научная статья по теме ГЕОМЕТРИЯ ПРИОСЕВЫХ МАГНИТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В БЛИЗКОМ К КВАЗИ-ИЗОДИНАМИЧЕСКОМУ СТЕЛЛАРАТОРЕ Физика

Текст научной статьи на тему «ГЕОМЕТРИЯ ПРИОСЕВЫХ МАГНИТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В БЛИЗКОМ К КВАЗИ-ИЗОДИНАМИЧЕСКОМУ СТЕЛЛАРАТОРЕ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 1, с. 96-100

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 533.9

ГЕОМЕТРИЯ ПРИОСЕВЫХ МАГНИТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В БЛИЗКОМ К КВАЗИ-ИЗОДИНАМИЧЕСКОМУ СТЕЛЛАРАТОРЕ

© 2014 г. М. И. Михайлов*, Ю. Нюренберг**, Р. Цилле**

*Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия **Институт физики плазмы им. Макса Планка, Ассоциация Евроатом, филиал в Грайфсвальде, Германия

e-mail: Juergen.Nuehrenberg@ipp.mpg.de Поступила в редакцию 04.06.2013 г.

Показывается, что в стеллараторной конфигурации условие стационарности второго адиабатического инварианта вблизи магнитной оси может быть удовлетворено для всех запертых частиц с хорошей точностью.

DOI: 10.7868/S0367292114010089

1. ВВЕДЕНИЕ

При введении понятия квази-изодинамично-сти [1] рассматривались глубоко и умеренно запертые на одном периоде частицы. Обобщение на все запертые частицы привело к конфигурациям с полоидально замкнутыми контурами модуля магнитного поля на магнитных поверхностях [2]. Интегральная физическая оптимизация такой конфигурации позволила найти граничную магнитную поверхность, реализующую хорошие неоклассические свойства и хорошую МГД-устойчивость [3]. Анализ качества выполнения условия квази-изодинамичности в такой конфигурации вблизи магнитной оси, выполненный в работе [4], показал, что оно выполняется не слишком точно. В данной работе исследуется, может ли условие квази-изодинамичности быть выполненным в низшем порядке разложения по степеням расстояния от магнитной оси, т.е. может ли быть выполнено с высокой точностью условие стационарности второго адиабатического инварианта для всех запертых частиц.

Расчеты проводились в два этапа. На первом этапе задача исследовалась в терминах спектра модуля магнитного поля в магнитных (бузеров-ских) координатах в приосевом приближении. На втором этапе полученное решение подтверждается нахождением геометрии магнитных поверхностей.

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Для рассматриваемых здесь конфигураций с полоидально замкнутыми контурами В на магнитных поверхностях при ограничении случаем стеллараторной симметрии удобно рассматривать I как вращательное преобразование на одном периоде, а тороидальную магнитную координату

ф нормализовать на 2я на одном периоде, так что свойство квази-изодинамичности может рассматриваться на интервале 0 < ф < я, а фурье-спектр B в основном приближении (корень квадратный из нормализованного тороидального потока s) может быть представлен в виде B = В0(ф) + + s1/2B1(0, ф), где Вх(8, ф) = Zb„cos(0 - иф). Соответствующее условие в магнитных координатах имеет вид1 [5]

cos гф^ bn cos (n ф) + sin гф^ bn sin (n ф) = 0 (1)

Очевидно, уравнение не имеет гладкого нетривиального решения. В дальнейшем будем считать, что минимум продольного поля на магнитной оси В0(ф) достигается при ф = 0, а максимум — при ф = я. Тогда область вблизи ф = 0 определяет поведение глубоко запертых частиц, а область вблизи ф = я — слабо запертых. Если относительное давление плазмы, в, не слишком велико, глубоко запертые частицы могут теряться из-за радиального дрейфа. Переходные пролетные-запертые частицы могут теряться из-за бесстолкновитель-ной диффузии. Соответственно, кажется правильным рассматривать приближенные решения, удовлетворяющие уравнению (1) вблизи экстремумов В. Именно это и делается в данной работе. Используются три уравнения, получающиеся в нулевом и линейном приближениях по степеням

расстояния от точек экстремума В, 0 и я: ^ bn = 0,

^(-1) )nbn = 0, ^ (-1)nnbn = 0. Кроме того, чтобы избежать появления дополнительного локального минимума В, потребуем равенства нулю произ-

1 В равенстве нулю константы интегрирования в [5] проявляется невозможность равенства четной функции нечетной.

Рис. 1. а) — две составляющих из уравнения квази-изодинамичности (1) при I = 0.173 и их сумма как функции ф между минимумом и максимумом В; Ъ0 = —1, Ьз = —1.095, Ъ_з = 0.778; б) — то же, что и на рис. 1а, но для Ъз = —0.952, Ъ_з = = 0.603 Ъ5 = -0.111, Ъ—5 = -0.111.

0

1

2

0

1

Рис. 2. а) — то же, что на рис. 1, но без нормировки для Ъ0, на 1/5 малого радиуса конфигурации, показанной на рис. 3, без учета членов с Ъ8 — Ъ^, которые не учитывались при оптимизации; б) — с учетом членов с Ъ8 — Ъ^.

водной нечетной части В вдоль силовой линии вблизи ф = 0, ^ пЬп = 0.

Таким образом, поскольку задача является линейной, для модели с семью фурье-гармониками получаем двумерную задачу минимизации интеграла от квадрата левой части условия (1).

