МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2013
УДК 539.3
© 2013 г. В. Г. ПОПОВ
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ТРЕЩИНОЙ, ВЫХОДЯЩЕЙ НА ПОВЕРХНОСТЬ В УСЛОВИЯХ АНТИПЛОСКОЙ
ДЕФОРМАЦИИ
В статье изложено решение задачи по определению напряженного состояния в упругом изотропном полупространстве с трещиной, пересекающей его границу, при гармонических колебаниях продольного сдвига. Колебания происходят в результате действия на берега трещины гармонической сдвигающей нагрузки. Метод решения основан на использовании разрывного решения уравнения Гельмгольца, что позволило исходную краевую задачу свести к сингулярному интегродифференциальному уравнению относительно неизвестного скачка перемещения на поверхности трещины. Решение этого уравнения затруднено наличием у ядра неподвижной особенности. Поэтому одним из основных результатов является разработанный эффективный приближенный метод его решения, учитывающий истинную асимптотику неизвестной функции. Последнее дало возможность получить высокоточную приближенную формулу для расчета коэффициента интенсивности напряжений.
Ключевые слова: трещины, гармонические колебания, коэффициент интенсивности напряжений, сингулярное интегро-дифференциальное уравнение, неподвижная особенность.
1. Введение. Поверхность реальных твердых тел не бывает идеальной, так как тела, как правило, содержат микродефекты в виде трещин, выходящих на поверхность. Развитие этих трещин под действием приложенной нагрузки может привести к локальному или полному разрушению тела. Вследствие этого исследование распределения напряжений в телах с трещинами, выходящими на поверхность, является актуальной научной проблемой, которой посвящено большое количество научных работ.
Наиболее многочисленные из них содержат решение задач статики упругих тел с такими трещинами. Анализ этих работ показывает, что один из эффективных методов решения подобных задач является сведение их к сингулярным интегральным уравнениям. В некоторых случаях [1—4] удается решить эти уравнения в замкнутой форме и получить точные формулы для расчета коэффициентов интенсивности напряжений (КИН). Однако, как правило, эти сингулярные интегральные уравнения решаются численно. Такое решение этих уравнений затруднено наличием кроме ядра Коши, еще и ядра с неподвижной особенностью, которое влияет на особенность их решения на концах промежутков интегрирования. Несмотря на это, в большинстве случаев численное решение базируется на применение коллокационных методов типа механических квадратур, основанных на использовании квадратурных формул Гаусса—Чебы-шева [5—10], предусматривающих на концах отрезка интегрирования корневую особенность. При этом истинное поведение решения в точке, где имеет место неподвижная особенность или совсем игнорируется, или накладывается дополни-
Механика твердого тела, № 2, 2013
у х1
\
-а
................................................................' О х
г
Фиг. 1
тельное условие, обеспечивающее в этой точке особенность более слабую, чем корневую [6—8]. Другим существенным недостатком применяемых в указанных работах численных методов является то, что для интегралов с неподвижными особенностями формально используются квадратурные формулы Гаусса—Чебышева. В результате сходимость численных методов оказывается довольно низкой и для достижения результатов с погрешностью менее 0.1% необходимо в квадратурных формулах использовать несколько десятков узлов [8].
Что касается динамических задач, в частности гармонических, для тел с трещинами, выходящими на поверхность, то их решения появляются несколько позже. Решение этих задач методом сингулярных интегральных уравнений и граничных элементов можно найти, например, в работах [11—17]. Полученные интегральные уравнения решались численно, методами, которым присущи отмеченные выше недостатки.
В настоящей статье приведено решение задачи о гармонических колебаниях полупространства в условиях антиплоской деформации с трещиной, выходящей на поверхность под произвольным углом. Метод решения указанной задачи состоит в сведении ее к сингулярному интегродифференциальному уравнению относительно взаимного смещения берегов трещины. Для этого уравнения разработан эффективный и высокоточный численный метод, учитывающий истинную особенность решения и основанный на применении, как для интеграла Коши, так и интеграла с неподвижной особенностью специальных квадратурных формул.
2. Постановка задачи. Пусть изотропное упругое полупространство у > 0 находится в условиях антиплоской деформации и содержит наклонную трещину, выходящую на его поверхность под углом а и занимающую в плоскости Оху отрезок длины 2а (фиг. 1). В полупространстве происходят гармонические колебания в результате действия на
Г- ^ п -И^ ^ -¡^
берега трещины сдвигающей нагрузки интенсивности Ре . Далее множитель е , определяющий зависимость от времени, опускается. В этих условиях, отличная от нуля % -компонента вектора перемещений ж (х, у) находится из уравнения Гельмгольца
д 2ж/дх2 + д 2ж/ду2 + к= 0, к 2 = рю2/О (2.1)
где р — плотность, G — модуль сдвига упругой среды.
Поскольку поверхность полупространства свободна от напряжения, то на ней выполняется равенство:
т%у (х,0) = О^(х,0) = 0, -<»< х (2.2)
ду
4 Механика твердого тела, № 2
97
Для формулировки граничных условий на трещине вводится локальная система координат O1x1y1, так что ось Охх направлена вдоль отрезка, занимаемого трещиной, а центр Ox совпадает с серединой этого отрезка (фиг. 1).
