DOI: 10.12731/wsd-2015-8.2-22 УДК 517.442; 517.443
ГИБРИДНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СВЁРТКИ: ПРИЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ВИДА 1/(x2 + g2)
Сагитов Ю.Х., Аширбаев Н.Д., Мелешко И.В.
Предлагаемая работа является 4-ым этапом исследования гибридного интегрального преобразования свёртки и оно посвящено её применению для комбинаций: линейной и квадратично убывающей функций; линейно и квадратично убывающих функций; двух квадратично убывающих функций; предлагаются приложения свёртки в виде вычисленных определённых и несобственных интегралов от данной комбинации функций.
Ключевые слова: определённый и несобственный интегралы; Фурье и Лаплас интегральные преобразования; гибридное интегральное преобразование свёртки; сходящийся интеграл; равномерно сходящийся интеграл.
HYBRID INTEGRAL TRANSFORMATIONS OF CONVOLUTION: APPLICATIONS FUNCTION OF THE FORM 1/(g2 + z2)
Sagitov Ju.Kh., Ashirbaev N.K., Meleshko I.V.
The proposed work is the 4th phase of the study hybrid integral transforms convolution and it is devoted to its application for combinations: linear and quadratic decreasing functions; linear and quadratic decreasing functions; two quadratic decreasing functions; provides apps in the form of a convolution of the calculated and certain improper integrals from a given combination of features.
Keywords: definite and improper integrals; Fourier and Laplace integral transforms; hybrid integral transform of a convolution; a convergent integral; the integral is uniformly convergent.
Введение
Данная работа является продолжением исследования, начатого в работе [1], где было выведено гибридное (Фурье-Лаплас) интегральное пре-образование свёртки и приведена основная теорема с доказательством и следствия из неё. Предложенный метод является достаточно эффективным в различных математических исследованиях, например, при вычислениях определённых и несобственных интегралов, при нахождении частных и общих решений интегральных и интегро-дифференциаль-ных уравнений определённого типа, а также систем таких уравнений, при решении краевых задач математической физики. На данном этапе, основное направление исследования сосредоточено на первом направлении: применение гибридного (Фурье-Лаплас) интегрального преобразования свёртки для вычисления определённых и несобственных интегралов для различных функций. Так, в работе [1] приводятся результаты для кусочно-постоянных функций; в статье [2] - для комбинации кусочно-пос-то-янных функций и функций типа 1/(x + g); следующая работа (Сагитов Ю.Х., Аширбаев Н.Д., Куприенко Е.Ю. «Гибритное интегральное преобразование свёртки: приложения для функций вида /(x + g)»)1 - целиком посвящена вычислению интегралов для комбинации двух кусочно-линейно убывающих функций вида 1/(x + g). Объём приложений к основной теореме и её следствий достаточно большой, поэтому результаты исследования разбиты на несколько статей. Для целостного восприятия излагаемого материала применяется сквозная нумерация, что позволяет использовать адресные ссылки на предыдущие статьи под номером формулы, которая в ней задавалась. Предлагаемая часть исследования посвящена приложениям формулы свёртки для комбинаций кусочно-непрерывной квадратично убывающей функции вида 1/( x2 + g2) с кусочно-непрерыв-
1 Готовится к печати; выйдет в сентябре.
ными постоянной функцией, линейно убывающей функцией вида 1/(х + g) и квадратично убывающей функцией.
Приложение 4. Применение формулы свёртки для функций вида 1/^2 + g2)
4.1. Пусть
0, 0 <х<а р(х)= • 1, а<х<Ь, ф{х)=-0, Ь<х< оо
причём в общем случае а^Ъ^ 0<а,Ь^,г<ж.
