научная статья по теме ГИБРИДНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА ПЛОСКИХ ЭКРАНАХ Физика

Текст научной статьи на тему «ГИБРИДНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА ПЛОСКИХ ЭКРАНАХ»

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 3, с. 302-310

УДК: 534.23:537.874.6

КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕИНОИ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН

гибридный подход к решению задачи дифракции

на плоских экранах © 2015 г. А. Г. Кюркчан*, **, С. А. Маненков*

*Московский технический университет связи и информатики

111024 Москва, ул. Авиамоторная 8а

**Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН 141190 Московская обл., Фрязино, пл. Введенского 1

E-mail: mail44471@mail.ru

Поступила в редакцию 19.07.2014 г.

Предложен новый вариант метода продолженных граничных условий для решения задачи дифракции плоской волны на плоских трехмерных экранах, больших по сравнению с длиной волны. Рассмотрены случаи акустически мягкого и жесткого экранов. Приведены численные результаты для экранов круговой, эллиптической и квадратной формы. Проведена проверка выполнения оптической теоремы и теоремы Уфимцева для указанных форм экранов.

Ключевые слова: дифракция волн, метод продолженных граничных условий, тонкие экраны. БО1: 10.7868/50320791915020082

ВВЕДЕНИЕ

Классические задачи дифракции остаются весьма актуальными, что подтверждается недавними публикациями на эту тему (см., например, [1—3]). К числу такого рода задач, несомненно, относится задача дифракции волн на плоских экранах. Наиболее изученными можно считать задачи дифракции на полуплоскости, тонкой ленте и круговом диске [4, 5]. Значительно менее изучены экраны иной формы. Ниже для решения задачи дифракции на плоских экранах предлагается гибридный подход [6, 7]. Существо предлагаемого подхода заключается в следующем. Экран разбивается на "центральную" и "краевую" части, определение которых носит эвристический характер. Далее, на центральной части искомое распределение источников рассеянного поля (назовем его током) полагается равным соответствующему распределению на бесконечной плоскости, а на краевой части ток полагается неизвестным. Очевидно, что подобное разбиение уместно при рассмотрении экранов, размеры которых много больше длины волны падающего поля. Предлагаемый подход в определенном смысле является обобщением метода краевых волн [5].

Для уменьшения объема вычислений в работе рассмотрены экраны, обладающие симметрией различного вида, в частности исследована дифракция на большом круговом диске, а также рассеяние на экранах, симметричных относительно двух осей — х и у (если считать, что экран располо-

жен в плоскости г = 0). Таким образом, в настоящей работе объем требуемых вычислений удается сократить как за счет использования гибридного метода, так и за счет учета той или иной симметрии рассеивателя.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим математическую постановку задачи. Требуется найти функцию и:(г) = и:(х, у, г), удовлетворяющую уравнению Гельмгольца всюду вне поверхности экрана, занимающего плоскую область Б с границей S, лежащую в плоскости ^ = 0. При этом предполагаем, что ось г перпендикулярна плоскости экрана. Всюду ниже будем обозначать поверхность экрана и проекцию поверхности экрана на плоскость г = 0 одной и той же буквой Б. На поверхности экрана предполагается выполненным условие Дирихле

или Неймана

U = 0, г е D,

ди = 0, г е D, dz

(1)

(2)

где и = и0 + и1, причем и0— известная функция (поле падающей на рассеиватель волны), которая имеет вид

U = exp(-ik(x sin 9 0 cos ф 0 + + y sin 90 sin ф0 + z cos 90)).

Здесь 90, ф0 — углы падения плоской волны. Рассеянное поле и1 удовлетворяет условию излучения на бесконечности

lim r

r ^да

ди1

дг

+ ikU1 I = 0.

(4)

где г — радиальная координата в сферической системе координат.

