РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 59, № 4, с. 358-374
ЭЛЕКТРОННАЯ И ИОННАЯ ОПТИКА
УДК 533.537
ГЕОМЕТРИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ УЗКИХ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ С ПРЯМОЙ ОСЬЮ И ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
© 2014 г. В. А. Сыровой
Всесоюзный электротехнический институт Российская федерация, 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 12 Поступила в редакцию 06.05.2013 г.
На основе геометризованной теории сформулирован алгоритм расчета узких пространственных электростатических пучков, состоящий в определении метрики и поперечных производных параметров потока на прямолинейной оси, наиболее часто встречающейся в технических приложениях.
БО1: 10.7868/80033849414020089
ВВЕДЕНИЕ
Геометризованная теория, основанная на введении связанной с геометрией потока заранее неизвестной неортогональной системы координат х' (( = 1, 2, 3) с метрическим тензором g¡k, построена в монографии [1] (см. также приведенную там библиографию), а в наиболее полном виде изложена в [2]. Там же приведены необходимые сведения из тензорного анализа и дифференциальной геометрии координатных поверхностей.
Работа [3] посвящена теории узких трехмерных электростатических пучков с произвольным поперечным сечением и произвольной пространственной осью. В работе [4] рассматривалась прямая задача об эволюции такого пучка в заданном внешнем электрическом поле.
Пучки с прямой осью наиболее часто встречаются на практике, причем в отличие от традиционной параксиальной теории описывающие их соотношения не могут быть получены при обращении в нуль кривизны к и кручения к оси. Выражения для этих параметров через метрику использованы в алгоритме вычисления элементов метрического тензора на оси пучка в [3]. Для прямой оси соотношения для к, к переходят в тождества, в результате чего перенесение общих результатов [3] на специальный случай прямой оси становится невозможным. Таким образом, имеем дело с вырожденным вариантом, требующим отдельного рассмотрения.
1. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПУЧКА
Системы координат. Для описания пространственного электростатического электронного потока требуется использовать криволинейные координаты х' с метрическим тензором gik:
gl1 = ¿Ь g 22 = ^ gз3 = ^ g 23 = ¿2^008 023, gl2 = gl3 = 0,
g = ^¡к = (Й1Й2МП023)2 ,
2 3
(1)
0 2 3
23 — угол между осями х , х .
Условимся, что в дальнейшем латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, а греческие (по умолчанию) — значения 2, 3. Нижним индексом после запятой будем обозначать частную производную по соответствующей криволинейной координате:
и
П2'3 "я 3 ' дх
¿2,31 —
д 2к2 дх Здх1
(2)
Для контравариантного тензора g' имеем
¿12
22
1
,2 ■ 2, П2 81П I
33
23
"23
ео80
23
Й3281и2023
Й2Й381и2023
(3)
12
13
= 0.
Ориентацию криволинейных осей х' в пространстве относительно декартовых координат
у = {х, у, z} определяют пары углов О, у с соответствующими индексами, причем касательная к
x3 Z
Рис. 1. Ориентация криволинейных осей в пространстве относительно декартовых координат.
У
x
криволинейной оси составляет угол Э с плоскостью (х, у), а ее проекция на эту плоскость — угол у с осью х (рис. 1).
Производные у'к задаются формулами
Хд = А1С08&1С08у1,
Х,2 = Й2С08&2С08^ 2, Х,3 = Й3С08&3С08^ 3;
Уд = Й1С08д181иу1, (4)
У,2 = Л2С08&28Шу 2, у,3 = Й3С08&38Шу3;
Z¡1 = А^Ш^, г>2 = Л28т&2, £3 = 8Ш&3.
Вычисляя при помощи формул (4) сумму квадратов (йу ) дифференциалов декартовых координат, получаем выражения для недиагональных элементов метрического тензора, связанных с уг-
0 1 к кк между осями х , х :
cos012 =
gl2 hih2
= cosd1cosd2cos (у 2 - y1) + sind1sind2 = 0,
cos013 =
g13
hh (5)
cosd1cosd2cos (3 - ) + sind1sind3 = 0,
cos023 =
g 23 h2h3
= cos&2cos&3cos (у 3 - у 2) + sin&2sin&3.
Наряду с криволинейными осями x', проходящими через точку с декартовыми координатами
y0 = {x0,y0,z0}, рассмотрим локальную систему Y' = {X,Y, Z}, оси которой направлены по касательной к криволинейным осям x . Декартовы и локальные координаты связаны соотношениями
x = x - x0 = Xcosd1cosy 1 + + Y cos&2cosy 2 + Zcos&3cosy 3,
y = y - y0 = Xcosd1siny1 + (6)
+ Ycosd2siny 2 + Z cos d3sin y3, Z = z - Zo = Xsind1 + YsinS2 + Zsind3,
где углы Qk, у k соответствуют точке y'0.