Подставим явные выражения функций (80) в интегральные равенства (4) [1, с. 77], (5) [1, с. 78] и (6) [1, с. 78], тогда
О, 0 < х < а 1/(с2+£2) а<х<Ъ О, Ъ < х < 00
(80)
г х ек Ь -х _ 1
+ = -г2)
Ы'
( и2 _1_ г,1 \ 0+2
уТ?,
-М
а2+Е2
(81)
г с!х Ъ-х _ 1
(82)
х <| — • arctg
(Ъ-а)г г2 + а-Ь
■1п
(Ь2+г^
2 2
---агсЩ
8
\Ь-а).
ё
+а-Ъ
■1п
1.2 , „2 О +g
2 2
г ¿¿с_^
!х.<?2+ё2){?2+22)
1п
Ъ-х а+х
а-х Ь+х
2 2
(1 ~(Ь-а)г~ _22 +а-Ь \ 2 ( 1
— ■ агсф — — ■ аге2£
I2 и
Я2+а-Ъ
(83)
Видоизменим формулы (81) и (82), используя свойство суммы логарифмов по одному основанию, с той целью, чтобы в последующем в получившихся выражениях можно было перейти к пределу Ь ^ В итоге
г хсЬс ¡{?2+ё2){?2+22)
Ы
Ъ2-х2 а1 +
-х2 й2+g2
(84)
1п
Гъ 2 + 22Л
Ъ-х a+g
а2 + г2
-£п
2\
а-х b+g
8 -г
¿>2+g
— • arcíg
(Ь-а)г г2 + а -Ъ
х (85)
х£п
a + g Ъ2+г:
b + g V а +г
---агс/£
£п <*+8
ъ+ш
0, 0 < х < а l/(?2+g2) а<х<Ь, О, Ъ<х< оо
(86)
^ £2+а-Ъ_
4.2. Пусть
О, 0 < х < а Р{х)= ■ \/{х + g), а<х< г»,ф(х)= О, Ъ<х< со
причём в общем случае a^bфgфz; 0<а,Ь^,г<к>.
Подставим явные выражения функций (86) в интегральные равенства (4) [1, с. 77], (5) [1, с. 78], затем произведём переобозначение вида: F(x) » F(x) и вновь подставим в (5), и в завершении, заданные в первоначальном виде
функции подставим в (6) [1, с. 78]. В итоге
ь
\
х-с1х
1п
Ъ-х а
а-х у Ъ т§
Ь+х a+g
а+х b+g
(1.Т- , _2 „2 . „^ 0+2 а +g
^1 ■ arctg
(Ъ-а):
г <к
х-£п
г2 +а-Ъ Ь2-х2 а2+ё2
а + § \Ъ
b+g \а+г
(87)
■ы
а2-х2 Ь2+ё7 л г
<*+8 \ь +8
b + g ^¡a¿+g
1
Ъ-х а +
а-х \Ъ+g
2 2 Г+г2
•1п
Ь2 + г2 а2+22
2-В2
■1п
Ь2+Е2 а2+ё2
а -g
Ъ2 ~2
х \ — • аг
8 . ^
(Ь-а)г г2 + а-Ъ
■ы
\
(ъ2
\а2 + г
а2 ~82
Ь2 ~82
х(88)
-£п
a+g Ь+г
b+g \а +г
ск
х
2+22)
(Ь-а)- 2
г2 +а-Ь_
х-Ы
Ь-х
а-х
а + х
агсЩ
(к
(Ь-а)-2
аг^ (Ь-а}
Ь + х
(Ь-а)-2 г2 + а-Ь
Е
82+а-Ь
0
1
х-£п
Ь-х
а-х
а + ё
-ё-Ь 2
(Ь-а}
Ь-х а-х
/
И
а + ё 6 + ^
4
£
Г + г2
а2 + 22
(89)
¿■+а-Ь
+ (п а + £ [Ь
+ Я 11а
1 + а-Ь
\--arctg
Ь + ё
~(Ь-а)-2
Ь-х
а-х
\
а + х Ь + х
1 +а-Ь
а + £ \Ь +£
b+g \а+2
(90)
4.3. Пусть
(Ь-а)
| агсг£
(Ь-а)
-1п
а + ё Ь2+£
Ъ+g \а +g
^(х)= ф(х)-
0, 0 < х < а 1/(*2+Я2) а<х<Ъ, О, Ъ<х< со
(91)
причём в общем случае а^Ь^ 0<а,Ь^,г < со.
