М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2014
УДК 532.59
© 2014 г. М. В. КАЛАШНИК, О. Г. ЧХЕТИАНИ
ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ВИХРЕВЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ В СДВИГОВОМ ПОТОКЕ
Исследована линейная задача о колебаниях поверхности раздела двухслойной системы, в которой под покоящимся верхним слоем расположен слой с постоянным сдвигом скорости. Динамические возмущения в нижнем слое представлены суммой вихревых и волновых возмущений (возмущений с нулевой завихренностью). Показано, что в сдвиговом потоке эволюция вихревых возмущений с негладким или сингулярным распределением начальной завихренности может приводить к резонансному возбуждению волн на поверхности раздела. Возникновению резонанса отвечает совпадение частот колебаний возмущений двух классов. В отсутствие гидродинамической неустойчивости сдвигового потока резонансное возбуждение может служить одним из основных механизмов генерации волн в двухслойных системах.
Ключевые слова: сдвиговые течения, внутренние гравитационные волны, волновые и вихревые возмущения, двухслойные системы, резонансное возбуждение, неустойчивость Кельвина— Гельмгольца.
Определим находящуюся в однородном поле силы тяжести систему из двух горизонтальных слоев жидкости с различными значениями плотности и скорости как двухслойную систему. Волновые движения на поверхности раздела между слоями служат прототипом как внутренних, так и поверхностных гравитационных волн [1—5]. Основным механизмом генерации волн в двухслойных системах считают неустойчивость Кельвина—Гельмгольца, возникающую за счет скачка скорости при переходе через границу раздела. В теоретическом исследовании этой неустойчивости возмущения в каждом слое традиционно считаются безвихревыми [1, 3].
В настоящей работе рассмотрена двухслойная система, в которой под покоящимся верхним слоем расположен слой с постоянным сдвигом скорости так, что скачок скорости на поверхности раздела отсутствует. Динамические возмущения в нижнем слое при этом можно разделить на вихревые и волновые. Вихревые возмущения обусловлены адвективным переносом поля завихренности сдвиговым потоком. Волновые возмущения имеют нулевую завихренность и связаны с колебаниями поверхности раздела. В рамках линеаризованных уравнений динамики показано, что в сдвиговом потоке эволюция вихревых возмущений с негладким или сингулярным распределением начальной завихренности по вертикали (вдоль направления силы тяжести) может приводить к резонансному возбуждению волновых возмущений. При таком возбуждении амплитуда волн на поверхности раздела растет со временем по линейному или логарифмическому закону. В отсутствие скачка скорости (неустойчивости Кельвина— Гельмгольца), резонансное возбуждение может служить одним из основных механизмов генерации волн в двухслойных системах.
Отметим, что в рамках так называемого немодального подхода ряд общих особенностей взаимодействия между волновыми и вихревыми возмущениями в сдвиговых течениях изучался в работах [6—11]. Применительно к проблеме возбуждения поверхностных гравитационных волн (верхний слой — вакуум) подобное взаимодействие рассматривалось в работе [10], однако резонансный характер взаимодействия в [10] не исследовался.
1. Постановка задачи. Рассмотрим следующую модельную постановку задачи. Предположим, что горизонтальная поверхность z = 0, расположенная перпендикулярно направлению силы тяжести, служит границей раздела между двумя полупространствами (слоями) несжимаемой жидкости с плотностью верхнего слоя р: и нижнего р2 (Р1 < Р2). Примем, что в невозмущенном или фоновом состоянии верхний слой покоится, а в нижнем слое имеется горизонтальное течение и(г) = Яг с постоянным вертикальным сдвигом S. Линеаризованная система уравнений динамики для двумерных возмущений фонового состояния в нижнем слое записывается в виде
и, + Бги^ + Як* = -р-1 рх, + = —р-1 Рг, их + = 0 (1.1)
где u, w — компоненты скорости вдоль осей x, z; p — возмущение давления.
Введением функции тока и = -у 2г, к = у 2х система (1.1) сводится к одному уравнению
(Д^2), + 8г(А^2) X = 0 (1.2)
относительно возмущения завихренности кх - иг = Ду2; А — двумерный оператор Лапласа.
Из (1.2) следует, что при всех , > 0
А^2 = Р(х - ЯЦ,г), ¥(х, г) = Ау2|,=0 (1.3)
где ¥ (х, г) — распределение завихренности в начальный момент времени. Выражение (1.3) описывает адвективный перенос поля завихренности сдвиговым течением.
Динамика малых возмущений в верхнем слое описывается системой (1.1), где р2 = р1 и 8 = 0. Считая, что при t = 0 движение в этом слое было безвихревым, из условия сохранения завихренности для функции тока имеем уравнение Лапласа
А^1 = 0, t > 0 (1.4)
Запишем теперь граничные условия на возмущенной поверхности раздела г = п(х,,). При линеаризации эти условия (непрерывность нормальной компоненты скорости и возмущения давления при переходе через границу) сносятся на невозмущенный уровень z = 0. Поскольку и (0) = 0 и дц/д, = к, линеаризованные граничные условия имеют вид [1—3]
г = 0: ^2 = ^1, Р2 = g(p2 -Р1)П + Р1 (1.5)
Здесь g — ускорение силы тяжести, р12 — значения соответствующих переменных на границе раздела. Учитывая (1.5) и дифференцируя первое уравнение системы (1.1) по времени, граничные условия можно представить в терминах функции тока
г = 0: V2 = (V2)г« - 2)х, - g(1 -8)(У2)хх = 8(^1)г« (16)
где введено обозначение 5 = р1/р2. Учтем также начальные условия на поверхности раздела
, = 0: ^ 2(х,0) = ^1(х,0) = 0, ^ 2г,(х,0) = 5^ (х,0) (1.7)
Эти соотношения отвечают ситуации, когда в начальный момент времени п = П = 0 (отсутствуют нормальная компонента скорости и отклонение поверхности раздела). Математическая постановка задачи, таким образом, сводится к построению решений уравнений (1.3), (1.4) с нестационарными граничными условиями (1.6) и начальными условиями (1.7).
