научная статья по теме ГИБРИДНЫЕ СХЕМЫ БЕГУЩЕГО СЧЕТА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА НА ОСНОВЕ ПРОТИВОПОТОЧНЫХ И БИКОМПАКТНЫХ СИММЕТРИЧНЫХ СХЕМ Математика

Текст научной статьи на тему «ГИБРИДНЫЕ СХЕМЫ БЕГУЩЕГО СЧЕТА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА НА ОСНОВЕ ПРОТИВОПОТОЧНЫХ И БИКОМПАКТНЫХ СИММЕТРИЧНЫХ СХЕМ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1196-1207

УДК 519.633

ГИБРИДНЫЕ СХЕМЫ БЕГУЩЕГО СЧЕТА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА НА ОСНОВЕ ПРОТИВОПОТОЧНЫХ И БИКОМПАКТНЫХ СИММЕТРИЧНЫХ СХЕМ1)

© 2015 г. М. Д. Брагин*, Б. В. Рогов*, **

(*141700Долгопрудный М.о., Институтский пер., 9, МФТИ (гос. ун-т);

**125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМРАН) e-mail: michael@bragin.cc, rogov.boris@gmail.com Поступила в редакцию 16.06.2014 г.

Для расчета разрывных решений уравнений гиперболического типа предлагаются новые гибридные разностные схемы. В них бикомпактная схема третьего порядка аппроксимации по времени и четвертого по пространству монотонизируется за счет нескольких схем-партнеров первого порядка аппроксимации по времени, а именно "явного уголка", бикомпактных схем второго и четвертого порядков аппроксимации по пространству. Их суммарная область монотонности охватывает все числа Куранта. Построен алгоритм автоматического выбора наиболее подходящей схемы-партнера. Дано строгое обоснование механизму переключения между схемами высокого и низкого порядков аппроксимации. Все используемые методы могут быть эффективно реализованы методом бегущего счета. Предлагаемые гибридные схемы были проверены на модельной двумерной задаче о взрыве в идеальном газе. Библ. 44. Фиг. 8. Табл. 2.

Ключевые слова: уравнения гиперболического типа, разрывные решения, гибридные схемы, высокоточные компактные и бикомпактные схемы, численное решение задачи о взрыве в идеальном газе.

doi: 10.7868/S0044466915070042

ВВЕДЕНИЕ

Уравнения гиперболического типа и, в частности, гиперболические законы сохранения описывают многие физические явления, в особенности такие, которые могут допускать разрывные решения. Это послужило стимулом для развития множества современных численных методов высокого разрешения для приближенного решения этих уравнений. Эти методы могут быть подразделены на два типа: противопоточные и центральные схемы. Прототипом большинства про-тивопоточных схем является схема Годунова первого порядка аппроксимации (см. [1]) (далее для краткости — порядок), а прототипом большинства предложенных центральных схем — схема Лакса—Фридрихса первого порядка (см. [2]). Противопоточные и центральные схемы имеют свои преимущества и недостатки. Как правило, противопоточные явные схемы обеспечивают лучшее разрешение вблизи разрывов решения, чем центральные схемы с тем же порядком и размерами ячеек сетки. Однако противопоточные схемы более трудоемки и сложны при их реализации, чем центральные схемы, прежде всего вследствие необходимости решать задачи Римана на границах разрывов для того, чтобы рассчитывать эволюцию решения во времени. Кроме того, решение этих задач сильно зависит от структуры потоковой функции и вида уравнения состояния, связывающего физические параметры среды. Это препятствует разработке универсального программного обеспечения, основанного на противопоточных схемах. Центральные схемы исключают из алгоритма решение задач Римана, они легко обобщаются на системы уравнений и многомерные задачи. По этой причине в последние годы центральным схемам уделяется значительное внимание.

1) Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ по постановлению № 220 "О мерах по привлечению ведущих ученых в российские образовательные учреждения высшего профессионального образования" по договору № 11.G34.31.0072, заключенному между Министерством образования и науки РФ, ведущим ученым и Московским физико-техническим институтом (государственным университетом).

Компактность шаблона разностной схемы обеспечивает ей дополнительные преимущества: эффективные методы решения разностных уравнений (прогонка или бегущий счет) (см. [3]—[5]), удобство постановки граничных условий (см. [3], [6]), хорошее спектральное разрешение (см. [7]). Недостатком компактных схем является то, что они генерируют осцилляции (эффект Гиббса) около ударных волн или в областях больших градиентов (см. [8]). Перечислим основные способы подавления этих осцилляций, предлагаемые в литературе. В [9]—[13] применяются специальные ограничители численных потоков. Широко употребимы искусственная диссипация (см. [14]—[16]) и численные фильтры (см. [17]—[22]). В ряде работ при конструировании вычислительного алгоритма объединены компактные схемы с улучшенным спектральным разрешением в областях гладкости решения и схемы ENO (Essentially non-oscillatory) из [23] или схемы WENO (Weighted ENO) из [24]—[26] с неосциллирующим поведением вблизи разрывов решения. Альтернатива данному методу состоит в расчете потоков на границах ячеек посредством компактной эрмитовой интерполяции на кандидатах-шаблонах с последующим применением либо ENO-алгоритма (см. [27]), либо WENO-алгоритма (см. [28]—[32]) для расчета весовых коэффициентов интерполяции.

