МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2013
УДК 532.5.01:532.523:551.511.32
© 2013 г. М. В. КАЛАШНИК, О. Г. ЧХЕТИАНИ
ГЕНЕРАЦИЯ СРЕДНЕГО ТЕЧЕНИЯ В СЛОЕ ЖИДКОСТИ С НЕОДНОРОДНО НАГРЕВАЕМОЙ ВОЛНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
Рассмотрена задача о конвекции в горизонтальном слое жидкости с волнистой нижней границей. Показано, что при задании на волнистой границе периодического распределения температуры с некоторым сдвигом фазы в слое жидкости возникает однонаправленное горизонтальное течение. Скорость течения линейно убывает с высотой и зависит от длины волны распределения рельефа. Существует оптимальная длина (порядка толщины слоя), при которой скорость достигает максимального значения.
Ключевые слова: упорядоченная конвекция, генерация среднего течения, напряжения Рей-нольдса, волнистая граница, неоднородный нагрев, асимптотическое решение.
Физические механизмы генерации средних течений упорядоченными конвективными движениями изучались в ряде работ [1—8]. При этом рассматривались конвективные движения в слое жидкости, индуцированные либо бегущими тепловыми источниками [1—5], либо заданными пространственно периодическими распределениями температуры на твердых горизонтальных границах слоя [6—8]. В этих условиях генерация средних течений происходит за счет возникновения осредненных напряжений Рейнольдса, или, что эквивалентно, ненулевых вертикальных потоков импульса. Данный механизм проявляется и при конвекции в слое с волнистыми границами (периодическим рельефом), на которых поддерживаются постоянные температуры [6].
В настоящей работе рассматривается постановка задачи о конвекции, в которой верхняя изотермическая граница слоя горизонтальна, а на нижней волнистой границе задается периодическое распределение температуры с некоторым сдвигом фазы. Показано, что взаимодействие периодических распределений нагревания и рельефа приводит к еще одному механизму генерации осредненных течений. В определенных ситуациях этот механизм оказывается более эффективным, чем механизм, связанный с напряжениями Рейнольдса.
Решение задачи построено в форме асимптотического разложения по малому параметру — отношению амплитуды рельефа (высоты волнистой границы) к толщине слоя жидкости. При слабой нелинейности (малых числах Рейнольдса) нулевое приближение описывает периодическую систему замкнутых циркуляционных ячеек в слое с горизонтальными границами. Наряду с вторичной гармоникой осредненный горизонтальный поток возникает в следующем порядке теории возмущений. Скорость потока линейно убывает с высотой и зависит от длины волны распределения рельефа. Существует оптимальная длина (порядка толщины слоя), при которой скорость достигает максимального значения.
Следует отметить, что упомянутые исследования [1—8] проводились в связи с важными гео- и астрофизическими приложениями. Так, механизм генерации среднего течения движущимся тепловым источником привлекался для объяснения формирования особенностей общей циркуляции планетных атмосфер [2, 3]. Рассмотренная в настоящей работе постановка задачи стимулирована проблемой описания воздушных течений над квазипериодическими грядами песчаных барханов в пустынях [9—11].
Из-за косого падения солнечных лучей поверхность барханов нагревается неоднородно. Возможность возникновения в таких условиях горизонтального течения нетривиальна и может играть важную роль в переносе аридных аэрозолей, динамике пыльных бурь.
1. Постановка задачи. В приближении Буссинеска движения несжимаемой стратифицированной жидкости в поле силы тяжести описываются системой уравнений [12, 13]
й! = -± ур + + gaTe,,, а1у V = 0, — = кУ 2Т (1.1)
й р* Л
где V — вектор скорости с компонентами и, и, я вдоль осей х, у, £ соответственно (ось £ направлена вертикально вверх), Т — отклонение температуры от некоторого среднего значения, р — давление за вычетом гидростатического распределения, р* — средняя
плотность, а — термический коэффициент расширения среды, g — ускорение свободного падения, V, к — коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности, ег — вертикальный орт, й/Л = д/д1 + V -V — оператор полной производной.
В рамках системы (1.1) рассмотрим задачу о стационарных двумерных конвективных движениях в слое жидкости с горизонтальной верхней границей £ = Н и нижней волнистой границей £ = Н(х) = АН ео8(к*х - в). Предполагается, что на волнистой границе выполнены условия прилипания и задано периодическое распределение температуры
£ = Н(х): Т = ДТ со8(к*х), и = я = 0 (1.2)
Здесь А Т, АН — заданные амплитуды распределений температуры и рельефа, Р — сдвиг фаз этих распределений, к* — волновое число. Верхняя граница считается твердой и поддерживается при постоянной температуре £ = Н: Т = и = я = 0.
Примем в качестве пространственного масштаба невозмущенную толщину слоя Н, масштаба температуры — А Т, а в качестве масштабов скорости и давления соответственно и = ag АТН2/V, Р = а^р*ЛТ/к. Для описания движений в безразмерных переменных получим систему (индексами внизу обозначены частные производные)
(1.3)
Я( иих + ) = -Рх + и^ + ихх, Я( им>х + ЫЯ;) = -рг + ^ + + Т
ЯРг(иТх + ) = Тхх + Та, их + = 0 с граничными условиями
£ = бп(х) = 6 ео8(кх - р): Т = ео8(кх), и = я = 0 (1.4)
£ = 1: Т = и = я = 0 (1.5)
Здесь Я = иН /V = agATH3/V2 — параметр, характеризующий степень нелинейности (аналог числа Рейнольдса), Рг = к^ — число Прандтля, к = к*Н — безразмерное волновое число, е = дН/Н — безразмерный параметр, равный отношению вертикальной амплитуды рельефа к толщине слоя (параметр волнистости границы). Всюду ниже будем считать е < 1. Вводя функцию тока и = -у£, я = ух, систему (1.3) можно записать в виде
Я А 2^ = Д 2¥ + Тх, ЯРг = Д ТТ (1.6)
Дх, £) Дх, г) 2
где далее Л2 — двумерный оператор Лапласа.