Последний и наиболее трудоемкий шаг — найти соответствующую найденному спектру геометрию магнитных поверхностей путем оптимизации формы граничной магнитной поверхности для МГД-равновесия с нулевым давлением плазмы.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

Поскольку рассматриваются тороидальные конфигурации, и стеллараторы с винтовой квазисимметрией исключены из рассмотрения, кажется естественным использовать компоненту Ъ0

(представляющую тороидальный эффект) для нормировки: Ъ0 = —1. На рис.1а показаны результаты для двухпараметрической минимизации для случая, когда используются семь фурье-гармоник модуля магнитного поля (Ъп, \п\ < 3) для фиксированной величины вращательного преобразования, I. Показаны два члена условия квази-изоди-намичности (1) и их сумма, демонстрирующая компенсацию примерно в семь раз по сравнению с первым или вторым членом, и примерно в десять раз по сравнению с основным винтовым членом Ъ1. На рис. 1б показаны результаты четырех-параметрической минимизации (добавлены компоненты Ъ5 и Ъ—5). Как видно, степень компенсации при этом составляет примерно полтора порядка величины.

Реализация полученного спектра первого порядка (ж1/2) модуля магнитного поля в магнитных координатах была осуществлена для пятипериод-

98

МИХАЙЛОВ и др.

^в, один период

Рис. 3. Контуры модуля магнитного поля на 1/5 малого радиуса найденной с использованием УМЕС равновесной конфигурации.

ного стелларатора N = 5) с аспектным отношением А « 14 путем оптимизации границы, задаваемой для УМЕС [6] как Я(и, V) = ^Ятп cos(m« - п^)

и 2(и,ч) = ^2тп sin(mu - пч) и содержащей фурье-коэффициенты только с т = 0 и т = 1. Результаты оптимизации показаны на рис. 2а, 2б для 1/5 малого радиуса. На фурье-коэффициенты В1 с \п\ > 7 не накладывались ограничения при оптимизации. Присутствующие высокие гармоники с амплитудой порядка 10—4 можно трактовать, например, как создаваемые модульными катушками. Эти гармоники не использовались при построении рисунка 2а, но учтены на рис. 2б. На рис. 3 показаны контуры модуля магнитного поля для найденной конфигурации на 1/5 малого радиуса, поясняющие, как реализуется квази-изоди-намичность. На рис. 4 показаны сечения магнитных поверхностей. Как видно, магнитная ось не является винтовой (см., например, рис. 13 работы

_1_I--!_

11 12 13 11 12 13 4. Шесть эквидистантных в тороидальном направлении сече]

11 12 13

на половине периода.

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0

—0.5

— 1.0

— 1.5

—2.0

—2.5 2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0

—0.5 —1.0 —1.5 —2.0 —2.5

Рис.

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Рис. 5. Контуры второго адиабатического инварианта для глубоко (рисунок 1), умеренно (2) и слабо (3) запертых частиц. Радиальной координатой является нормализованный тороидальный поток.

[3]), а демонстрирует преимущественно вертикальное отклонение. Кроме того, скорость вращения эллиптического сечения по отношению к оси Z максимальна вблизи сечений с минимальной эллиптичностью.

4. ОБСУЖДЕНИЕ

Результаты расчета контуров второго адиабатического инварианта показаны на рис. 5 для приосевой области. Как видно, действительно вблизи магнитной оси достигается точка стагнации (или как точка экстремума, или как седловая точка). Достижение квази-изодинамичности при конечном аспектном отношении является предметом будущих исследований. Поскольку при конечном давлении плазмы диамагнитный эффект описывается в более высоком разложении по степеням расстояния от магнитной оси, чем в рассматриваемом здесь линейном приближении, трудно было ожидать появления экстремума второго адиабатического инварианта. Однако, как видно из рис. 5, для умеренно запертых частиц реализуется минимум второго адиабатического инварианта. Детальное рассмотрение орбит запертых частиц будет иметь смысл, только если в дальнейшем будет показано, что контуры второго адиабатического инварианты могут быть полои-дально замкнуты для всех запертых частиц.

Работа частично поддержана грантом НШ-436 1.2012. 2 Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ РФ. Авторы благодарны проф. П. Хиландеру за поддержку.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В работе [4] условие квази-изодинамичности связывалось с геометрией приосевых магнитных поверхностей с использованием разложения Мерсье около магнитной оси. Было отмечено, что при приближении к квази-изодинамичности происходит компенсация быстро изменяющихся функций, кручения магнитной оси и скорости вращения эллиптического сечения магнитных поверхностей, отсчитываемой относительно вращающейся главной нормали к магнитной оси. В данном разделе, учитывая простоту формы сечений магнитных поверхностей (см. рис. 4), условие ква-зи-изодинамичности выведено непосредственно из результатов расчета VMEC вблизи магнитной оси (не переходя к магнитным координатам), т.е. из геометрии приосевых магнитных поверхностей, задаваемых соотношениями ^ Rmn cos(mu - nv) и

^Rmn sin(m« - nv) с m = 0 и m = 1. Члены с m = 0 описывают центр приосевой потоковой трубки, а члены с m = 1 — геометрию приосевых магнитных поверхностей.

Модуль магнитного поля вблизи магнитной оси может быть выражен как БкЪ>(ы, v), где кривизна к в рассматриваемом приближении определяется из фурье-коэффициентов с m = 0, а расстояние вдоль главной нормали n к магнитной оси — фурье-коэффициентами с m = 1 следующим образом. Фурье-коэффициенты с m = 1 можно сгруппировать в четыре

1GG

МИХАЙЛОВ и др.

x1G-3 б

4 2 G —2 —4

Рис. 6. Расчет входящих в условие квази-изодинамич-ности членов с использованием непосредственно выходных данных УМЕС.

функции rc(v) = ^ R1n cos nv, rs(v) = ^

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком