ГАУССОВ ВАРИАЦИОННЫ И АНЗАЦ В ПРОБЛЕМЕ АНОМАЛЬНЫХ МОРСКИХ ВОЛН: СРАВНЕНИЕ С ПРЯМЫМ ЧИСЛЕННЫМ МОДЕЛИРОВАНИЕМ
В. П. Рубан*
Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук 1424З2, Черноголовка, Московская обл., Россия
Поступила в редакцию 7 декабря 2014 г.
Нелинейная динамика косо ориентированного пакета волн на морской поверхности исследуется аналитически и численно для различных начальных значений параметров пакета в связи с проблемой так называемых волн-убийц (rogue waves). В рамках гауссова вариационного анзаца, примененного к соответствующему (1+20)-мерному гиперболическому нелинейному уравнению Шредингера, выведена упрощенная лагранжева система дифференциальных уравнений, описывающая эволюцию коэффициентов действительной и мнимой квадратичных форм, присутствующих в гауссиане. Эта модель дает полуколичественное описание процесса нелинейной пространственно-временной фокусировки — одного из наиболее вероятных механизмов формирования аномальных волн в случайных волновых полях. Система интегрируется в квадратурах, что позволяет лучше понять качественные различия между линейным и нелинейным режимами фокусировки волнового пакета. Проводится сравнение предсказаний гауссовой модели с результатами прямого численного моделирования полностью нелинейных длинногребневых
DOI: 10.7868/S0044451015050213 1. ВВЕДЕНИЕ
Аномальные волны на поверхности океана и в других физических системах (также известные как гигантские волны, «волны-убийцы», rogue waves, freak waves) в наше время стали популярным объектом исследований (см., например, обзоры [1 3] и ссылки в них). Часто используемая математическая модель для этого явления (1—Ш)-морноо нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) с фокусирующей нелинейностью. В частности, такое уравнение описывает комплексную амплитуду основной гармоники квазимонохроматической слабоиелинейной поверхностной волны над плоскими потенциальными течениями идеальной жидкости [4]. За счет нелинейной самофокусировки в достаточно протяженной и высокой волновой группе развивается модуляционная неустойчивость [4, 5]. В результате образуется одномерная аномальная волна. Такой сценарий подтверждается численными и лабораторными экспериментами [6 11]. Полная интегрируемость делает
E-mail: ruban'fflitp.ac.ru
(1—Ш)-НУ1П привлекательным для аналитического исследования и позволяет получать точные решения, описывающие некоторые важные свойства реальных волн-убийц (см., например, [12 16]).
В природе, однако, морские волны далеки от одномерной модели (см., например, [17 23]). Когда имеются возмущения свободной поверхности жидкости, зависящие от обеих горизонтальных координат, тогда волновая динамика становится намного сложнее уже в рамках соответствующего НУШ, не говоря уже о сильно нелинейных режимах. Во-первых, (1—2В)-морноо НУШ не является интегрируемым. Во-вторых, в случае волн на глубокой воде пространственный дифференциальный оператор в нем оказывается гиперболическим:
Щи. + -фхх - Фуу + \ф\2-ф = 0. (1)
Здесь используются безразмерные переменные ко А* 'ф, 2ко->: ■>:■ \/%коу у, где
А(х,у,1) комплексная огибающая главной гармоники, ко волновое число, и>о = 2тг/ТЬ = \fgko частота несущей волны (при этом система отсчета движется с групповой скоростью гдг = (1/2)\/д/ко вдоль оси .г). Хотя уравнение (1) имеет ряд су-
щественных недостатков, которые мы здесь не обсуждаем, все же оно лучше приспособлено для проведения приближенных аналитических исследований, чем его модифицированные варианты, в которых неизбежно приходится вводить псевдодифференциальные операторы.
Таким образом, в поперечном направлении нелинейность действует дефокусирующим образом, а в продольном направлении она стремится сфокусировать волновой пакет. К этому добавляется линейная дисперсия. В результате действия указанных факторов поведение нелинейной группы волн на двумерной свободной поверхности жидкости оказывается более разнообразным по сравнению с одномерным. В зависимости от начальных условий нелинейность может как усилить, так и ослабить фокусировку. В случае усиления образуется аномальная волна. Кроме того, волны-убийцы могут появляться в результате взаимодействия ранее образовавшихся когерентных структур [20]. Впрочем для обычных волновых полей, где наличие когерентных структур маловероятно, более актуален сценарий появления аномальной волны путем случайной пространственно-временной фокусировки (см. [24, 25] и ссылки там).
В целом вопрос об оптимальных условиях нелинейной фокусировки остается далеко не ясным. Понятно только, что, как и в одномерном случае, начальная группа волн должна быть достаточно высокой и/или протяженной. Но влияние геометрической формы пакета и модуляции фазы на развитие высокой волны исследованы мало. При отсутствии точных решений двумерного НУШ, которые давали бы количественное описание этих процессов, представляется целесообразным провести приближенное рассмотрение динамики идеализированного волнового пакета, характеризующегося небольшим числом зависящих от времени параметров. Тем самым будет придан конкретный смысл изложенным выше качественным соображениям и поставлен своеобразный ориентир в направлении развития будущей более точной теории трехмерных волн-убийц.