Помимо неортогональной системы Y0' введем ортогональные декартовы координаты Y' = {X, Y, Z} (рис. 2):
X = X, Y = Y + Zcos$23, Z = Zsin023. (7)
Рис. 2. Системы координат Y, Z и Y, Z.
Эволюционные уравнения. Условия совместности соотношений (4) приводят к трем тройкам эволюционных уравнений:
h12 = [cosd1cosd2cos (у 2 - у1) + sind1sind2] h21 + + [-cosd1sind2cos (у 2 - у1) + sind1cosd2]21 -- cosd1cosd2sin(у2 -у1 )у21,
&12 = [-sind1cosd2cos (у 2 - у1) + cosd1sind2] h21 + + [sin^sind2cos (у 2 - у1) + cosd1cosd2]21 + + sind1cosd2sin (у 2 — у1 )у 21,
1
У 1,2
- [cos^2sin (y 2 -У1 )h2,1 -
cosd1
- sin^2sin (y 2 -У1 )^2,1 + + cos^2cos (y 2 -У1 )У 2,1];
h13 = [cosd1cosd3cos (у 3 - y1) + sind1sind3] h31 + + [-cosd1sind3cos (y 3 - y1) + sind1cosd3]31 -- cosd1cosd3sin (y3 — y1 )y31,
S13 = [-sind1cosd3cos (y 3 - y1) + cosd1sind3] h31 + + [sind1sind3cos (y 3 - y1) + cosd1cosd3]31 + (8) + sind1cosd3sin (y 3 — y1 )y 31,
у 13 = —[cos^sin (y 3 — У1 )h3,1 -cos^1
— sinS3sin (y 3 — y1 )S31 + + cos&3cos (у 3 — y1 )y 31];
Н23 = [С08&2С08&3С08 (у 3 - у 2 ) + 8Ш&28т&3 ] Н3 2 + + [-С08&28т&3С08 (у 3 - у 2) + 8Ш&2С08&3]32 -- С08&2С08&38Ш (у 3 - у 2)у 3 2,
&23 = [—5т&2С08&3С08 (у 3 - у 2) + С08&28Ш&3] Н3 2 + + [8Ш&28т&3С08 (у 3 - у 2) + С08&2С08&3 ]32 + + 8Ш&2С08&38т (у3 - у 2)у 3 2,
¥2,3 = [^З^Ш (у 3 - у 2 ) ^3,2 -
- 8Ш&38т (у 3 - у 2 )&32 +
+ С08$3С08 (у 3 - у 2 )у^ ].
Здесь и ниже использованы следующие правила образования символов с чертой, различающиеся для элементов метрического тензора, потенциала ф и углов:
h — h1,2 h - h2,33 g _ g23,3 h1,2 —TT, h2,33 —~~2 , g23,3 — ~T7 hh
h2h3
- — Ф,23 a — ^2,1 Ф,23 - , , a2,1 — , . h2h3- h1
hh2
(9)
Первые две тройки соотношений (8) позволя-
1
ют сместиться с оси х в поперечных направлениях, последняя задает связь между поперечными производными.
Уравнения пучка. В нормировках, исключающих физические постоянные используемой системы единиц, интеграл энергии, уравнения дви-
жения, сохранения тока и Пуассона определены соотношениями
2ф = u2, ((2ф) = 0, ((2ф) _ 0,
V—pu _
hi
_ h2oh3QJ, ¿20 = h2 (0, x2, x3),
h2h3 sin 023 ^^-23 ф,1
hi У.1
h1h3
^2^023ф,2
Vh2Sin 023 hih2
ф,2 - hlCtg02зфlз
^ л/g p,
(10)
■ф3
h3Sin 023 J 3
запятой представляют единственное исключение из правила (2).
Соотношения на траектории. Следствием приведенных выше уравнений является выполнение на траектории при произвольном способе отсчета
1
продольной координаты х соотношения, содержащего только продольные производные:
h 11 + h 11 - COS ®23&23 11 = f -ctg 023 (h22i + Лзд) + (
+
где u, p, J — скорость, плотность пространственного заряда и плотность тока эмиссии с катода
X1 = 0.