ВЫВОД ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Будем решать поставленную задачу при помощи метода продолженных граничных условий (МПГУ) [6]. В соответствии с этим методом запишем интегральное представление для рассеянного волнового поля в виде

и 1(Г) = к2 У) 6(х, г')| г,=0 ёх'ёу' (5)

в случае условия Дирихле, либо ■ Y . чдО'(Г, г')

U >(г) = kjj(x\ y)-

dz'

dX dy'

(6)

z'=o

в случае условия Неймана. В формулах (5) и (6)

-ikR

G(r, г') j(x', y)

dU .dz _

(6). В последних формулах скобки означают скачок либо производной, либо самого волнового поля. Далее будем считать, что условие (1) или (2) выполнены не на поверхности Б экрана, а на плоской поверхности Б8, которая получается смещением поверхности экрана на небольшое положительное число 8 по оси г. Подставим теперь формулу (5) в указанное условие на поверхности Б§, либо продифференцируем равенство (6) по г и подставим в соответствующее условие на Б§. В результате получим следующее интегральное уравнение:

p(x'

', y')K(x, y, x', y')dx' dy' = f (x, y), (x, y) e D, (7)

где в случае условия Дирихле

K (x, y, x, y') = k2 G(r, r')| z=s

z'=0

и

K(x, y, x', y') =

д 2G(r, r')

dzdZ

(8)

(9)

z=s

z'=0

в случае условия Неймана. Правая часть уравнения (7) имеет вид

f (x, y) = -U u(x, y, S),

либо

f (x, y) = -1 dU

k dz

(10)

(11)

z=8

= -, Я = г - г', к — волновое число,

4пкЯ 1 1 — неизвестная функция, которая равна

либо - [и] , соответственно в (5) либо в

соответственно. Заметим, что в интегральном уравнении (7) ядро является гладкой функцией, так как точка источника и точка наблюдения не совпадают, т.е. находятся на разных поверхностях. Вследствие этого в случае условия Неймана на поверхности экрана мы дифференцируем под знаком интеграла (см. (9)), что допустимо, так как подынтегральное выражение не имеет особенности в рассматриваемом случае. Такая структура ядра полученного интегрального уравнения очень удобна для построения вычислительных алгоритмов.

Полагая, что размер экрана велик по сравнению с длиной волны, будем считать, что на центральной части экрана D0 неизвестная функция j( x, y) может быть заменена на величину

Уфо^, y) = -2i cos Go exp(-ik(x sin Go cos фо + +y sin G0 sinф0)),

либо

j^(x, y) = -2exp(-ik(x sin 90cos ф0 + y sin 90sin ф0))

(13)

соответственно в случае условий (1) или (2). В результате интегральное уравнение (7) примет вид

Г/(х', У)К(х, у, X, у')йх' йу = / (х, у) + /фо(х, у),

Д (14)

(х, У) е Д,

где

/фо(х, У) = -1/фо(х', У) К(х, у, х', У)йхЧУ (15)

До

— известная функция. В уравнении (14) Д = Д\Д0. Таким образом, носитель неизвестной функции в (14) меньше (см. численные результаты ниже) носителя в исходном уравнении (7). Отметим, что в качестве области Б0 можно, например, выбрать область, подобную области Б экрана.

После решения интегрального уравнения находим диаграмму рассеяния экрана по формуле

g(0, ф) = £фо(0, ф) + gi(0, ф),

(16)

D

D

D

где

£фО(0,ф) = F J j^o(x\ y')exp(ikx'sin 0cos ф+ iky'sin 0sin ф)^'dy',

D

gj(0, ф) = F J j(x',y') exp(ikx'sin 0cos ф + iky' sin 0sin ф^х'dy', D

причем Ш = k2/4п в случае условия Дирихле на поверхности экрана, либо Ш = ik 2cos 0/4п в случае условия Неймана.

