М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2014
УДК 532.59:539.3
© 2014 г. И. В. СТУРОВА
ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛН КОЛЕБЛЮЩИМСЯ ПОГРУЖЕННЫМ ЦИЛИНДРОМ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАВАЮЩЕЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ
Представлены результаты решения линейной задачи об установившихся колебаниях горизонтального цилиндра, погруженного в жидкость, на верхней границе которой плавает полубесконечная упругая пластина с прямолинейным свободным краем. Оставшаяся часть поверхности жидкости является свободной. Использован метод распределенных по контуру тела массовых источников. Соответствующая функция Грина построена с использованием разложения по собственным функциям. Выполнены расчеты гидродинамической нагрузки и амплитуд вертикальных смещений свободной поверхности и упругой пластины. Выведены соотношения эквивалентности, которые показывают симметрию коэффициентов присоединенной массы и демпфирования, а также связь коэффициентов демпфирования с амплитудами волн в дальнем поле.
Ключевые слова: линейная теория волн, колебания погруженного цилиндра, плавающая упругая пластина, гидродинамическая нагрузка, соотношения эквивалентности.
Задача о волновых движениях, вызванных колебаниями твердого тела, погруженного под свободной поверхностью идеальной несжимаемой жидкости, достаточно полно изучена в линейном приближении. В [1] представлен обзор существующих методов решения этой задачи и приведена обширная библиография. Исследования волновых движений жидкости при колебаниях тела, погруженного под плавающей упругой пластиной, начаты относительно недавно. Практические приложения этой задачи связаны с изучением влияния на погруженные тела плавающего ледяного покрова и искусственно созданных больших плавающих платформ. Двумерная задача об установившихся колебаниях горизонтально расположенного цилиндра, погруженного в слой линейно стратифицированной жидкости под ледяным покровом, рассмотрена в [2]. Подробно исследован частный случай однородной жидкости. В трехмерном случае генерация волн при колебаниях погруженной сферы под ледяным покровом исследована для однородной и двухслойной жидкости в [3—5].
Во всех упомянутых работах предполагается, что ледяной покров является неограниченным по горизонтальным координатам. Однако в реальных ситуациях ледяной покров может покрывать не всю верхнюю границу жидкости, а только ее часть. При этом в ледяном покрове могут существовать трещины, разводья (полыньи), а также торосы. Влияние таких сложных граничных условий на поведение волнового движения, генерируемого погруженным телом, еще никем не рассматривалось. Наряду с ледяным покровом подобные задачи возникают и при эксплуатации плавающих платформ.
В данной работе рассматривается наиболее простая задача об установившихся колебаниях горизонтального цилиндра, погруженного в жидкость, на верхней границе которой плавает полубесконечная упругая пластина с прямолинейным свободным краем. Оставшаяся часть поверхности жидкости является свободной. Ось цилиндра параллельна краю пластины и данная задача является двумерной. Для решения задачи применен метод распределенных по контуру тела массовых источников. Соответствующая функция Грина построена с использованием разложений по собственным функ-
циям аналогично [6]. Определены зависимости коэффициентов гидродинамической нагрузки (присоединенной массы и демпфирования) и амплитуд вертикальных смещений свободной поверхности и упругой пластины от частоты колебания цилиндра и его расположения относительно края пластины.
1. Постановка задачи. Рассматривается идеальная несжимаемая жидкость, заполняющая безграничный в горизонтальном направлении слой толщины H. Волновые движения в первоначально покоящейся жидкости вызваны малыми горизонтальными, вертикальными и вращательными колебаниями погруженного тела. Считая возмущенное движение жидкости установившимся и потенциальным, полный потенциал скоростей волнового движения запишем в виде
Ф(х, у, г) = Яе
3
I у Ф у (х, у) ехР О® г)
. у=1
(1.1)
где комплексные радиационные потенциалы фу (х, у) характеризуют движение, обусловленное колебаниями тела с частотой ш по трем степеням свободы с амплитудами ^у, x — горизонтальная ось, направленная вдоль невозмущенной верхней границы жидкости, вертикальная ось у проходит через край пластины, t — время. На верхней границе жидкости у = 0 плавающая упругая пластина занимает область 0 < х < да, а свободная поверхность — область -да < х < 0. Осадка пластины не учитывается. Предполагается, что пластина контактирует с водой во всех точках и во все моменты времени.
Внутри жидкости выполняется уравнение Лапласа
Афу = 0 (-да < х <да,- Н < у < 0) (1.2)
В области свободной поверхности граничное условие имеет вид
дф- = ^Фу (-<»< х < 0, у = 0), ^ = ^ (1.3)
ду g
где g — ускорение силы тяжести, а в области, ограниченной сверху упругой пластиной, д4 „2„ , „Р1дФу
\ -ю2В + gp -рю2фу = 0 (0 < х <<ю, у = 0) (1.4)
I дх4 ) ду
3 2
где Л = Ed /[12(1 -V )], В = р^; Е, V, р^, d — модуль Юнга, коэффициент Пуассона, плотность и толщина упругой пластины, р — плотность жидкости. Условие свободного края пластины требует равенства нулю изгибающего момента и перерезывающей силы
д 3ф! д 4ф ,■
—Г- = -Г!- = 0 (х = 0+, у = 0) (1.5)
дх ду дх ду
На замкнутом контуре погруженного тела ставится условие непротекания
дф !
= пу (х, у е у = 1,2,3) (1.6)
дп
Здесь п = (пх, пу) — внутренняя нормаль к контуру S,
П1 = Пх, П2 = Пу, Пз = (у - у0)П1 - (х - х0)П2 (1.7)
x0, у0 — координаты точки, относительно которой происходят вращательные колебания тела. Граничное условие на дне имеет вид
дф :
= 0 (—да < х <да, у = —Н) (1.8)
ду
В дальнем поле следует потребовать выполнения условия излучения, которое означает, что генерируемые волны являются расходящимися.
