РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2007, том 52, № 12, с. 1463-1471
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ^^^^^^^^^^
В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.391: 621.396
ГЕНЕРАТОР ХАОСА НА ПОЛЕВОМ ТРАНЗИСТОРЕ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И СХЕМОТЕХНИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
© 2007 г. Е. В. Григорьев, А. С. Дмитриев, Е. В. Ефремова, Л. В. Кузьмин
Поступила в редакцию 07.06.2007 г.
Предложена модель генератора хаоса с полевым транзистором в качестве активного элемента, электрическая схема которого представляет собой вариант емкостной трехточки. Исследована математическая модель, описываемая тремя обыкновенными дифференциальными уравнениями, и схемотехническая модель, учитывающая внутреннее строение транзистора, температурные и частотные эффекты. Проанализированы бифуркационные явления, включая механизмы перехода к хаосу. Выведены соотношения подобия, позволяющие масштабировать частотный диапазон хаотической генерации и использовать транзисторы с разной крутизной вольтамперной характеристики.
ВВЕДЕНИЕ
Генераторы хаотических колебаний (генераторы хаоса) на твердотельных активных элементах исследуют и применяют с начала 80-х годов.
Известны генераторы хаоса на биполярных транзисторах. Сначала их реализовывали в мик-рополосковом исполнении и отрабатывали экспериментально [1-3], впоследствии появились низкочастотные математические модели генераторов [4, 5]. Затем были разработаны методы компьютерного моделирования генераторов хаоса радио- и СВЧ-диапазонов [6-8]. Рассчитанные с применением моделирования генераторы были достаточно успешно реализованы экспериментально [9, 10].
Полевые транзисторы имеют некоторые преимущества перед биполярными. Прежде всего они являются типичными элементами, применяемыми в технологии, основанной на комплементарной структуре металл-оксид-полупроводник (КМОП). В настоящее время это наиболее активно развивающаяся твердотельная технология, а также наиболее дешевая как с точки зрения разработки, так и массового производства устройств.
В связи с этим чрезвычайно актуальна разработка генераторов хаоса на полевых транзисторах. Результаты по генерации хаоса в системах на полевых транзисторах в литературе практически отсутствуют. Одним из исключений, возможно, является работа [11], где описаны полученные при помощи моделирования в пакете Electronic Workbench сложные динамические режимы в автоколебательной системе с мощным полевым транзистором. Система представляет собой индуктивную трехточку. Однако до конца пока не ясно, являются ли эти колебания хаотическими, поскольку прямые доказательства хаотичности не приведены, а математическая модель системы отсутствует.
В данной работе рассматривается модель генератора хаоса на основе емкостной трехточки с полевым транзистором в качестве активного элемента.
1. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СХЕМА ГЕНЕРАТОРА ХАОСА
Рассмотрим электрическую схему генератора на основе емкостной трехточки с КМОП транзистором в качестве активного элемента (рис. 1а). Эта схема сходна со схемой генератора на емкостной трехточке с биполярным транзистором, рассмотренной в работах [4, 5, 12]. Одним из ключевых отличий в свойствах биполярного и полевого транзисторов является то, что сопротивление затвор-исток у полевого транзистора значительно больше, чем соответствующее ему сопротивление база-эмиттер у биполярного. Это означает, что током через затвор в модели с полевым транзистором можно пренебречь.
Основная характеристика биполярного транзистора - коэффициент усиления по току в = — ,
гБ
где /К - ток коллектора, /Б - ток базы. В то же время полевые транзисторы характеризуются кру-
д гс
тизной 5 = —, где iс - ток стока, VЗИ - напря-дVзи
жение затвор-исток. Сопоставим величины 5 и -р- (где ЯБЭ - сопротивление база-эмиттер). В
^БЭ
обоих случаях это коэффициенты, отражающие пропорциональность тока, проходящего через сток/коллектор, напряжению сток-исток/коллектор-эмиттер.
(а)
-ЛЛЛл-RL
-Г^ГУ-^
L
г
- З |
+ уИ _С2
гСИ _1_ С1
И
-ЛЛЛг
Rт/Г
(б)
г
У
ЗИ
И
гСИ
(в)
СИ
у
ЗИ
у
пор
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЕЕ ДИНАМИКА
Рассмотрим электрическую схему на рис. 1а. Будем описывать статическую вольт-амперную характеристику полевого транзистора, определяющую ток через проводящий канал сток-исток как функцию напряжения на затворе, кусочно-линейной аппроксимацией (рис. 16, 1в):
¿си(Узи) = S(Узи - УпорЖУзи - Упор), (1)
где 0(х) - тета-функция Хевисайда, Упор - минимальное (пороговое) напряжение затвор-исток, при котором открывается проводящий канал. Крутизна полевого транзистора тем больше, чем больше ток, который он способен пропускать. Поэтому мощные транзисторы имеют большую крутизну вольт-амперной характеристики.
Уравнения, описывающие динамику математической модели схемы на рис. 1, получены на основе законов Ома и Кирхгофа и имеют вид
Ыь = Ус - Ус1 + УС2-1Я СУс, = 1Ь -/СИ(Ус2), Уи - Ус,
(2)
С 2 УС2 =
Я
- 1т
Рис. 1. Схема емкостной трехточки с полевым транзистором в качестве активного элемента (а); полевой транзистор (б) и кусочно-линейная аппроксимация его вольт-амперной характеристики (в).