Тогда точка O1 имеет координаты x01 = a cos a, y01 = a sin а, а связь между координатами в обеих системах дается формулами
x = (а + x1) cos a- y1sin a, x1 = x cos а + y sin а- а (2 3)
y = (а + x1 )sin a + y1cos a, y1 = -x sin а + y cos а
Пусть w1 (x1,y1) перемещение w(x,y), где x и y выражены по формулам (2.3). Тогда на берегах трещины выполняется равенство
тzy1(x1, ±0) = G—w1 (x1, ±0) = P, - a < x1 < a (2.4)
dy1
Кроме того, перемещение на поверхности трещины разрывно и имеет скачок, для которого введено обозначение
W1 (xb +0) - W1 (x1, -0) = x (x1), - a < x1 < a, x (-a) = 0 (2.5)
При данных условиях требуется определить коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины.
Решение сформулированной задачи начинается с построения в системе координат O^y разрывного решения уравнения Гельмгольца со скачком (2.5) на линии расположения трещины. Таким разрывным решением является функция [18]:
a
д с
W1 (xb y1) = — I X (n) r2 (n - xl, y1) dn dy1 J
-a
Г (n-x1,y1) = -1 J^e«™^ = -[H01)(KW(n-x1 )2 + y?) (2.6)
2n 2y2(в) 4
Теперь в системе Oxy перемещение представляется в виде
w (x, y) = w¡¡ (x, y) + wj (x, y) (2.7)
wo (x, y) = w° (x cos a + y sin a - a, - x sin a + y cos a)
где w¡¡ (x,y) — решение уравнения Гельмгольца (2.1), такое что для (2.7) справедливо (2.2). Это означает выполнение равенства
00 Í П\ 01 / ns _ 0k , n1
Tyz (x,0j = -Tyz (x,0), x Tyz = k = 0,1
dy
Такое решение уравнения (2.1) строится методом интегральных преобразований (по переменной x применяется преобразование Фурье):
a
w00 y) = 2П ^ X (п) R (n xy)dn (2.8)
-a
R (n, x, y) = - ^(y cos a+x sin a) H1(1) (к 2JÍ0) 2
q0 = (n + a) + x2 + y2 + 2 (n + a) (y sin a- x cos a)
С помощью (2.6)—(2.8) в системе координат, связанной с трещиной, перемещение представляется в виде
W1 (xi, У1) = wj (xi, У1) + Wi0 (xi, У1)
(2.9)
где функция м (хьу1) получена из м0 (х,у) путем преобразования координат (2.3) и имеет вид:
W10 (xi,yi)= -1 i х(n) R (n,xi,yi)dn
2n
(2.10)
Ri (n, xi, yi) = -inK2 —i—(к2) ((a + xi) sin 2a + yi cos 2a)
2 Vqi
qi = (n + a)2 + (a + xi )2 + yi + 2 (n + a) (yi sin 2a - (xi + a) cos 2a)
Теперь для полного решения задачи осталось удовлетворить условию (2.3) на берегах трещины. Результатом подстановки (2.9) в (2.3) является интегральное уравнение для определения неизвестного скачка перемещения на трещине. Это уравнение после выделения сингулярных составляющих в подынтегральных функциях формул (2.6), (2.10) имеет вид:
±
2п
1 х (п)
i д (п + a) cos 2a - (xi + a)
qoi
(п- xi )2 дп i- J X (n) Г-K^ln^ + Ur (n - xi) + Vr (n, xi)
dn +
2n
dn =
G
- a < xi < a
q01 (п, х^) = (п + а)2 + (а + х1)2 - 2 (п + а) (а + x1)cos2a
UR (п-Х1) = 0((п-Х1 )2 • 1п |п - х1), п-Х1 ^ 0
где VR (п, х1) — ограниченная при - а < п < а, —а < х1 < а — функция.
Можно видеть, что полученное интегральное уравнение является гиперсингулярным интегральным уравнением, которое кроме обычной сингулярности в виде квадрата ядра Коши имеет еще и неподвижную особенность при п = -а, х1 = -а. С целью снижения порядка сингулярности в гиперсингулярной составляющей выполняется операция интегрирования по частям. При этом оказывается, что внеинтегральная составляющая обращается в нуль. Результатом этого действия является следующее сингулярное интегродифференциальное уравнение с неподвижной особенностью
2П Í fw
i
lt-z
- Я (t Z)
d t +
i
i
+ 2П íf(T)
-i
-^fln |t-z + u (t-z) + v (, Z)
(2.11)
d t = P0
a
-a
4* 99
, rs ¿a-(Z + 1)
g (т Z) = Т-2 , w-\- /-Г2, -1 <Z< 1
(т + 1)cos 2a - (z + 1) (т + 1)2 - 2(т + 1)(Z + 1)cos2a + (Z + 1)2
При выводе уравнения (2.11) введены обозначения:
П = ат, x = aZ, X (ат) = аф (т), х' (ат) = ф' (т)
U(t-Z) = a2UR (а(т-Z)), V(т,Z) = a2VR (ах,aQ (2.12)
к о =к 2a, Po = P/G
3. Приближенное решение сингулярного интегродифференциального уравнения. Наличие в сингулярной части уравнения (2.11) неподвижной особенности при т = Z = -1 влияет на поведение его решения в окрестности точки т = -1. Особенность решения в окрестности этой точки может быть определена либо путем обращения сингулярной части методом факторизации [1—4], либо путем исследования символа сингулярного ядра методом, изложенным в [19].
В результате определено, что производную неизвестной функции ф'(т) следует разыскивать в виде
ф'(т) = (1 -т)-^2 (1 + т) V(т) (3.1)
где показатель степени у определяется равенством
Y =
a
п - a
п - a
a
0 < a <п
п < a < п
2
Функция у (т) удовлетворяет условию Гельдера при -1 < т < 1. В дальнейшем приближенный метод решения основывается на аппроксимации этой функции интерполяционным
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.