2. Волновые и вихревые возмущения. Уравнение для волновой амплитуды. С учетом (1.3), при заданном начальном распределении завихренности Г (х, г) функцию тока в нижнем слое можно представить суммой вихревой и волновой компонент
V 2 = V 2и + V 2^
Здесь вихревая составляющая у 2и (х, г, г) определена как решение уравнения Пуассона (1.3) с граничными условиями у 2и| =0 = у 2и| = 0. Функция у 2и (х, г, г) определяется как решение уравнения Лапласа Ду2и, = 0 с условием затухания при г ^ —да. Ее учет необходим для построения самосогласованного решения задачи. Динамическое возмущение, описываемое волновой компонентой функции тока, имеет завихренность тождественно равную нулю.
Далее рассматривается случай гармонического по горизонтальной координате распределения
Г(х, г) = Ф(г) ехр (¡кх)
где функция Ф(г) дает распределение завихренности по вертикали и волновое число k фиксировано. В этом случае для вихревой компоненты справедливо представление
V 2и = Фи (г, г, к) ехр(1кх) (2.1) где (г, г, к) есть решение краевой задачи
й2фи/й2г - к2фи = Ф(г)ехр(-;к5гг), фи(0) = фи(-ж) = 0 Отсюда
0
Фи (г, г, к) = 1О(г, 5, к)Ф© ехр (-1к8г (2.2)
—да
к {екЧъ(кг), г < 0
где G(z, к) — функция Грина задачи, удовлетворяющая условиям G(0, к) = = О(-®, к) = 0.
Пространственно периодическая волновая компонента, удовлетворяющая уравнению Ду 2» = 0, дается выражением
V2» = Ф»(г,г, к)ехр(1кх) = к~1Л(г)ехр(кг)ехр(1кх) (2.3)
где Л(г) — функция времени, которую далее будем называть волновой амплитудой. С учетом граничного условия (1.6) и уравнения (1.4), для функции тока безвихревого движения в верхнем слое справедливо аналогичное выражение
VI = VI» = к 1 Л(г) ехр(-кг) ехр(1кх) (2.4)
Подставляя выражения (2.1), (2.3), (2.4) в граничное условие (1.6) и начальные условия (1.7), приходим к задаче Коши для уравнения второго порядка относительно A(t)
цЛгг - 1^Лг + Е 'кЛ = Г (г) - -/„ (2.5)
Л(0) = 0, К (0) = -/ (0) (2.6)
где /(г) = (фи )г (0, г, к), g' = £(1 - 8) — так называемое приведенное ускорение силы тяжести [1, 5], ц = 1 + 5.
Функция F(t) в правой части (2.5) описывает источник, приводящий к генерации волн на поверхности раздела вихревым возмущением в нижнем слое. Неоднородность (вынуждение) содержится также в начальном условии. Этот тип неоднородности связан с возникновением горизонтальной компоненты скорости вихревого возмущения непосредственно на поверхности раздела. С учетом (2.2) и явного выражения для функции Грина, вынуждающие функции представляются в виде
0
/(г) = (Фи )г (0, г, к) = | ехр (кг)Ф(г) ехр(-'к5гг)^г (2.7)
—от
0
Р(г) = -(Фи)ггг(0, г, к) = к252 | г2 ехр (кг)Ф(г) ехр^'к^г (2.8)
Мг(0) = 'Б, Б = к5 | г ехр (кгЩг№ (2.9)
—от
(зависимость функций от k не указываем). Обратим внимание, что функция F(t) зависит от структуры вертикального распределения завихренности Ф(г) и в отсутствие сдвига обращается в ноль. Генерация волн, таким образом, происходит только при наличии течения со сдвигом.
3. Закон дисперсии для свободных волн. Общее решение неоднородного уравнения.
В отсутствие вынуждения однородное уравнение (2.8) имеет решения А(г) = е'ш, где частота
ю есть корень уравнения цю - 5га — g'к = 0. Отсюда ю1,2 = Эти выражения можно записать в виде
— 1 I 2 2
®1,2 = + > = 0.5ц 5, = ую^ + юg (3.1)
ю g =у1 ¿к/ ц = 4^к(р2-РШР2+~Р1)
где — обычная частота гравитационных волн на поверхности раздела [1—3].
В частности, значению р1 = 0 отвечает частота юg = поверхностных гравитационных волн на глубокой воде. В отсутствие сдвига ю12 = +юg и соответствующие решения однородного уравнения описывают гравитационные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. Из (3.1) следует, что в присутствии сдвига волна, распространяющаяся по потоку, имеет большую фазовую скорость с = ю/к, чем волна, бегущая против потока. Величина ю5 дает поправку к частотам гравитационных волн за
счет сдвига. Для достаточно коротких волн к > 5 /4g'ц поправка к частоте ю^ ^ юg. В этом случае с большой точностью ю12 = ю5 + юе.
Общее решение неоднородной задачи Коши (2.5), (2.6) представляется в виде
А(г) = БiQ(г) + 1Q(г - т)р(т)й т (3.2)
0
Q(г) = ¡(е1№1 - е1(а2 )1 цАю = г)/|аю^
0
где Дю = ю2 - ®i = 2&gs. Первое слагаемое (3.2) дает вклад за счет начальных условий. В ряде случаев удобно использовать другую,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.