МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008
УДК 532.517:536.25
© 2008 г. С. Я. ГЕРЦЕНШТЕЙН, Р. А. ЧЕРТОВСКИХ
ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ КОНВЕКТИВНЫМИ ТЕЧЕНИЯМИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ
Численно исследована генерация магнитного поля конвективными течениями проводящей жидкости во вращающемся плоском слое. Задача рассмотрена в полной трехмерной нелинейной постановке. Изучена последовательность возникающих временных режимов при увеличении числа Тейлора Та от 0 (нет вращения) до 2000 (движение жидкости подавляется быстрым вращением) и фиксированных других параметрах. Найдены интервалы Та, в которых происходят бифуркации, исследованы нарушение и возникновение симметрий в возникающих аттракторах.
Ключевые слова: вращение, магнитное гидродинамо, трехмерная конвекция, проводящая жидкость, плоский слой, псевдоспектральные методы, магнитная гидродинамика, бифуркации, симметрия.
Многие планеты, имеющие ядро, и другие астрофизические объекты обязаны наличию магнитного поля конвективным течениям проводящей среды в их недрах [1, 2]. Как правило, они достаточно быстро вращаются вокруг своих осей. Из-за ограниченной мощности современных компьютеров достичь в расчетах значения параметров конвекции в этих объектах невозможно. Численное моделирование [3-5] было выполнено для значений параметров, отличающихся от характеризующих условия в ядре Земли на несколько порядков. В этих расчетах удалось воспроизвести дипольную морфологию магнитного поля Земли и его хаотические инверсии, но это удовлетворительное соответствие результатов моделирования реальному геодинамо "следует считать удивительным" [6]. Результаты этих расчетов могли также оказаться искаженными из-за применения алгоритма регуляризации решений с использованием гипервязкости [7-10]. Систематическое изучение генерации магнитного поля конвективными течениями для малых значений параметров, для которых расчеты с достаточным разрешением технически возможны, представляет для астрофизики определенный интерес. Генерация магнитного поля конвекцией проводящей жидкости в плоском слое численно исследована в [11-16]. Исследование режимов конвекции в присутствии магнитного поля (не приложенного извне) во вращающемся сферическом слое, соответствующем внешнему ядру Земли, проведено для некоторого набора параметров в [3, 17].
В [11] рассмотрена генерация магнитного поля простейшими конвективными течениями (при малой надкритичности для бифуркации потери устойчивости неподвижного состояния жидкости): конвективными валами, квадратными и шестиугольными ячейками. Найдено, что в отсутствие вращения генерации магнитного поля конвективными план-формами нет (как и при быстром вращении), но при умеренном значении числа Тейлора Та она имеет место. В полной нелинейной системе во вращающемся относительно наклонной оси слое имеет место генерация магнитного поля стационарными валами при умеренных числах Рэлея. Однако для достаточно больших чисел Рэлея Я генерация пропадает [11].
В [12, 13] численно исследована генерация магнитного поля квадратными конвективными ячейками. В [12] найдено, что генерировать магнитное поле могут только ячейки, не имеющие симметрий.
В [13] выполнено наиболее полное на данный момент численное исследование зависимости конвективных гидродинамических и МГД-аттракторов при увеличении числа Рэлея при отсутствии вращения: определены точки происходящих бифуркаций, тип и симметрии аттракторов и их генезис. Серия расчетов [13] и их продолжение [14] проведены для плоского горизонтального слоя единичной толщины в квадратных
ячейках периодичности размером L = 2^2 (0 < R < 4000 при числе Прандтля Р = 1) и L = 4 (для 0 < R < 2500 при P = 0.3 и 1, 0 < R < 20000 при P = 6.8). Найдено 23 различных типов аттракторов; два типа стационарных течений, отличных от валов; бегущие волны; периодические и квазипериодические потоки и хаотические аттракторы гетеро-клинной природы. Найдено, что уменьшение числа Прандтля способствует генерации магнитного поля.
Зависимость генерации от граничных условий изучали в [15], от числа Прандтля -в [16]; в пределе больших чисел Прандтля задача рассмотрена в [17, 18]. Однако в целом режимы конвекции проводящей жидкости в слое, генерирующие магнитное поле, изучены плохо, а зависимость генерации магнитного поля от скорости вращения практически совсем не изучена.
Основное содержание данной работы - исследование механизмов генерации магнитного поля трехмерными конвективными течениями, возникающими при вращении плоского слоя проводящей жидкости.
1. Постановка задачи. Рассматривается конвекция проводящей жидкости в приближении Буссинеска во вращающемся вокруг вертикальной оси горизонтальном слое [19-22]. Жидкость заключена между двумя параллельными свободными электропроводными плоскостями: x3 = 0 и x3 = 1; температура T нижней границы больше температуры T2 верхней. Состояние системы описывается обезразмерными полем скорости u(x, t), магнитным полем h(x, t), температурой T(x, t) и давлением p(x, t). В качестве единиц расстояния, времени, скорости, температуры, давления и магнитного поля выбраны соответственно
d, 1,1 AdtP£,
х d d2 d
Здесь d = 1 - ширина слоя, % = 1 - коэффициент тепловой диффузии, A - градиент температуры в слое для стационарного состояния, р - плотность жидкости.
