М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2014
УДК 532.526.6
© 2014 г. М. В. УСТИНОВ ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛН ТОЛЛМИНА-ШЛИХТИНГА ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ ПОТОКА
На основе нелинейной модели турбулентности, допускающей отклонение скорости распространения вихревых возмущений от скорости потока, решена задача о порождении ею волн неустойчивости в пограничном слое на плоской пластине. Полученное решение удовлетворительно описывает экспериментальную зависимость числа Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода от степени турбулентности потока.
Ключевые слова: ламинарно-турбулентный переход, восприимчивость, волна Толлмина— Шлихтинга.
При малом уровне возмущений потока ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое происходит в результате усиления волн Толлмина—Шлихтинга. Механизм их появления в условиях "естественного" перехода до сих пор остается невыясненным, однако принято считать, что волны неустойчивости порождаются турбулентностью потока. Об этом косвенно свидетельствует увеличение числа Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода при уменьшении турбулентности в диапазоне 0.5—0.1% [1]. При теоретическом анализе восприимчивости пограничного слоя к внешней турбулентности ее обычно заменяют периодическими вихревыми возмущениями, движущимися со скоростью потока. Их пространственный период существенно превышает длину волны Толлмина—Шлихтинга и для ее порождения требуется взаимодействие волн завихренности с продольной неоднородностью течения в пограничном слое. Вследствие медленного нарастания пограничного слоя вниз по потоку внешние вихревые возмущения очень плохо возбуждают неустойчивые моды на основной части обтекаемой поверхности. Единственное исключение — острая передняя кромка, где коэффициент порождения волны Толлмина—Шлихтинга, согласно теории [2], порядка единицы. Эксперименты по взаимодействию волн завихренности, генерируемых вибрирующей лентой, с пограничным слоем на плоской пластине [3, 4] подтверждают выводы теории: волны неустойчивости возникают только при попадании приходящих из потока возмущений непосредственно на переднюю кромку.
Волны Толлмина—Шлихтинга, появившиеся вблизи кромки, сильно затухают, прежде чем достигнут нейтральной точки, где начинается их рост. По данным [5], коэффициент затухания на этом участке составляет порядка 104 для частот, вызывающих ламинарно-турбулентный переход при числах Рейнольдса порядка 106. Следовательно, коэффициент восприимчивости к вихревым возмущениям, вычисленный по амплитуде волны неустойчивости в нейтральной точке, очень мал и составляет гп ~ 10-4. Такой же порядок коэффициента восприимчивости дает механизм порождения волн неустойчивости на слабой неоднородности пограничного слоя в окрестности нейтральной точки [6, 7]. Суммарный коэффициент восприимчивости к вихревым возмущениям, учитывающий их генерацию как на передней кромке, так и на остальной поверхности, может быть оценен из результатов численных [8] и экспериментальных [9] исследований акустической восприимчивости пограничного слоя на плоской пластине. Так как механизмы порождениях волн неустойчивости звуком и завихренностью
принципиально не различаются, найденное в [8] значение гп = 10 4—10 3 (для характерной частоты, ответственной за переход при больших числах Рейнольдса) можно использовать для оценки интегрального коэффициента восприимчивости к волнам завихренности.
Простой анализ показывает, что линейный механизм восприимчивости за счет взаимодействия внешней завихренности с неоднородностью пограничного слоя слишком слаб для объяснения данных о зависимости положения ламинарно-турбулентного перехода от степени турбулентности потока. Согласно [1], числу Рейнольдса перехода Rx = 2.9 ■ 106 при Ти = 10-3 соответствует максимальный коэффициент усиления волн неустойчивости = e9 ~ 104. Если все турбулентные пульсации потока породили бы волны неустойчивости с максимально возможным коэффициентом усиления, то амплитуда пульсаций скорости в точке перехода составила бы и' ~ г^^Ти ~ 10-2. По порядку величины она соответствует порогу возникновения вторичной неустойчивости, приводящей к турбулизации течения. Однако только малая часть турбулентных пульсаций имеет частоту и поперечный период, соответствующий нарастающим волнам Толлмина—Шлихтинга, и может генерировать их. Более детальный анализ показывает, что для адекватного описания перехода, вызванного турбулентностью, коэффициент восприимчивости должен быть на два порядка больше, чем дает линейная теория.
Аномально высокую восприимчивость пограничного слоя к внешней турбулентности можно объяснить с помощью нелинейной модели, допускающей отклонение скорости распространения волн завихренности во внешнем потоке от его скорости. Часть из них может двигаться с фазовой скоростью волн Толлмина—Шлихтинга и эффективно генерировать их за счет резонансного взаимодействия. Измерения пространственно-временных корреляций пульсаций скорости в сеточной турбулентности, выполненные в [10], подтвердили наличие отклонений скорости распространения части возмущений от скорости потока. В [11] на основе результатов [10] разработана модель турбулентности потока, учитывающая этот эффект. В данной работе она применяется к задаче описания генерации волн Толлмина—Шлихтинга внешней турбулентностью.
