дирака (Е, J, Ж, у) называется уравнение /'(0 = J((ЖE(í))W))) относительно функции /: К ^ ^ е Е | у^) = 0}, где ЖЕ(?) := Ж + &(0у (функция ЖЕ(0 названа в [5] обобщенным гамильтонианом); символ (ЖЕ(0)' обозначает производную функции ЖЕ(?): Е ^ Я, и предполагается, что X — произвольная функция аргумента 1, принимающая значения в пространстве .
Определение 3. Система уравнений Лиувилл я—Д и р а к а — это система уравнений ¥(1) = {ЖЕ, ¥(?)}, {у, ¥(?)} = 0 относительно функции ¥(•) вещественной переменной принимающей значения в множестве гладких функций на пространстве Е; решением системы уравнений Лиувилля—Дирака называется функция ¥(•), удовлетворяющая уравнениям этой системы на множестве т.
Предложение 1. Уравнение Гамильтона— Дирака равносильно следующей системе уравнений:
g'(í)=J((Жш(gm, уско) = 0.
З а м е ч а н и е 2. Связь между последней системой уравнений и системой уравнений Лиувил-ля—Дирака аналогична связи между обыкновенным дифференциальным уравнением и уравнением для его первых интегралов.
ГАМИЛЬТОНОВЫ СТРУКТУРЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
387
3. КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ГАМИЛЬТОНА-ДИРАКА
В этом разделе определяется квантование по Шрёдингеру систем Гамильтона—Дирака и описывается связь между получаемой так квантовой системой и гамильтоновыми структурами. Сначала будут определены псевдодифференциальные операторы на порождаемых связью пространствах функций. При этом предполагается, что Е — ортогональная сумма пространств, Е = О © Р, являющихся копиями пространства К", и что рге: Е ^ О — каноническая проекция. Пусть $ с Е — подмногообразие, проекция рге($) которого является подмногообразием в О без границы и 9 $ — векторное пространство борелевских функций на определяемое так: у е 9$ в точности тогда, когда существует функция/ч е Х2(рге($)), для которой у р) = при всех (#, р) е Предполагается также, что 9$ снабжено гильбертовой нормой, определяемой так: ||у|| := Ц^Ц5)). Если к — непрерывная функция на Е и т е [0, 1], то 9$ с 9$ — векторное пространство всех функций 9$, для которых функция $ э р1) ^ к((1 — т)^ +
+ т^1,р1)е'Р'(( ?1) у(^1, р1) е С интегрируема по $ для
почти всех q е рге($), а функция (#,р) ^ ((1 — т)д +
$
+ тq1, р1) е'Р'(( ?1) у^, p1)dq1dp1 принадлежит пространству 9$.
Псевдодифференциальный оператор Нт в 9$ с т-символом к определяется так: его область опреде-
^ $ Н ^ $
ления Б(Нт) = 9$ и если р) е (Нт у)^, р) := := |Н ((1 — т)q + тql,р1)?1)(ql,
Отображения к 1
Нт можно назвать т-квантова-
дов ее построения. Если т = 0, то Р действует
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.