Шелаев А.Н., доктор физико-математических наук, профессор Научно-исследовательского института ядерной физики им. Д.В. Скобельцына Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Тальдрик А.Ф., кандидат химических наук
(Всероссийский научно-исследовательский и проектный институт с опытно-промышленным производством тугоплавких металлов и твердых сплавов)
Квантовую механику понять невозможно, к ней можно только привыкнуть
Ричард Фейнман
ГЕОМЕТРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ КОНСТАНТ
Установление связей между фундаментальными физическими константами (гравитационной постоянной О, скоростью света С, постоянной Планка И, постоянной Ферми для слабого взаимодействия ОР, постоянной сильного взаимодействия , зарядом электрона
е и др.) принципиально важно для раз-вития теорий фундаментальных физических взаимодействий (гравитационного, электромагнитного, слабого и сильного), определяющих картину микромира и эволюцию Вселенной в целом (см., например, [1-6]).
Данная работа посвящена рассмотрению взаимосвязей между фундаментальными физическими константами новым, предлагаемым нами методом — через анализ геометрии размерностей этих констант.
Исходя из того, что количество фундаментальных физических констант больше количества фундаментальных размерностей, очевидно, следует сделать вывод, что размерности этих констант взаимозависимы. Чтобы найти эти зависимости, нами было использовано общеизвестное понятие размерности, позволяющее выявить эти взаимозависимости в алгебро-геометрической форме.
Будем использовать три основные размерности: массы (М), длины (Ь), времени (Т). Любую размерную величину А можно представить в форме А = А • Мх • Ьу • Т2, где А0 — безразмерная величина, а тройка (х,у,2) рациональных чисел — показатели степени при трех основных размерностях. Тройку чисел (х, у, 2) обозначим [А] = (х, у, 2) и назовем размерностью величины А. Таким образом, каждой размерной величине А ставится в соответствие тройка чисел или вектор [А] в трехмерном декартовом пространстве X, У, Z .
Очевидными свойствами размерностей являются следующие: 1) размерность произведения величин А = А1 • А2 равна сумме размерностей А1,А2: [А] = [А1] + [А2] =
= (х1 + х2, у1 + у2, 21 + 22); 2) размерность частного А = А1 / А2 равна разности размерностей А1 и А2 : [А] = [А1] — [А2] = (х1 — х2, у1-у2, 21-22) ; 3) при возведении размерной величины А в целую степень П величина размерности Ап умножается на п:
[ An = n • [A] = ( n • x, n • y, n • z ); 4) при извлечении корня n-ой степени из размерной величины А величина размерности [^A] = [A]/ n = (x/n, y/n, z/n).
К данному времени экспериментально получены следующие значения фундаментальных констант: гравитационная постоянная G * 6,672 59(85) -10 11 кг 1 • м3 • с2; скорость света
с * 299 792 458 м • с-1; заряд электрона e *1,602 177 33(49) • 10-11 Кл; постоянная Планка h * 6,626 075 5(40)•Ю-34 Дж• с. Значение константы Ферми для слабого взаимодействия Gf * 1,435 867 • 10-62 Дж • м можно получить из следующего соотношения: Gf /(c • h/2n)3 * 1,166 39(1) • 10-5 ГэВ-2.
Постоянная сильного взаимодействия Gs не имеет однозначного определения. Она
обычно вводится как некий заряд в потенциале Юкавы, при этом полагается, что в зависимости от энергии взаимодействующих частиц безразмерная постоянная сильного взаимодействия aS = G2 /(c • h / 2п) * 1 - 0,1.
Перечисленные выше фундаментальные константы имеют следующие размерности: [G] = (-1, 3, -2); [c] = (0,1,-1); [e] = (1/2, 3/2, -1); [h] = (1, 2, -1); [Gf] = (1, 5, -2). В пространстве размерностей X, Y, Z сопоставим этим константам вектора, выходящие из начала координат: 0G, 0c, 0e, 0h, 0GF (см. рис. 1).