Подставим явные выражения функций (91) в интегральные равенства (4) [1, с. 77], (5) [1, с. 78] и (6) [1, с. 77]. В итоге
ь ^ \1п а \ Ь2-у л а2+ёЛ X
2 2 а -х Ь2+82;
■1п
ГЪ2+22 а2+82Л а2+22' Ъ2+&2
£п
Ъ2-х2 а2+§<
а2-х2 Ь2+87
+ Ы
Ъ—х а+х
а—х Ь+х
(к
<!2 + ё2)-^ + 22)~
'■•й-*)
■ arctg
(b - a)- z z2 + a b
■in
íb2 +z2 a2+g2^ yCt2 +z2 b2 +g2 y
U2
b —a
D
jen
b-x a+x
a-x b+x r\
dx
arctg
1
(b-a)-
8
g+a-b
(93)
x-(f 2 + g2J-(x2+z2y(g2-z2J
— ■ arctg z
\2
— • arctg yg
(b-a)-g2 + a-b
g
\2}
arctg
x < arctg
(b-a)
■g
g+a-b
g-(b-a)-(g2-a-b)¡1
z2+a-b (b-a)g
g+a-b
(94)
Преобразуем формулу (93), используя известное свойство логарифмов
D
b-x
dx
1
1 [1
+ — ■ arctg g
•arctg
(b-a}.
arctg
z + a - b
(b-a)g
■£n
b2+z2^
g+a-b
ln
7 1
a +g
r¿ , 2 b +g )
+(95)
g-a^Ja+g
b - a _ _
' g-{g2-z2W+g2W+g2)\2-g-(b + a)l\b2+g2) или
i „2\
-arctg
(b-a)g
g1 + a-b
|in
b-x a+g dx 1 1 1 •j — -arctg z ~(b-a)-z~
a-x b + g (x2+g2).(x2+z2) 2 _z2 + a-b_
х.Ы
b2+z2 fa + g
a +z \b+g
' g-k1-*2)] 2-g2
1 н---arctg (b-a)-g~ ■in
S g + a-b _
a2 + g2 f b + g
\2
b2+g2 l^a + g
•arctg
Г(й-а> g ■en a2 + g2 { , Л 2 \ 8
g2+a b b2+g2 U+gJ
(96)
b2-a2
g2 - a-b
Íl>2+g2W+g2)\2-g-(b + a)
■ en
a2 + g2
b+g
í6+gTl - arctg ~(b-a)g 2 i lili
g+a-b
Вычтем из (90) формулу (94), предварительно умноженную на параметр g
(к
\Ь-а)8
£п
Ь-х a+g ■£п Ь-х а+х
а-х b+g 2 2 * +Г а-х Ь+х 2-г3
1
\Х
^x■arctg
У+ а-Ь
|з-я2-г2
I
2-?-(Ь-а)у-а.ъ)}
х агс^
•arcíg
1
(Ь-а)
(Ь-а)
ё2 + а-Ъ_ ■ агс1%
+ £п ( а + ё
Ь + ё
\(ь~ а)- г
_ г? +а- Ь_
2+£2
„2 2 * ё
(97)
г + а-Ъ
+ £п
a+g Ь +г
b + g \а +г'
Повторим, выше указанную процедуру, с формулами (83) и (90)
<к
о
■—4-4 ■ аг^
8
(Ь-а)-г г2 + а Ъ
а+х b+g Ь+х a+g
'(Ь-а)-г' 1а + 8.1.