Вертикальные возвышения свободной поверхности и упругой пластины Ж(х, г) определяются из соотношения
дЖ = дФ дг дУ у=о
По аналогии с представлением (1.1) выражение для Ж(х, г) удобно записать в виде
Ж(х, г) = Яе
3
££ (х)ехр(гюг)
1_М
где
дф ду
V (х)
(1.9)
у=0
представляют собой комплексные функции, позволяющие определить амплитуды колебаний свободной поверхности и упругой пластины по отношению к амплитуде колебаний погруженного тела.
2. Метод решения. При решении задачи (1.2)—(1.8) для каждой моды колебания тела введем неизвестное распределение массовых источников по контуру S, обозначив его а ] (х, у). Тогда радиационные потенциалы в любой точке жидкости можно представить в виде
<р ] (х, у) = | о ] (£ п)О(х, у; £ ц)^ (] = 1,2,3) (2.1)
Здесь О (х, у; п) — функция Грина рассматриваемой задачи, определяющая потенциал скоростей в жидкости, вызванный пульсациями массового источника единичной интенсивности, расположенного в точке с координатами п).
Для определения функции Грина необходимо решить уравнение
А О = 2п5( х - £)8( у - п)
(5 — дельта-функция Дирака) с граничными условиями, аналогичными (1.3)—(1.5), (1.8) и условием излучения в дальнем поле.
Значение функции Грина находится с использованием метода сопряжения и разложения по собственным функциям. Область, занятую жидкостью, удобно разделить на две подобласти: Г^-да < х < 0, - Н < у < 0) и Г2(0 < х < да, - Н < у < 0). Решение для функции Грина существенно зависит от положения источника. Различные случаи его расположения (под свободной поверхностью или под упругой пластиной) рассматриваются отдельно.
Случай 1 (источник под свободной поверхностью). В этом случае £ < 0, и значение
О(х,в Г(- обозначено О®(х,у;^, п) = 1,2). Эти функции ищутся в виде разложения по собственным функциям соответствующих краевых задач:
G(1) = G^ + Л01'eikoxy0(y) + ЕR^e^y m(y) (x, y e Гх) (2.2)
G(D = 70(1)e-p07o(y) + X T,®e(x, y e Г2) (2.3)
n=-2 n*0
где
V o(y) = chko(y + H)/chkoH
Vm(y) = cos km(y + H)/ cos kmH (m = 1,2,3,...)
fo(y) = chpo(y + H )/chpo H
fn(y) = cos pn(y + H)/ cos PnH (n = -2,-1,1,2,3,...)
Значения km (m = 0,1,2,), определяемые из уравнений
Q = k0thk0 H = -kmtgkmH
являются вещественными и положительными, а также удовлетворяют неравенствам (m - 1)n/H < km < mn/H (m = 1,2,3,...). Собственные функции уm (m = 0,1,2,...) ортогональны и образуют полную систему. Эти функции определены с учетом уравнения (1.2) и граничных условий (1.3), (1.8).
Значения pn удовлетворяют уравнениям
K = Ро(1 + LpoVpoH = -Pn (1 + Lpt)igPnH (n = -2, -1,1,2,3,...)
2 2 2 где L = D/(gp - ra B) и K = рш /(gp - ra B). Следует отметить, что значения p_2 и p_j являются комплексно-сопряженными с положительными вещественными частями, а вещественные положительные значения pn (n = 1,2,3...) удовлетворяют неравенствам (n - 1)п/H < pn < nn/H. Собственные функции fn (n = -2,-1,0,1,2,...) неортогональны, но также представляют собой полную систему [7]. Эти функции определены с учетом уравнения (1.2) и граничных условий (1.4), (1.8).
Функция G§\x, y;^, п) представляет собой потенциал скоростей для источника, погруженного под бесконечно протяженной свободной поверхностью
= ln£ + PU JP1(y, n; k)cosk^dk - inP1(y, n; ko)cos ko(X ^ i 0 Z1(k) z;(ko)
где символы pu означают интеграл в смысле главного значения, г2 = (x - + (y - n)2, I2 = (x - ^)2 + (y + П)2
P1 =-^^{[(kchkn + Qshkn)e~ky - (Q + k)ekyshkn]e~2kH + kek(y+n)}
k(1 + e ~2kH)
Z1(k) = Q - kthkH, Z'(ko) = dZ1 /dk\k=ko
Неизвестные постоянные R^, Tjp в (2.2), (2.3) определяются из условий непрерывности давления и горизонтальной скорости на границе между подобластями Г: и Г2
m=1
от
О1(1)|х=0- = о2Ц|*=0+, 3О1(1)/дх|х=0- = Э021)/5х|х=0+ (-Н < у < 0) (2.4)
В дальнем поле согласно условию излучения существуют только уходящие от источника волны: при х - £ ^ -<» — это волна, распространяющаяся влево с волновым числом к0, а при х - £ ^ да — волна, распространяющаяся вправо с волновым числом р0. Для определения поведения функции Грина в (2.2), (2.3) при х - £ ^ достаточно ограничиться предельными значениями только первых слагаемых:
О1(1) = Ш П)¥0(уУ*°х (х - % ^ -да) (2.5)
О® = 70(1)е-Р0х/0(у) (х - ^ да) (2.6)
где
а&П = ^ - 2'пе^ ^
0 гт
Случай 2 (источник под упругой пластиной). В этом случае £ > 0 и значения функции
Грина в Г,- обозначены О(\х, у;
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.