1. Модель турбулентности потока. Рассматривается обтекание плоской пластины турбулентным потоком вязкой несжимаемой жидкости со средней скоростью иш и среднеквадратичной амплитудой пульсаций ее продольной составляющей Ти иш. Безразмерные переменные вводятся используя в качестве масштаба длины толщину пограничного слоя 8' = ух'/их на расстоянии х' от передней кромки пластины, соответствующему числу Рейнольдса Rx = и^х'/у = 106, и единицы скорости иш. В декартовой системе координат х, у, I с началом на передней кромке оси х, у, I задаются единичными векторами ;0, у0, направленными по потоку, вдоль передней кромки пластины и по нормали к ее поверхности.
Турбулентность потока считается однородной и изотропной с интегральным масштабом Ь. Среднеквадратичную амплитуду пульсаций вектора завихренности ю во внешнем потоке представим в виде интеграла
о
(ю, ю) = | |Еш(к, ю)йю
ёк
от плотности частотно-волнового спектра завихренности Еш, которая равна среднему квадрату амплитуды элементарных периодических возмущений
юевв; 0 = а(х - ¿) + р^ + уг - ю^ (1.1)
эо
эо
зо
с волновым вектором k = л/а2 + в 2 + у2 в интервале от k до k + dk и частотой в интервале от ю* до ю* + dю*. Далее предполагается, что Eю может быть задана в виде произведения плотностей спектра по волновому числу G(к) и частоте S(k, ю*)
да
Еа = в(к)S(к, (а*); |Б(к, (а*)dю* = 1
—да
Следует отметить, что здесь ю* — частота пульсаций завихренности в системе отсчета, движущейся со скоростью потока. Обычно используемая модель вмороженной в поток турбулентности соответствует бесконечно узкому частотному спектру.
Спектральная плотность завихренности по волновому числу выражается через трехмерный энергетический спектр турбулентности E(k)
в( к) = 2 к2Е(к) который аппроксимируется спектром Кармана F(k¡)
4
Е(к) = Ты2 ЬЕ( к), ¥(кх) = -к—6, к1 = кЬ (1.2)
12 п( 1 + к2 )17/6
Для описания частотного спектра завихренности используется модель, основанная на выражении для характерного времени т потери когерентности турбулентными пульсациями с волновым вектором к, полученным в [10]
к, а) = т(к)s(ат(к)), , = —П-ехр(-(()2)
т(к) = Т-н(к1), н(к 1) = [Д+4ТК+ д+4ТВ]-1 (1.3)
к\ да
1с = к\ к)dk, 1К = 1, = к2Е(к)dk, 1В = 11 Е(к)dk
¡С
0 0 к1
Аналогичная модель частотного спектра применена в [11] для описания ламинар-но-турбулентного перехода при повышенной степени турбулентности потока. Входящий в нее эмпирический коэффициент X должен быть выбран из условия соответствия результатов теории данным эксперимента.
Поле завихренности соленоидально, поэтому элементарное периодическое вихревое возмущение (1.1), которое в дальнейшем именуется вихревой модой, полностью определяется заданием амплитуд продольной ю;с и трансверсальной юу составляющих завихренности
1 а к 'о К0
У -I
ю
е + ау
1 - в к" 'о Ко
У -I
еЮ (1.4)
В дальнейшем предполагается, что волновые числа вихревой моды а, в, у и ее частота порядка соответствующих параметров волны Толлмина—Шлихтинга, которые во введенных здесь безразмерных переменных порядка единицы. При этом число
Шее = юх
Рейнольдса Я = иш8'/у = 103, вычисленное по толщине пограничного слоя рассматривается в качестве большого параметра. При ю* = 0 вихревые моды удовлетворяют линеаризованным уравнениям Навье—Стокса в однородном потоке с точностью до членов порядка Я-1, которыми будем пренебрегать. Если частота отлична от нуля, то для их поддержания требуется внешняя сила
>*«
гв
Г = -гю* и и = [юхиу + юхи± ] е
' ар. + а 2 + Р 2j вк
--'о + .1о - Р к1
у у
I
Ч = "2
2 г.2
■ * (1.5)
^ = 2
к2
I - р 2 + у2. + ав + ак
'о + Jо + а Ко
у у
которая выражается через скорость и, индуцированную вихревой модой. Эта сила моделирует нелинейное взаимодействие вихревой моды с остальной частью турбулентных пульсаций потока.
2. Генерация волны Толлмина—Шлихтинга вихревой модой. Возмущения, создаваемые вихревой модой (1.4) с бесконечно малой амплитудой в пограничном слое на плоской пластине, описываются линеаризованными относительно решения Блазиуса уравнениями Навье—Стокса с внешней силой. Наличие пластины и пограничного слоя на ней безусловно влияет на характеристики турбулентности потока вблизи ее поверхности. К сожалению, точно описать это влияние невозможно, тем более нельзя получить точное выражение для внешней силы, поддерживающей вихревую моду внутри пограничного слоя. С целью создания модели для внешней силы в этих условиях рассмотрим взаимодействие вихревой моды с пластиной, на которой нет трения. Такая пластина не изменяет поле завихренности и приводит только к появлению потенциальной добавки к возмущениям скорости, которая обеспечивает выполнение условий непротекания на ее поверхности. Так как любое потенциальное течение удовлетворяет линеаризованным уравнениям Навье—Стокса в однородном потоке, присутствие пластины не изменяет внешнюю силу,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.