научная статья по теме ГЕНЕРАЦИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН ВОЛНОЙ ЗАВИХРЕННОСТИ В СДВИГОВОМ ПОТОКЕ Физика

Текст научной статьи на тему «ГЕНЕРАЦИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН ВОЛНОЙ ЗАВИХРЕННОСТИ В СДВИГОВОМ ПОТОКЕ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2015

УДК 533.6.01:534.13:534.6

ГЕНЕРАЦИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН ВОЛНОЙ ЗАВИХРЕННОСТИ В СДВИГОВОМ ПОТОКЕ

© 2015 г. М. В. КАЛАШНИК

Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН, Москва НПО "Тайфун", Обнинск, Калужская обл. e-mail: kalashnik-obn@mail.ru

Поступила в редакцию 10.12.2014 г.

Исследуется двумерная задача о генерации акустических волн начальными распределениями завихренности в сдвиговом потоке. Рассмотрен случай сингулярного распределения завихренности, сконцентрированного по одной из горизонтальных координат и периодического по другой. Подобное распределение индуцирует в потоке периодическую цепочку локализованных вихрей, движение которой сопровождается излучением акустических волн. Для нахождения характеристик акустического излучения линеаризованная система уравнений газовой динамики сведена к одному уравнению относительно амплитуды касательной компоненты скорости. Асимптотическое решение уравнения при слабых сдвигах представлено в терминах функций Эйри. Получены оценки волновых амплитуд и потока волновой энергии в дальней волновой зоне.

Ключевые слова: сдвиговые течения, акустические волны, изэнтропические движения, потенциальная завихренность, вихревые возмущения, смерчи, генерация волн, волновая энергия.

В последние годы усилился интерес к проблеме генерации акустических волн вихревыми возмущениями в сжимаемой среде. Прежде всего это связано с практическими задачами дистанционного (инфразвукового) зондирования таких атмосферных явлений, как ураганы, смерчи (торнадо), грозы [1, 2]. Ряд теоретических подходов к решению проблемы был предложен в трудах Лайтхилла [3, 4]. В рамках предложенной в [3] аэродинамической теории генерации звука, в частности, были рассчитаны характеристики акустических волн, возбуждаемых вращающейся системой точечных вихрей, спиральными волновыми возмущениями вихря Рэнкина [1, 5, 6]. В серии статей [7—13] исследовалась задача о генерации волн (различной природы) вихревыми возмущениями в сдвиговых плоскопараллельных потоках. При этом рассматривались возмущения, индуцированные начальным пространственно периодическим распределением завихренности, и описание динамики проводилось в полулагранжевой, движущейся вместе с потоком, системе координат.

В настоящей работе рассматривается случай начального сингулярного распределения завихренности, сконцентрированного по одной из горизонтальных координат и периодического по другой. Подобное распределение возбуждает волну завихренности — перемещающуюся вместе с потоком периодическую систему вихрей. Движение системы в сжимаемой среде сопровождается акустическим излучением, характеристики которого определяются.

1. Постановка задачи. Двумерные изэнтропические движения идеального газа описываются уравнениями [14]

^ + (u, V)u = -1 VP, + div(p и) = 0, P = f-p) (.1)

dt p dt Po ^po

где и = (u, и) — вектор скорости, р — плотность, P — давление, р0, P0 — фоновые значения р, P, у = cP/cV - отношение теплоемкостей при постоянных давлении и объеме, соответственно (для воздуха у = 7/5).

Из системы (1.1) следует уравнение переноса потенциальной завихренности

^ + (u, V)Q = 0, Q = 1 (dU-^Ul (1.2)

dt p|dx ду)

Согласно (1.2), при перемещении материальных объемов потенциальная завихренность Q сохраняется. С гидродинамической точки зрения уравнение (1.2) есть следствие интегрального варианта теоремы Кельвина о циркуляции для баротропных жидкостей [15].