В схеме генератора на рис. 1 используется КМОП транзистор я-типа. Для таких транзисторов значение S, соответствующее типичному наклону вольт-амперной характеристики биполяр-
г Р л
ного транзистора (т.е. величине ), при кото-
ЯБЭ
ром имеют место хаотические колебания, равно 1, ..., 2 А/В. Поэтому ожидать появления хаотических колебаний в генераторе с полевым транзистором при той же совокупности параметров схемы, которые используются для получения хаотических режимов в схеме с биполярным транзистором, можно только для довольно мощных транзисторов. Для того чтобы воспользоваться имеющимся сходством и опытом, накопленным при исследовании генератора на основе емкостной трехточки, надо применять транзистор с соответствующей крутизной.
где гСИ( УСг) определяется из выражения (1); знаки напряжений и токов соответствуют направлениям, указанным на схеме.
Первое уравнение системы, составленное для колебательного контура, образуемого емкостями С1, С2, индуктивностью Ь и сопротивлением ЯЬ, получено при помощи второго закона Кирхгофа. Второе и третье дифференциальные уравнения получаются из первого закона Кирхгофа для токов в узлах 1 и 2 (рис. 1).
В качестве исходных значений параметров при моделировании системы с полевым транзистором были использованы значения, соответствующие низкочастотному хаотическому режиму в генераторе с биполярным транзистором [12]. Наклон вольт-амперной характеристики полевого транзистора был выбран равным наклону вольт-амперной характеристики биполярного транзистора.
Отметим, что если в генераторе с биполярным транзистором пороговое значение напряжения, при котором открывается транзистор, составляет примерно 0.75 В, то в генераторе с полевым транзистором эта величина может принимать значения в интервале 0.5, ..., 3 В и выше в зависимости от конкретной модели транзистора.
Далее, если не указано иное значение, используется следующий набор параметров: УС = 7 В, УИ = = 2 В, Ь = 30 мкГн, С = 8 нФ, С2 = 16 нФ, ЯЬ = 40 Ом, ЯИ = 400 Ом, S = 1.5 А/В, Упор = 0.75 В.
+
2
З
V 8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
С1
0
-0.02
(а)
К
/ ■
100
150
200
250
300
350
400 ЯИ, Ом
Рис. 2. Зависимость динамических режимов генератора от сопротивления Яи бифуркационная диаграмма (а) и диаграмма ляпуновских показателей (б).
На рис. 2а и 26 представлены бифуркационная диаграмма и диаграмма ляпуновских показателей, которые иллюстрируют поведение системы в зависимости от сопротивления на истоке ЯИ. Из диаграммы на рис. 2а видно, что хаотический режим возникает после нескольких бифуркаций удвоения периода при номинале сопротивления ЯИ ^ 110 Ом. При дальнейшем увеличении сопротивления на истоке зона хаотических режимов сменяется зоной шеститактных колебаний в области ЯИ ~ 120 Ом; далее следует чередование зон хаоса и зон с регулярным поведением системы. На рис. 3 а изображен спектр мощности колебаний напряжения на емкости С1, соответствующий хаотическому режиму, при ЯИ = 400 Ом.
Как и в модели с биполярным транзистором, в модели с полевым транзистором наблюдаются
хаотические колебания и механизм их возникновения в обоих случаях одинаков (через каскад бифуркаций удвоения периода).
Отметим, что примененное при расчетах значение крутизны вольт-амперной характеристики соответствует полевым транзисторам с высокой пиковой мощностью (десятки ватт). Необходимость использования таких больших значений крутизны следует из рассмотрения бифуркационной диаграммы (рис. 4), на которой представлена зависимость режима колебаний от крутизны 5. Из диаграммы видно, что при используемых значениях параметров электрической схемы хаотические колебания реализуются только при значениях крутизны 5 > 0.5 А/В.
Р, ДБ
20 г
10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60
i
20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60
0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
/, МГц
01
2345
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
/, ГГц
Рис. 3. Спектр мощности хаотических колебаний генератора при Rи = 400 Ом, / = 0.398 МГц (а); спектр мощности хаотических колебаний генератора после масштабирования при Ус = 7 В, Уи = 2 В, Ь = 358 нГн, С1 = 0.106 пФ, С2 = 0.212 пФ, Rи = 12 кОм, RL = 1.2 кОм, 5 = 50 мА/В, V = 0.75 В, / = 1 ГГц (б).
3. ГЕНЕРАЦИЯ ХАОСА НА ВЫСОКИХ ЧАСТОТАХ ПРИ ЗАДАННОЙ КРУТИЗНЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРАНЗИСТОРА
Выше было показано существование хаотических режимов в математической модели (2). Спектр мощности полученных хаотических колебаний лежит в области частот ~ 1 МГц. Крутизна вольт-амперной характеристики 5 ~ 1 А/В, что соответствует мощным транзисторам.
Для того чтобы получить хаотические колебания на более высоких частотах и при этом использовать значения крутизны, соответствующие маломощным полевым транзисторам, необходимо одновременно варьировать крутизну характеристики транзистора и частоту, сохраняя режим хаотической генерации.
Для решения этой задачи перейдем к безразмерной математической модели системы. Для этого используем следующую замену переменных. Представим исходную размерную величину
в виде произведения ее безразмерного аналога и некоторого размерного ко
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.