Автоматика и телемеханика, JVS 1, 2008
Адаптивные и робастные системы
PACS 02.30.Yy
© 2008 г. В.И. КУЛАКОВА, канд. техн. наук, A.B. НЕБЫЛОВ, д-р техн. наук (Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения)
ГАРАНТИРОВАННОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ДИСПЕРСИЯМИ ПРОИЗВОДНЫХ1
Рассматривается задача оценивания сигнала на фоне белого шума, когда информация о сигнале представлена в виде числовых характеристик, таких как ограничения на дисперсию самого сигнала и дисперсии некоторых его произВОДНЫХ. Предлагается метод решения этой задачи с использованием аппарата фильтрации во временной области, путем минимизации функционала, являющегося комбинацией Н2 -нормы передаточной функции от шума измерения к ошибке оценивания и Нто-нормы передаточной функции от порождающего шума к ошибке оценивания.
1. Введение
Рассматривается задача оценивания сигнала по зашумленным измерениям (1) у(г) = 8(г)+ п(г),
в которых полезный сигнал в (¿) и шум измерения п(€) предполагаются некоррелированными между собой, стационарными в широком смысле, центрированными случайными процессами. Для описания сигнала и шума используются стохастические модели (спектральные плотности или корреляционные функции), а сведения о законах распределения сигнала и шума не привлекаются. В связи с этим для получения оценки используется линейный фильтр. Полагается, что существует установившееся решение задачи оценивания, означающее, что ошибка в(€) = в(£) — где -оценка сигнала, является стационарным процессом.
При точном знании структуры и параметров моделей оцениваемого сигнала и шума для решения задачи оценивания используются методы оптимальной линейной фильтрации, когда минимизируется среднеквадратическая ошибка
M[e(t)2\ = M (s(t) - s(t))
\2
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 06-08-00550-а).
При этом фильтр мозкет быть синтезирован как в частотной (фильтр Винера), так и во временной (фильтр Калмана) областях [1]. Отметим, что, учитывая центрированность ошибки линейного фильтра при центрированных сигнале и шуме, минимизация среднего квадрата ошибки равносильна минимизации ее дисперсии De.
В прикладных задачах часто возникает ситуация, когда отсутствует достоверная информация о свойствах сигналов. В таких случаях применение фильтра Калмана нередко приводит не только к отличию ожидаемых точностей от их реальных значений, но и к расходимости процесса фильтрации, когда ошибка фильтрации неограниченно возрастает.
Для преодоления этой проблемы в последние годы уделяется много внимания построению фильтров, которые обеспечивают некоторую оценку сверху для дисперсий действительных ошибок оценивания этим фильтром сигналов во всей заданной области неопределенности в модели [2-6]. Такие фильтры получили название робастных или гарантирующих фильтров и могут рассматриваться как обобщение стандартного фильтра Калмана на случай неопределенности в системе. Кроме того, большой интерес привлекли фильтры, минимизирующие Нс-норму передаточной функции от шумов к ошибке оценивания [7, 8]. Отметим, что фильтр Калмана минимизирует H2-норму этой передаточной функции. Исследования показали, что Нс-фильтры являются малочувствительными в смысле точности оценивания к отличию действительных характеристик сигнала и шума от расчетных [9]. Более того, Нс-фильтры могут быть обобщены на случай неопределенности в модели [10].
Главное отличие робастного подхода, предлагаемого в данной работе от перечисленных выше, заключается в том, что априорная информация об оцениваемом сигнале (и, возможно, о шуме) представляется в виде числовых характеристик, таких как ограничения на дисперсии сигнала и некоторых его производных. Это означает, что о сигнале (шуме) известна лишь его принадлежность некоторому классу, который обозначается в дальнейшем как Vff. Класс сигналов Vff составляют М-кратно дифференцируемые стационарные в широком смысле случайные процессы, для которых известны ограничения на дисперсии производных порядков от L до М равные
mlM ^
{Di}L < те, т.е. процессы со спектральными плотностями, удовлетворяющими выражению [11, 12]
сю
(2) — í w2iS< D , i = L~M, М > L > 0.
2п J
— с
Отметим, что величины {Di }M являются ограничениями на моменты функции S(w). Также заметим, что дисперсия самого сигнала, как и дисперсии его про-
L
1 г í 11 г ir 'г 11 'i i г ir V ii£"ii-i>iícif"i 1 г ir m (i НСХ1ИЛ 11Í I НМЛ. 11 111 Hil l I 11 г>1. i.e.
с
У w2iS(u¡)du < те, 0 < i < L.
Априорная информация о сигнале в виде величин {А}М обладает большой достоверностью и может быть получена исходя из эвристических, инженерных соображений, дазке не прибегая к анализу реализаций процесса. При этом фильтр, опирающийся на информацию лишь о нескольких таких числовых характеристиках, будет гарантировать непревышение некоторой заранее заданной допустимой ошибки оценивания для всех сигналов, принадлежащих классу Vм, независимо от конкретного вида спектральной плотности сигнала. Этим объясняются робастные свойства такого фильтра.