В рамках системы (1.1) исследуется поведение возмущений плоскопараллельного течения газа с постоянным горизонтальным сдвигом Л. Соответствующее течение описывается точным решением системы

U = (Л у, 0), P = P0, р = р0 (1.3)

с потенциальной завихренностью Q = -Л/р0 = const. Подстановка u = Лу + u', и = и', р = р0(1 + с) с последующей линеаризацией (1.1) приводит к системе уравнений для описания малых возмущений

^ + л и' + с2 ¿2 = 0, ш + с2 ¿5 = 0 (1.4)

Dt dx Dt ду

Da + du: + ddi = 0 D = д + АуА

Dt dx dy ' Dt dt dx

Здесь с = yP0/р0 — квадрат скорости звука, ст — возмущение плотности, нормированное на р0. Из уравнения адиабаты в (1.1) следует выражение для возмущения давления P' = р0с а. Система (1.4) рассматривается на всей плоскости -да < x, у < да с начальными условиями u' = u'(x,у), и' = U(x,у), а = а ¡(x,у) при t = 0.

Из системы (1.4) следует уравнение переноса потенциальной завихренности в виде

Dq = 0, q ^+ Ла (1.5)

Dt dx ду

Данное уравнение представляет собой линеаризованную форму (1.2). Это следует из разложения

Q =-1--л) = -—+ -1+ Л с I +.

Ро(1 + о)^дх ду ) Ро Ро ^дх ду

где многоточием отмечены слагаемые, начиная с квадратичных.

Для потока с постоянным сдвигом уравнение (1.5) может быть сразу проинтегрировано

ч = дт + Аа = к(х -Лу1' у) (1.6)

дх ду

где дДх, у) — начальное распределение д. Соотношение или закон сохранения (1.6) выполняется для любого Х > 0. Этот закон играет важную роль в последующем рассмотрении.

Закон сохранения (1.6) позволяет свести систему (1.4) к одному уравнению волнового типа второго порядка относительно компоненты скорости и'. Так, применение к первому уравнению системы (1.4) оператора В/БХ с учетом (1.6) и простых алгебраических преобразований дает

Б2и'_ 2 д2и' , д2и']_ 2дц_

бх2 с "

_ с

2 |_ с^ (1.7)

дх2 ду2) ду

Непосредственно из (1.7) следует, что начальные распределения потенциальной завихренности служат источником генерации акустических волн. Этот источник описывается правой частью уравнения (1.7).

В упомянутых статьях [8, 9] рассматривался случай начального распределения потенциальной завихренности в форме одной пространственной фурье-гармоники д1 (х,у) = г ехр¡(кх + 1у). При этом уравнение (1.7) имеет решения вида и' = и(г)ехр(;9), 9 = кх + (I - ЛкХ)у, где амплитуда и(Х) удовлетворяет уравнению колебаний с переменной частотой. Ниже рассматривается случай начального сингулярного распределения потенциальной завихренности

д(х, у) = ге1кх8(у - И) (1.8)

где 8(у) — дельта-функция Дирака, г — амплитудный параметр, к — волновое число. С учетом известного свойства дельта-функции /(у)8(у - И) = /(И)д(у - И), для этого распределения

д(х - ЛуХ, у) = ге'(кх-ш)Ъ(у - И), а> = к Л И (1.9)

и закон сохранения потенциальной завихренности (1.6) примет вид

ди. + Аа = ге1(кх-иХ)5(у - И) (1.10)

дх ду

Физический смысл сингулярного распределения (1.10) проясняется в рамках модели несжимаемой жидкости.