В [4], [5], [33] предложены гибридные бикомпактные схемы для сквозного счета разрывных решений нестационарных уравнений гиперболического типа. В этих схемах оператор перехода от одного временного слоя к другому строится как нелинейная выпуклая комбинация операторов перехода двух схем первого и третьего порядков по времени. Каждая из них имеет одну и ту же дискретизацию пространственных производных с четвертым порядком точности на симметричном шаблоне. Важнейшим отличием обсуждаемого оператора перехода от других подобных операторов (см. [34]) является его локальность. Весовой коэффициент в данном операторе зависит только от значений решений схем первого и третьего порядков по времени в рассчитываемой пространственно-временной точке. Другая черта бикомпактных схем — возможность их эффективной реализации методом бегущего счета. Это обстоятельство обусловлено первым разностным порядком их уравнений.

Недавно способ построения гибридных схем (см. [4]) был успешно применен для монотонизации нецентральной мультиоператорной компактной схемы девятого порядка по пространству и четвертого по времени (см. [35]). Для монотонизации схемы высокого порядка точности использовались различные схемы-партнеры первого порядка по времени.

В настоящей работе построены новые гибридные схемы, основанные на явных противопо-точных и бикомпактных симметричных схемах. По методике (см. [4]) решение, получаемое по бикомпактной схеме четвертого порядка по пространству и третьего по времени, монотонизиру-ется за счет решений, даваемых несколькими схемами-партнерами первого порядка по времени. К ним относятся "явный уголок", бикомпактные схемы четвертого и второго порядков по пространству. Их суммарная область монотонности включает все числа Куранта. Предложен алгоритм автоматического выбора наиболее подходящей схемы-партнера. Данный подход позволяет объединить сильные стороны явных и неявных, противопоточных и симметричных схем, а также избежать их недостатков. Это утверждение понимается в смысле качества решения, а не особенностей реализации упомянутых методов. Гибридные схемы проверены на примере модельной двумерной задачи о взрыве в идеальном газе (см. [36]).

1. КОНСТРУКЦИЯ МОНОТОНИЗИРОВАННЫХ СХЕМ

Рассмотрим вопрос о конструировании монотонизированных дискретизаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), возникающих при аппроксимации уравнений гиперболического типа методом прямых. Такими системами являются, например, непрерывные по времени бикомпактные схемы. Ради простоты выкладок все дальнейшие рассуждения, связанные с решением этого вопроса, проведем на примере задачи Коши для одномерного квазилинейного уравнения переноса, записанного в дивергентном виде:

и^вы+д_т = о _да<х< + , ,>0,

1 дг дх (1)

и|г = 0 = v0(x), -да <х < + да.

Остановимся подробнее на полудискретных бикомпактных схемах. Метод, аппроксимирующий уравнение в задаче (1) с четвертым порядком по пространственной переменной х на нерав-

номерной сетке, состоящей из целых х,,, = 0, ±1, ..., и полуцелых х, + 1/2 узлов записывается в операторной форме:

7(А1и, + 1/2 ) + 1 ДХ Р, + 1/2 = 0,

(2)

7(ДХи, + 1/2) + 4 Д2 Г, +1/2 = 0,

где к = к, +1 = х, +1 — х, — пространственный шаг, а операторы Д0 , Д2 , Ах0 определяются по формулам

ДХи, + 1 /2 = и, + 1 - ДХи, + 1 /2 = и, - 2и, + 1/2 + и, + 1, АХ и + 1/2 = (Е + ДХ/6 ) и, + 1 /2 = ( и, + + 1 /2 + + 1) /6.

Система (2) получается интегроинтерполяционным методом после интегрирования при фиксированном I по отрезку [х, х, +1] исходного уравнения Ьхи = 0 и его дифференциального следствия д(Ь1ы)/дх = 0. Интеграл от функции и аппроксимируется при помощи квадратурной формулы Симпсона, а от функции д2//дх2 — методом средней точки с приближением самой производной стандартной формулой точности О(к2).

Если пользоваться только уравнением Х1и = 0 и правилом трапеций для вычисления интеграла от функции и по ячейке [х,, х, +1], то получится полудискретная бикомпактная схема второго порядка по х:

7 (М и,+1/2) + 1 ДОГ,+1/2 = 0, (3)

где

M0uj + 1/2 = ( uj + uj + 1) /2.

Вернемся к проблеме построения монотонизированных схем. Известно, что ее решение регулируется теоремой Годунова. Данная теорема отрицает существование двухслойной линейной монотонной разностной схемы, имеющей второй или более высокий порядок и по x, и по t для линейного уравнения переноса с потоковой функцией

F(u) = au, a = const > 0. (4)

Тем не менее допускается существование двухслойных линейных монотонных схем, имеющих первый порядок по одной из переменных, х или t, и повышенный по другой.

Отдельного упоминания заслуживает теория так называемых временных SSP-дискретизаций (Strong stability preserving) (см. [37], [38]). Изначально они были известны как временные TVD-дискретизации (Total variation diminishing) и касались методов Рунге—Кутты (далее — RK, Runge—Kutta). Продемонстрируем суть этой теории на следующем примере. Рассмотрим простейшую противопоточную аппроксимацию уравнения в задаче (1), имеющую первый порядок по х:

du+1+h ^+1/2=»■ (5)

К системе ОДУ (5) можно применить явный или неявный методы Эйлера и получить разностные схемы, монотонные в линейном случае (4) при некоторых условиях на число Куранта к = ат/h, где т — шаг по времени. Подход SSP позволяет в рамках

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»