Проведенный нами анализ показал, введенная система векторов позволяет получить целый ряд неожиданных и замечательных геометрических соотношений, отражающих связи между фундаментальными константами.
1. Из общих соображений трудно предположить, что концы данных векторов — точки G, c, e, h, Gf, находятся в одной (!) плоскости. Тем не менее, это так (см. рис. 2). Эта плоскость, которую мы назовем фундаментальной плоскостью (плоскостью для фундаментальных констант) определяется уравнением:
1 • x -1 • y - 3 • z - 2 = 0, (1)
из которого следует, что вектор нормали к этой плоскости n = (1, - 1, - 3). Вектору n соответствует размерная величина Вт / м3.
2. Точка e делит отрезок ch пополам (!), при этом отрезок Ge оказывается перпендикулярным (!) к отрезку ch. Если же продолжить отрезок Ge на длину, равную его длине
V11/2 , то получим точку m2, также лежащую в данной плоскости и имеющую размерность квадрата массы: [m2] = (2, 0, 0).
3. Отрезок GGf оказывается параллельным (!) отрезку ch. При этом длина отрезка GGF
в 4 раза больше отрезков се и еh и в 2 раза больше отрезка eh. Проведя же через точку m прямую параллельную ch (и GGf) получим, что эта прямая пересекается с продолжением
отрезка GFe в точке, имеющей размерность, обратную квадрату длины [L 2] = (0, - 2, 0) .
4. Учитывая, что длины отрезков в четырехугольнике GchGF имеют следующие значения:
GGf = 2\/2, ch = GGf/2 = V2, ce = he = ch/2 = 72/2, Gc = V6, GFh =>/10, получим целый набор примечательных соотношений меж-ду отрезками, соединяющими точки G,c,e,h,GF:
Ge2 = Gc2 - ce2 = Gh2 - he2, Ge2 = (GFe2 - GFG2)/2, (2)
ОИ2 = (Ое2 + Ие2)/2, Ос2 = (Ое2 + се2)/2, (3)
оор = (ои2 + ори2)/2, ори2 = (ори2 + сИ2)/2, (4)
се2 + Ие2 = Ос2 + ОИ2 — 2 • Ое2 = Орс2 + ОрИ2 — 2 • ОРе2. (5)
5. Площадь треугольника ОсИ равна половине (!) площади треугольника ОИОр, равной , а объем пирамиды 00сИ0р = 1(!). Длина перпендикуляра ОР, опущенного из вершины пирамиды О на данную плоскость равна 2/ л/ГГ, а координаты точки Р — точки пересечения перпендикуляра с фундаментальной плоскостью равны (2 /11, -2 /11, -6/11) .
Продолжив отрезок ОрИ до его пересечения с отрезком Рт2 в точке 0, устанавливаем, что
отрезки Ор0 и Рт2 перпендикулярны.
6. В фундаментальной плоскости ряд отрезков находится в отношении, близком к "золотому сечению ( а/Ь = Ь/(а + Ь) = (—1 + >/5)/2« 0,618034 ):
сИ/Ое = л/2 / 7Ш2 « 0,603 022, Ое /(сИ + Ое) = л/Ш2 /(72 + >/1172)« 0,623 821, ОсИ/ООРИ = {42 + л/б)/(>/8 + >/10)« 0,644 950, (6)
оори / осиоРо = (78+лЛо) /^л/6+72+ТШ +78)«0,607921.
При этом среднее арифметическое всех четырех величин, приведенных в (6), « 0,619929 , отличается от точного значения "золотого сечения" лишь на 0,001895, а среднее геометрическое « 0,619715 — лишь на 0,001681 (!).