г2 + а-Ь 2 [ь+ё Ь
■- (98)
агс/£
(Ь-а)-8~ ё2+а-Ь_
аг^
+ £п
a + g \ь2+82
Ь + 8
Сложим (84) с формулой (94), предварительно умноженной на параметр g2, в результате чего получим следующее выражение 'г
1
г2—2
■ ы
Ъ — х
а — х
а"
ь2+ё2
^г -ах
±11 + g2
"I
(* + *)■ (¡с2
4
{Ь-х 1а2+ё211 1 Г'г х<1х
у х-сЬс {Ь + х _ 1
Для того, чтобы упростить левую часть полученного выражения, используем предыдущие результаты, т.е. формулы (27) [2, с. 212], (34) [2, с. 213], (37) [2, с. 214], которые предварительно видоизменим, т.е.
х-ах
\(х + 8){?2+22)
х£п
I
сЬс
х£п
(99)
(100)
/ (Ъ2+22 а2+82] - агсг£ (б-а)-г 1
г ч ка+г1 ¿Г+£ , \_2 + а-Ь\ Л
ск
>х2+22
■Ы
ъ- X (
а- X У
2-г
■Ы
и2 , „2 , „2 о + г а + £
„2 , _2 и2 , „2 а + 2 о + £ J
• агсЩ
(Ь-а)г
г2 +а-Ь
•(101)
В формуле (99) сделаем предельный переход: z ^ g, что возможно, т.к.
ет
ь
I?
интеграл является равномерно сходящимся.
х-сЬс
1п
Ъ-х
х 1 аг
82+а-Ь
а-х
+ М
Ъ2 + Е2
Ь + ё \аг + ё
(102)
я + # \Ь2+ё
Подставим формулы (100) - (102), (36) [2, с. 213], в исходное выражение
г х-сЬс
£п
Ь+х а
- аШ8'
а+х V* +&
(Ь-а)
1
ё+а-Ь
+ --£п2 4
Г и2
а +£
агхЛ8'
2\
г +а-Ь
2 ,2 7 2 . 2
а + 2 о + £
или
ь
(ъ + х а \ 1 1 агсг&2 (Ъ-а)г'
ка + х A + g/ ~2.(е2-22) _22 + а -Ъ
- аг
{Ъ-а>8 82 + а-Ъ
+ £п
'Ъ2+22 а2+Е2
а1+г1 Ъ2+82
£п
(104)
а + г \Ъ + г Ъ2+%2
Ъ + ё \сг+г а +£'
Теперь, перейдём к преобразованию ранее полученных формул, что позволит получить новые результаты. Начнём с (89). В подъинтеграль-ном выражении первого слагаемого, распишем очевидным способом логарифм
£п
Ъ-х
а-х
\
а + х Ъ + х
= £п
Ъ-х
а-х
а + ё
+ £п
а+х ¿ + # Ъ+х
После подстановки в (89) и, применения (36) [2, с. 213] и (105), имеем
х-<к
V
■Ы
Ь-х a + gs
а-х ъ+ш)
1
х < агcíg
(Ь-а)-
12 + а-Ъ 1
+ — • ¿п
a + g \Ь +г
+ 1п
■\arctg
b+g \а2 + г2
ё+а-Ь
arctg
1
\b-ayg
(Ъ-а):
ё+а-Ь
+ 2-£п
a + g \Ь + Г 'а + Ъ
))
b + g \ а +g'
(105)
^2 + г2 а2+§2
уа + Г Ь2+ё
■£п
а + г 1Ь2 + 22 Ъ2 + 82
b + g Уа2 + г2 a2+g2
^ ' J
При модернизации (92), также воспользуемся свойством логарифмов и, слева от знака равенства получим х-дх
■£п
Ъ-х
ъ2+е
1
' „2 2 &
I í х-ск \\[?2 + 82)[!2 + г2)
£п
Ъ + х а + £
а+х \Ъ +£
Г х'<^х о
Ъ+х а+ £
а + х у Ъ +%
Первый интеграл в фигурных скобках вычисляется по формуле (104),
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.