Условия эвклидовости пространства. Элементы метрического тензора (1) в эвклидовом пространстве удовлетворяют шести тождествам Ля-ме, из которых нам потребуется только пять:
hi ,аа = -ka ,ц + Ctg2023h^i +
+ . I [((а - cos ^23hi,у ) + 1 ^23,1 -sin 023 4
cos 023 _ у 1_
2 . 2 A g23,1 - k1,1 + ~ф,1 V Sin 023 2
2
((2,1 + hy) +
+ Sin
23
2k2 + 2 (,11 - йцфд)
+
(13)
+ cos 023 (ky - 2 ф,1) g23,1 - 2
¡T W 1 1 + cos 023 -2
^ g 23,1 (,
sin
23
- cos
023-23,1ha,1 + (cos 023^ - k^)(( - -23,a)] ,
k1,23 — 2 g 23,11 +
f = h2ühJÜJ sin 023 h2h3u3
где к — кривизна траектории.
Первые поперечные производные элементов метрического тензора удовлетворяют на траектории уравнениям, которые в терминах вспомогательного оператора ^ а имеют следующий вид (Y = 5-в):
+
sin2 0
23
1 (h2,1 + h 31 - icos 023-23д) -23д + k2,a11 + k3,a11 - cos 023—23,a11 = a (k2 + k3 ) -
+ (1,2 - cos 023^,3)h2,3 - (cos 023^,2 - ky )
, (11)
cos (
23
'sin2 0
(2,1 + ky)-
23
2 ,
g23,a1 - 2ka,y1 + 2ctg2023ka,1ka,y +
+ . L [(cos 023-23,1 - 2hy,1) —23,a +
1 + cos2 023 — 1 Q -
-23 — 23,1 - 2 cos 023ф,1
sin2 0
23
g 23, a1 +
sin 023
*T,a
+ -23,1 ((,<*" 2cos023ha y - ha,a - sin2 ©23) +
+ 2ha,i (-cos 023hya + sin2 023hi,r) + + 2hy,i (ha Y + cos 023ha, a)] = 0.
Свертка по a здесь не проводится (а — фиксирующий индекс), у = 5 -а.
Вторые производные y^ декартовых коорди-
l i нат y по криволинейным координатам х связа-
m 1
ны с первыми производными y формулами
l _ т-^m l r^m _ mn-г^
y,ik — Г iky,m, Г ik — 8 r n,ik>
— i( - ^ (I2)
Г n,ik — 2 \Sni,k + gnk,i gik,n),
где Г ik, Г mk — символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода, причем индексы ik у первого из них после
2 (2,1 + ¿3д)- 2cos 023—23,1 + 5sin2 023ф,1
k1,a1
4 [(k1,2 - cos 023^1,3 ) k1,2a + (k1,3 - cos ©23^,2) k^a] + + sin2 023h1,a11 + f (k2o,a + k3o,a + Ja + 2\а),
Ж akß =
-2ctg2023 (k2,1 + k3,1) + 2 cos2^23 —23,1 +1 ф ,1
sin 023 2
X kß,a1 + i -kß,11 +
2ctg2
í
^23
2 - cos
23
sin
kß,1 + (14)
23
+
3 - cos
sin2 0
23 h 2« k Y,1
23
- 2
3 + cos 023 A _ 1-^^cos 023—23,1 "ф,1
sin
-'23
+ 2
Ctg^hY,1 - l+eo.X cos 023—23,1
sin
23
sin
hß,1 + h +
23
2cos023g 23,11 +
B13 -
1 + 2 cos
23
- cos
'23 77
sin
g23,1 + cos 02зфд
23
U 2 , 3\
2 (g23,1V + g33,1V )
g 23,1
cos 023ф,11
4 (р + 2 cos 023h у ) + (1 - ctg2023 )/ l hp¡ a
T = K1 + К 2 = -
, r^T ((2,1 + hj,1 - cos 023g23,1) , A1sin 023
1
(15)
v1 = v3 = 0, v2 = h2 sin (
'23?
1 n 2
v = 0, v =
1
(2 sin 023
v3 = _ Ctg023
h3 '
(17)
Bae описываются соотношениями
B11 = - 2 (11,2V2 + gn3V ) =
3)
hi Í~T
sin 09
( - cos 023(1,3),
B33 - -
(g23V23 + g33V33) - 1 (g33,2V2 + g33,3V3)
-(-(3,2 - cos ©23(3,3 + g23,3),
sin 023
(18)
ft g 23,1 - cos 023(3д). sin 023 \2 I
Используя приведенные выражения, получаем
T = G аЧр =
1
Кривизны координатных поверхностей. Поскольку поверхности x1 = const ортогональны линиям x , совпадающим с траекториями, то для полной T и гауссовой K кривизн этих поверхностей справедливы приведенные в [1, 2] формулы, принимающие в нашем случае вид
(19)
к = К1К2 = ,2 ((2,1(3,1 - -g23,1),
% sin2 023 \ 4 , !
где к1, к 2 — главные кривизны.
Для поверхностей x2, x3 = const в силу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.