Подобная априорная информация может показаться довольно скудной, однако в [13, 14] показано, что такой фильтр обычно лишь немного уступает по точности оптимальному фильтру, построенному для некоторой спектральной плотности, обладающей моментами {Д^^. В то же время робастный фильтр обеспечивает эффективное и надежное оценивание сигналов, даже в условиях некоторой неопределенности или нестабильности самих значений спектральных моментов, по которым он синтезировался. Именно поэтому предлагаемый робастный подход может найти широкое применение во многих задачах обработки сигналов, например при радиолокационном сопровождении движущихся объектов, при управлении посадкой самолета, в задачах связанных с анализом геофизических полей. Модель в виде верхних ограничений на дисперсии производных адекватно описывает уходы гироскопов и ошибки инерциальных навигационных систем, а также такие возмущения, как порывы вбтрэ.-.
В [12, 15] разработан алгоритм построения фильтра в частотной области для оценивания сигнала, когда информация о сигнале и, возможно, о шуме измерения задана в виде характеристик (2). Согласно этому алгоритму построение робастно-го фильтра сводится к оптимизации частотной передаточной функции фильтра с заданной структурой по критерию минимума оценки сверху для дисперсии ошибки в установившемся режиме. Такой фильтр обладает гарантирующими свойствами в установившемся режиме по отношению ко всем сигналам на входе из класса Vм. Подробнее этот алгоритм описан в Приложении. Отметим лишь, что сложность его реализации, а также то, что он предоставляет возможность рассмотреть только установившийся режим оценивания, ограничивают возможности решения практических задач с помощью этого алгоритма.
В данной работе предлагается постановка задачи оценивания во временной области, когда об оцениваемом сигнале или (и) шуме измерения известно только то, что они принадлежат классу . Основой ему служит представленный в первом разделе способ описания таких сигналов в пространстве состояний. Целесообразность предлагаемого подхода демонстрируется в разделе 3 на примере решения задачи стационарной фильтрации сигнала с ограниченными дисперсиями производных на фоне белого шума, где показано, что подобный подход позволяет определить структуру робастного фильтра и проводить его синтез путем Н2/Нж оптимизации передаточной функции от шумов к ошибке оценивания. Таким образом, открывается возможность использования хорошо разработанного аппарата фильтрации во временной области для оценивания сигналов при такой априорной информации.
2. Представление сигналов с ограниченными дисперсиями производных в пространстве состояний
Самостоятельным результатом работы является доказательство следующей леммы, которая позволяет описать сигнал, принадлежащий классу Vм, в пространстве состояний при фиксированной неопределенности в модели.
Лемма 1. Пусть сигнал в(Ь) € Vм, тогда, его спектральную плотность Б(ш) всегда можно представить в виде
См м \
]Тс А/]Г ^ (ш),
г=Ь г=Ь )
где {сг}м 1 < те [с2г] - произвольные положительные размерные коэффициенты,
измеряемые в секундах в степени 21, см = 1с2м, а, Бш (ш) - некоторая спектральная
()
ряющая условию
сю
(4) 2П / ^М^ < 1.
Из леммы 1 следует, что любой сигнал из класса может быть получен путем пропускания порождающего сигнала с ограниченной дисперсией через формирующий фильтр.
Сделаем несколько замечаний. Если сигнал £ т.е. известна верхняя граница дисперсии Ь-й производной сигнала В^, то этот сигнал может быть получен путем Ь-кратного интегрирования сигнала с ограниченной дисперсией w(t), т.е. его спектральная плотность 5(—) представима в виде
(5) 5(-) = (-).
Более полную информацию о сигнале позволяют задать несколько ограничений на спектральные моменты (2). В этом случае представление сигнала из класса Т^ в виде (3) является неоднозначным, поскольку он может быть получен из сигнала с ограниченной дисперсией при любом наборе коэффициентов \
Из результатов леммы 1 следует, что любой сигнал из класса Тм описывается в пространстве состояний в виде
(6)
Х^) = Ах(г) + Б'ш({), г^) = Ох^),
где х(€)м х1 _ состояние системы; - входной сигнал неизвестного спектра и ограниченной единицей дисперсией; г^) - выходной сигнал. Для матриц АмхМ, Бмх1, О1хМ справедливы следующие выражения:
( 0 1 О О
А=
О
О
Б
/ м
V ШСгА)
\ -Р0 -Р1 -Р2 -Р3
О \
О
\
1
-Рм-1 )
О=
1
О О О
О
Г 1М-1 „
где {С{}ь < те
коэффициенты полинома Р(]ш) = + рм)м-1 + ... + ро, такого, что
произвольные положительные коэффициенты, см = 1; (р^}
м-1
м
Р0)Р(—•-)=£ С;-2\
г=Ь
1
Т
Например, если сигнал принадлежит класс у То, то для его спектральной плотности можно записать 5(ш) = Бы(ш) (с?В0 + Дс2 + ш2), тогда представление сигнала в пространстве состояний имеет вид
х(г) = -сх(г) + V с2Б0 + В1ш(г), х(г) = х(г).
Из сказанного выше можно сделать вывод о том, что сигнал из класса описывается в пространстве состояний, когда неопределенность в модели заключается в спектре порождающего сигнала ш(Ь) и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.