Помимо нелинейности сложность краевой задачи (1.3)—(1.5) состоит в постановке граничных условий (1.4) на неоднородной границе. Для решения этой задачи далее используем асимптотический подход, состоящий в переносе нижних граничных условий на невозмущенный уровень z = 0 с использованием обычного тейлоровского разложения
[Т]=еп = [П. =0 + Т\=0 + ^]=0 ^У(х) + ...
Асимптотическая форма граничных условий (1.4) примет вид
г = 0: Т + ег|(х)Тг +... = со8(&х)
и + ег|(х)иг +... = 0, w + ег|(х)^г +... = 0
Использование условий (1.7) оказывается крайне удобным при построении асимптотического решения задачи.
Отметим, что подход, связанный с переносом граничных условий, ранее широко привлекался к изучению течений идеальной жидкости над неровной поверхностью [14, 15]. В численном моделировании турбулентных течений вязкой жидкости близкий вариант подхода рассматривался в [16]. Наряду с этим подходом существует и другой подход, основанный на использовании координат, непосредственно связанных с криволинейной поверхностью (метод деформированных координат). Сравнительный анализ двух подходов представлен в заключительном разделе статьи.
2. Два механизма генерации среднего течения. Обсудим вопрос о возможных механизмах генерации средних распределений в условиях данной задачи. Для произвольной переменной определим скобками операцию горизонтального осреднения = +ь
= Нш — | айх и обозначим штрихом соответствующее отклонение от среднего значе-2Ь :
ния: а = (а) + а'. Осреднение системы уравнений (1.3) приводит к хорошо известным уравнениям для средних распределений температуры и горизонтальной скорости [1—5]
й2 Т = к Рг й(^Т') й2 и = к й (иу), (21)
йг2 йг ' йг2 йг ' '
В правых частях (2.1) стоят соответственно осредненные градиенты вертикальных потоков тепла и импульса (градиенты напряжений Рейнольдса для скорости). Осреднение граничных условий (1.7) и удержание только главных слагаемых разложения по степеням е приводит к условиям
[№=0 = -£<п(х)Тг'(х, 0)>, [[ и)\=0 = -е(п(х) и'г (х, 0)>, (.2)
Решение уравнений (2.1) с условиями (2.2) и условиями [( Т)\^ =1 = [(и)\^=1 = 0 можно представить в виде
Т = Тя + Тш, и = (и)* + {и)ж (23)
Здесь (Т)* , (и)я — решения неоднородных уравнений (2.1) с нулевыми граничными условиями, {Т)ф , (и)ш — решения однородных уравнений (без правых частей) с условиями (2.2)
( 1
Тя =
и я =
(1 - г) Къ'Т') йг - Къ'Т') йг
0 г
1 1
(1 - г) ъ'и') йг - ъ'и') йг
, = -е(п(х)ч;(х,0)>(1 - г)
(2.4)
, (и)ф = -е(п(х)К(х, 0)>(1 - г)
Представление (2.4) непосредственно указывает на два возможных механизма генерации средних распределений. Первый из них (рейнольдсов), приводящий к возникновению распределений (Т)я , (и)я, обусловлен наличием ненулевых напряжений (потоков) (ъ' Т'),(ъ'и'). Второй механизм, приводящий к генерации распределений Т)цг, {и)цг с линейным вертикальным профилем, непосредственно связан с волнистостью границы. Для поля скорости этот механизм проявляется, если среднее значение произведения топографии и напряжения трения на границе отлично от нуля.
Отметим, что в условиях упорядоченной (ячейковой) конвекции напряжения Рей-нольдса и') существуют при наличии весьма тонкого сдвига фаз между распределениями ъ' , и'. Такой сдвиг возникает при перемещении пространственно периодического источника тепла либо при искусственном задании периодических распределений температуры на границах, сдвинутых по фазе и приводящих к формированию наклонной конвекции [6]. В отсутствие напряжений на первый план выступает механизм, связанный с волнистостью границы. Важно подчеркнуть, что этот механизм приводит к генерации однонаправленного горизонтального течения в отличие от рей-нольдсова механизма, где средний горизонтальный перенос массы в пределах слоя, как правило, отсутствует.
3. Асимптотическое решение. Решение системы (1.3) с условиями (1.5), (1.7) будем искать в форме прямого разложения по малому параметру
(и, Ъ,Т, р) = (ио, Ъо,То, ро) + £ (иь ъ>ъТъ Р1) + ... (3.1)
(аналогично для функции тока). При этом будем рассматривать случай слабой нелинейности Я = Хе, когда основной вклад дает решение линейной задачи. Если X = 0(1) нелинейные адвективные члены учитываются в первом порядке теории возмущений,
если X = 0(еп) — в высших порядках.
Для определения нулевого приближения имеем линеаризованный вариант системы (1.3) с условиями на горизонтал
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.