2. Волна завихренности в модели несжимаемой жидкости. Система уравнений модели несжимаемой жидкости получается из системы (1.4), записанной в терминах возмущения давления

Ж + Ли' + ±д11 = 0, М + = 0,1 Ж + Р0 (ди + д_и\ = 0

БХ р0 дх БХ р0 ду с2 БХ {дх ду)

с последующим предельным переходом с ^ да. Сохраняющейся величиной для этой системы является обычная завихренность д = Ду, где у — функция тока, А — оператор Лапласа, и' = ду/дх, и' = -ду/ду. Для начального сингулярного распределения завихренности (1.8) закон сохранения (1.10) сводится к уравнению для нахождения функции тока

Ау = ге¡(кх-иХ)5(у - И) (2.1)

Решение (2.1) имеет вид

у = ге1(кх-иХ]0{у, И), О(у, И) = - -1 е~ку-И| (.2)

3 У1

2

1

0 -1 -2 -3

-5 0 5 *1

Фиг. 1. Теневая картина изолиний функции тока для волны завихренности в движущейся с волной системе координат; по горизонтальной и вертикальной осям отложены: = х - и*, У1 = у, для значений параметров т = 2, к = 1

где 0(у, И) — функция Грина, удовлетворяющая уравнению Оуу - к20 = 5(у - И) с краевыми условиями затухания при |у| ^ ж. При у = И данная функция удовлетворяет условиям [0]ш = [ЩИ_0, \ру ]И+0 = \Оу ]И_0 +1. Последнее условие получается интегрированием уравнения по малой окрестности точки у = И.

Решение (2.2) описывает волну завихренности — периодическую систему вихрей, равномерно перемещающуюся вдоль оси х с фазовой скоростью и* = ю/к = Л И, равной скорости течения при у = И (фиг. 1). В физике плазмы такую волну со структурой линий тока в форме "кошачьего глаза" часто называют волной Ван Кампена—Кейза [16]. Для этой волны компонента скорости и' всюду непрерывна, а касательная компонента

и' = -0.5т sgn(y - И)е~к]у-ш) (2.3)

на уровне источника терпит скачок [и]И+0 - [и]И-0 = -те1 (кх-®(). Наличие скачка, присутствующего в самом вихревом возмущении, а не в фоновом сдвиговом потоке, составляет отличительную особенность волны.

В рамках модели сжимаемой среды поле скорости волны завихренности (2.1) можно принять в качестве начального поля, считая начальное возмущение плотности нулевым. Распространение волны в сжимаемой среде сопровождается излучением акустических волн.

3. Уравнения для волновых амплитуд. В соответствии с периодическим характером распределения (1.10) установившееся волновое поле, возбуждаемое волной завихренности, ищется в виде

(и', и', с) = (и(у), и(у), о(у)) е (кх ш)

(3.1)

где в круглых скобках правой части стоят амплитуды, зависящие только от у . Для нахождения амплитуд используется вытекающая из (1.4) система уравнений

2 2 ¡Лк(у - И)и + Лу + ¡кс а = 0, ¡Лк(у - И)и + с ау = 0

¡Лк(у - Н)а + ¡ки + иу = 0 (3.2)

и закон сохранения потенциальной завихренности (1.10)

i ки - иу + Л о = г5(у - И) (3.3)

(обыкновенные производные далее отмечаются нижним индексом).

В анализе удобно использовать безразмерную форму уравнений (3.2), (3.3)

¡Я^ и + и + ¡Яа = 0, ¡Я{, и + ст^ = 0, ¡Я^о + ¡Яи + и^ = 0 (3.4)

¡Яу - и^ + а = Мб(^) (3.5)

Здесь безразмерные координата £ и параметры Я, М определены выражениями

^ = я = с±, М = г- (3.6)

с Л с

а в качестве масштаба компонент скорости принята скорость звука с. В уравнениях (3.4), (3.5) параметр Я характеризует влияние сдвига, М служит аналогом числа Маха. Для определенности ниже рассматривается случай положительного сдвига Л > 0.

С учетом (3.5) система (3.4) сводится к одному уравнению относительно амплитуды и(£). Так, после дифференцирования (3.5) с использованием второго уравнения (3.4), получим

¡Я (и^ и) - и^ = М5¡:© (3.7)

Умножение первого уравнения (3.4) на £ с последующим вычитанием третьего дает

¡Я(£2 -1) и = и¡= -£ и (3.8)

Исключение из (3.7), (3.8) амплитуды и окончательно приводит к уравнению

и^ + Я2(£2 - 1)и = -М5(3.9)

Уравнени

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»