В декартовой системе координат, вращающейся вместе с рассматриваемым слоем вокруг вертикальной оси, эти поля удовлетворяют уравнениям МГД, теплопроводности, неразрывности и соленоидальности магнитного поля:
^ = u х rotu + PAu + PR0e3 - h x roth + PVTau x e3- V (p) (1.1)
d h = rot(u x h) + f-jf-lAh (1.2)
dt 'VP
Э9 Эt
= - (uV)9 + u3 + A0 (1.3)
div u = 0, divh = 0 (1.4) 0(x, t) = T(x, t) - [Ti + (T2- T!)X3]
R = £[Ш4 p = v p = W- Ta = 4QV
VX , X' m c2 ' V2
Здесь e3, R, P, Pm, Ta - вертикальный единичный вектор, числа Рэлея, Прандтля, магнитное число Прандтля и Тейлора соответственно. Центробежная сила и гидростатическое давление жидкости в стационарном состоянии учтены в модифицированном давлении p; g - ускорение свободного падения, в - коэффициент теплового расширения жидкости, v - коэффициент кинематической вязкости жидкости, о - коэффициент электрической проводимости, Q - угловая скорость вращения слоя вокруг вертикальной оси.
Принимаются условия периодичности по горизонтальным направлениям. Задачу решаем в области
{(xv x2, x3)|0 < x, < L, 0 < x2 < L, 0 < x3 < 1}
Краевые условия на горизонтальных границах x3 = 0 и x3 = 1 имеют вид д u, д u2
—i = —- = U3 = 0, 9 = 0 (1.5)
д x3 д x 3 д h, д h2
jpi = jp2 = h3 = 0 (1.6)
д x 3 д x 3 3
Условия (1.5) - классические граничные условия Рэлея [20], а (1.6) отвечают границам из идеального проводника (непрерывность на границе нормальной компоненты магнитного поля и касательной компоненты вектора электрической напряженности). Эти условия выведены в [20] при предположении, что коэффициент магнитной проницаемости ц в слое равен 1.
Легко проверить, что для краевых условий (1.5), (1.6) нормальная плотность потока электромагнитной энергии, задаваемого вектором Умова-Пойнтинга [23, 24]
S = -1- E х h, E = -г1—rot h - ц u х h
на горизонтальных границах тождественно равна нулю (здесь E - электрическое поле). Таким образом, электромагнитная энергия не привносится извне через горизонтальные границы, т.е. рассматривается задача о генерации магнитного поля конвективными течениями.
При отсутствии вращения группа симметрии уравнений (1. 1)—(1.5) буссинесковой конвекции в присутствии магнитного поля - прямое произведение группы симметрии квадрата D4, порожденной вращениями вокруг вертикальной оси, непрерывных групп переносов вдоль координатных осей и вдоль диагоналей и двух групп, изоморфных z2, порожденных отражением относительно срединной плоскости [13]. В частности, уравнения гидромагнитной тепловой конвекции (1.1)—(1.3) инвариантны при следующих преобразованиях координат и компонент физических полей:
u,(x,, x2, x3) ^ u2(x2, -x,, x3), u2(x,, x2, x3) ^ -u,(x2, -x,, x3) u3(x,, x2, x3) ^ u3(x2, -x,, x3)
s2: u,(x,, x2, x3) ^ -u,(-x,, -x2, x3), u2(x,, x2, x3) ^ -u2(-x,, -x2, x3) u3(x,, x2, x3) ^ u3(-x,, -x2, x3)
s3: u,(x,, x2, x3) ^ -u2(-x2, -x,, x3), u2(x,, x2, x3) ^ -u,(-x2, -x,, x3)
u3(x,, x2, x3) ^ u3(-x2, -x,, x3)
s4: Uj(x1; x2, x3) ^ x1; -x2, x3), u2(x1; x2, x3) ^ -u2(x1; -x2, x3) u3(x1; x2, x3) ^ u3(x1; -x2, x3)
s5: u1 (x1; x2, x3) ^ -u1 (-x1; x2, x3), u2(x1; x2, x3) ^ u2(-x1; x2, x3) u3(x1; x2, x3) ^ u3(-x1; x2, x3)
Магнитное поле преобразуется так же, а температура - как u3 (обозначения и нумерация симметрий следуют работе [13]). Группы переносов вдоль координатных осей и вдоль диагоналей порождаются преобразованиями
у„: u (x1, x2, x3) ^ u( x1 + a, x2, x3), y^1: u( x1, x2, x3) ^ u (x1 x2 + a, x3)
При этом магнитное поле и температура преобразуются аналогично. Отражение относительно срединной плоскости задается преобразованием
r: u1 (x1, x2, x3) ^ u1(x1, x2, 1 - x3), u2(x1, x2, x3) ^ u2(x1, x2, 1- x3) u3 (x1, x2, x3) ^ -u3 (x1, x2,1 - x3)
При этом магнитное поле меняется аналогично, а температура - как v3. Наконец инверсии магнитного поля отвечают преобразованиям
q: h(x1, x2, x3) ^ -h(x1, x2, x3)
поля скорости и температуры при этом преобразовании сохраняются. При вращении слоя жидкости эти симметрии сохраняются, за исключением отражений относительно вертикальных плоскостей.
2. Метод расчета. Использован стандартный псевдоспектральный метод [25-27] с применением быстрого преобразования Фурье, показавший свою эффективность при исследовании бифуркаций и классов временных режимов пространственно периодических гидродинамических и магнитогидродинамических систем [13, 28-36]. Неизвестные поля представляются в виде рядов Фурье:
N N N
u = III
n1 = -Nn2 = -Nn3 = 0
Ряд для h аналогичен ряду для u, а ряд для 0 - ряду для u3. Тригонометрические функции в этих рядах соответствуют краевым условиям (1.5), (1.6). Наличие тригонометрического базиса, отвечающего рассматриваемым краевым условиям, в котором
условие соленоидальности имеет простой вид (так, для (2.1) iVln n1 + iV2n n2 + V^ n3 = 0), делает эти условия вычислительно наиболее
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.