Целыо настоящей работы является исследование нелинейной динамики волнового пакета в рамках полного гауссова вариационного анзаца, т.е. при наличии недиагоналыгой части у квадратичной формы под экспонентой. Такой пакет имеет эллиптическую форму с главными осями, ориентированными под некоторым, зависящим от времени углом по отношению к осям координат. В отличие от более широко известного диагонального анзаца (см., например, [26 34]), полный гауссов анзац ранее применял-
ся только для эллиптического НУШ [35, 36]. Данная работа заполняет этот пробел в теории. Здесь будет выведена система вариационных уравнений для параметров эллипса и продемонстрирована ее полная интегрируемость. Факт интегрируемости связан, во-первых, с согласованием третьей степени нелинейности НУШ с двумерностью пространства, а во-вторых, с наличием у уравнения (1) специального закона сохранения гиперболического аналога углового момента:
+ х('фуф* — ФФу)] dxdtj = const. (2)
Знание общей структуры аналитических решений вариационной модели позволит нам лучше понять качественные различия между линейным и нелинейным режимами фокусировки волнового пакета. Кроме того, с целыо непосредственной проверки гауссовой модели будет проведено сравнение ее предсказаний с результатами прямого численного моделирования полностью нелинейных длинногребневых волн. В результате окажется, что согласие может быть довольно неплохим даже в сильно нелинейных режимах, когда и само НУШ уже неприменимо.
2. ВАРИАЦИОННЫЙ АНЗАЦ
Напомним сначала, что в простейшем диагональном варианте гауссов анзац описывает волновой пакет, оси симметрии которого совпадают с осями координат (см., например, [26 31]):
■ф =
4 У XY
х ехр
JT 21"
.Ux2
2
. * г
гф
(3)
'IX'1 21"2 2 У 21"
Помимо продольного Х{1) и поперечного !"(£) размеров, такой пакет характеризуется еще четырьмя действительными величинами: V, V, У и ф. Параметр У не зависит от времени, поскольку
4тгУ = I \ф\2(1х(1у
является точным интегралом движения НУШ, а сопряженная по отношению к нему переменная ф является циклической. Параметры V и V описывают модуляцию фазы, причем положительному значению V или V соответствует дефокусирующая конфигурация по соответствующему направлению, а отрицательному фокусирующая. Здесь необходимо отметить, что для применимости НУШ должно быть
выполнено условие спектральной узости волнового пакета. В нашем случае это означает: (А', У) > 10, (и,\~) < 0.1. Зависимость неизвестных величин X, 1", V и V от времени следует из подстановки вариационного анзаца (3) в лагранжиан нелинейного уравнения Шредингера,
с = I
Н\
\4f/2)dxdy. (4)
После вычисления интегралов и составления уравнений движения оказывается, что U = X, V = У, и в результате мы приходим к следующей системе дифференциальных уравнений ньютоновского типа:
X =
1
N
X3 X2Y
* У3
N Y'2X
(5)
Отметим, что уравнения (5) являются лагранжевой системой с лагранжианом
2 L = X'
1
1
2 N XY
Y"2 у9. VI'1
в котором кинетическая энергия не является положительно определенной (вторая «частица» имеет отрицательную массу).
Следует сказать, что уравнения типа (5) и их обобщения активно используются в физике плазмы, нелинейной оптике и атомной физике при исследованиях поведения решений НУШ и уравнения Гросса Питаевского (НУШ с внешним потенциалом) в двух и трех пространственных измерениях (см. статьи [26 34] и ссылки в них). В частности, в работе [27] были приведены аналитические и некоторые численные вариационные решения именно для интересующего нас гиперболического (1—2Б)-НУШ, однако при таких значениях параметров, которые характерны для нелинейной оптики, но не для волн на воде. В связи с проблемой фокусировки морских аномальных волн этот упрощенный вариационный анзац был применен лишь совсем недавно в работе автора [37].
Обратимся теперь к гауссову анзацу в его полном варианте, т. е. с привлечением не диагональных элементов квадратичной формы. Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести линейные комбинации пространственных координат, соответствующие гиперболическому повороту с параметром \ (по аналогии с эллиптическим случаем, но с той разницей, что там поворот обычный тригонометрический):
I: = х сЬ + у бЬ , у = х бЬ + у сЬ . (7) Вместо выражения (3) мы теперь пишем
4' =
х ехр
4 N АУ
2А-
У" ' 2Y'2 '
.Ux2 .Vf . __ . '
(S)
Строго говоря, при \ ф 0 параметры X и Y уже не являются продольным и поперечным размерами пакета, но для краткости мы продолжим их так называть. Параметр \ не может быть слишком большим, иначе волновой пакет станет спектрально широким и выйдет за пределы применимости НУШ. Практически, как это будет следовать из приведенных далее результатов прямого численного моделирования нелинейных волн с реалистичными параметрами, должно выполняться неравенство | \ | <0.5.
Отметим, что гауссова форма (8) является одним из точных решений с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.