7. Треугольник ОсИ оказывается равнобедренным (^с = Zh ~ 73,2213°,
ZО « 33,55730) и близким к "золотому треугольнику" Евклида (ZA = ZB = 720, ZC = 360), в котором биссектрисы углов А, В делят стороны СВ и АС в отношении "золотого сечения".
Любопытно, что, введя малые поправки на длины сторон треугольника ОсИ напр., линейные — пропорциональные длинам отрезков (ОИ « 411/2 — 0,0288, сИ + 0,0174 и т. д.) можно получить точные значения "золотого сечения" для всех отношений (6). Однако, при всех видах поправок треугольник ОсИ лишь приближается к Евклидову (при всех таких поправках углы принимают следующие предельные значения: Zc = Zh « 72,82790, ZО « 34,34410).
8. Три вектора 0с, 0е, 0И расположены в одной плоскости:
—1 • х +1 • у +1 • 2 = 0. (7)
Более того, через три конца этих векторов проходит прямая сеИ :
у = х +1, 2 = —1. (8)
Отрезок, соединяющий концы векторов 0с и 0И делится пополам концом вектора 0е, т. е. вектор 0е является средним арифметическим векторов 0с и 0И.
В фундаментальной плоскости могут лежать также точки, соответствующие различным комбинациям физических величин. Например, на прямой (8) лежит точка (2,3, — 1), соответствующая произведению момента инерции I (кг • м2) на импульс р (кг • м • с 1) .
В пространстве фундаментальных размерностей мы обнаружили еще целый ряд неожиданных соотношений: равенство отрезков, углов. Выяснили размерности точек, соответствующих пересечениям различных прямых. Но на основании уже перечисленного можно сделать следующие важные выводы.
Наличие такого большого числа замечательных геометрических соотношений в пространстве размерностей фундаментальных констант, очевидно, не может быть случайным. В то же время для получения конкретных физических результатов необходимо еще развить методы интепретации (расшифровки) этих соотношений, как бы подсказок для установления различных закономерностей.
В данной статье мы используем полученные подсказки для анализа до сих пор нерешенного вопроса о величине фундаментальных безразмерных констант - постоянной тонкой структуры ае и гравитационной постоянной :
ае = е2/(с • К)* 0,007297352, (9)
ае = О • тр /(с • К)* 5,904 647 313 • 10-39. (10)
Выражения (9), (10) записаны в системе СГСЭ, поскольку в системе СИ ае имеет более
сложный вид: ае = (1/4 п-е0) • е2/(с • К), К = Ь/2л.
С начала ХХ века очень многие известные физики и просто любители разгадывать тайны природы пытались получить значение константы ае (или ае1 * 137,035 999 114) из общих соображений. Однако предлагаемые выражения обычно не имели ясного смысла и не давали достаточно точной оценки.
Приведем примеры оценочных выражений для ае (а-1) :
а-1 = п2(п2 +1)/2 = 136 (п = 4) Эддингтон А.С. (* 1930 г.) а-1 = (4п)2 * 157,914 Капица С.П. (1966 г.)
ае * 0,4 • (тп/тр)2 * 1/120 Гейзенберг В. (1968 г.)
Учитывая то, что расположение фундаментальных констант на фундаментальной плоскости достаточно близко соответствует "золотому сечению" и "золотому треугольнику" Евклида, мы предположили, что в выражение для ае должны входить величины "золотого сечения" и величина, близкая к сумме углов полученного нами четырехугольника. После этого уже нетрудно было провести расчеты, из которых следовало, что величина а-1 * 137 делит
величину, близкую к 360° в отношении "золотого сечения":
а-1 * [(-1 + Т5)/2]2 • (360-1,235 096 635 6) * 137,035 9991114 (11)
При этом величина угловой поправки Дф * 1,2350 хорошо соответствует угловому отличию треугольника ОсИ от "золотого треугольника" Евклида (см. пункт 7).
В то же время число аg1 * 1040, относящееся к так называемым характерным большим числам, очевидно, не мож
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.