ДИФРАКЦИЯ НА БОЛЬШОМ КРУГОВОМ ДИСКЕ

Рассмотрим вначале частный случай, когда экран представляет собой круглый идеально отражающий диск радиуса а. В качестве области Б0 выбираем круг радиуса а1 < а с центром в начале координат. В исследуемом случае можно учесть симметрию вращения тела. С этой целью запишем интегральное уравнение (14) в виде

2п a

J Jj(p', фКр, ф, Р', ф')р'dр'dф' =

0 a1

(18)

/ (р, ф) + /фо(р, ф),

где

2п a

/фо(р, Ф) = - J |/фо(р', ф')К(р, Ф, р', ф')p'dp'dф',

(19)

0 0

a1 < р < a, 0 < ф < 2п.

В формулах (18) и (19) (р, ф) — полярные координаты. Далее, разлагая ядро интегрального уравнения и неизвестную функцию в ряды Фурье

j(p', Ф) = X jm(P') ехр(гтф'),

(20)

(21)

K(р, Ф, р', ф) = X Km(p, p)exp(imy), V = Ф - Ф\

получим бесконечную систему одномерных интегральных уравнений следующего вида:

jKm(p, p')jm(p')p'dp' = /m(p) + /тф0(р),

a1 <р< a, m = 0, ±1, ±2,...,

(22)

Km(p, P')

—SAz=&, условие Дирихле,

2 z'=0

15 2S„

2 dzdz'

z=6 z'=0

, условие Неймана,

(23)

2п

_ 1 fexp(-ikR - imy)

2n J

kR

dy,

A =

R = -\/p2 + p'2 - 2pp' cos y + (z - zZZ, fm(P) = Ai mJm(kp sin 00)exp(-^),

/mn°(P) = Bi-m X

a1

X exp(-imфo) J Km (p, p Vm(kp' sin 00)p' dp',

0

-exp(-i£S cos 00), условие Дирихле,

(24)

(25)

(26)

B =

(27) на,

(28)

[i cos 00 exp(-ikS cos 00), условие Неймана, (2icos 0O, условие Дирихле, [2, условие Неймана. Уравнения (22) решаются численно методом коллокации. Для этого на интервале [аь а] выбираем точки коллокации

р„ = ах + (n - 0.5)a-ai, n = 1,2,...,N. (29) N

Неизвестные функцииym(p) разлагаем по базису из кусочно-постоянных функций. В результате подстановки этого разложения в (22) и приравнивания правой и левой частей полученного равенства в точках коллокации (29), получаем набор систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида

N

XAmncm=ьт, j=1,2,...n, m=0,±1,±2,..., (30)

n=1

в которых

pn+h/2

Amn = J Km(Pj, PW, ьт = fm(Pj) + ft(Pj), (31)

Pn -h 2

где

причем И = (а — а1)/^ — шаг сетки. В СЛАУ (30) е^^ представляют собой неизвестные коэффициенты при базисных функциях.

0

да

со

ДИФРАКЦИЯ НА БОЛЬШОМ ЭКРАНЕ, ОБЛАДАЮЩЕМ ДВУМЯ ОСЯМИ СИММЕТРИИ

Предположим теперь, что экран обладает симметрией относительно осей координат х и у. В этом случае можно свести интегрирование в формулах (14) и (15) к интегрированию по четверти области Б0 и Бх. Действительно, представим неизвестную функцию в виде

7 = 7и + /12 + /21 + /22, (32)

где

/и(-х,У) = /11(х,у), /п(х,-у) = ]п(х,-у), (33)

/12(^х, У) = /12(х, У), /12(х, -У) = -/12(х, -у), (34)

/21(-х, У) = -/21(х, У), /21(х, -У) = /21(х, -у) , (35) /22(-х, У) = "Ых, У) , /22(х, -у) = "Ых, "У), (36) В результате вместо одного интегрального уравнения (14) получим четыре уравнения

I }м(х, у')Крд(х, у, х', уУ)йхйу' = Д (37)

= /и(х, У) + /*°(х, у), (х, у) е Д,

гдер, q = 1, 2, а Ь0 и Д — части областей Б0 и Бь лежащие в первом квадранте. В формуле (37) обозначено

К11 (х, у, х', у') = К (х, у, х', у') + + К(х, у, х', -у') + К(х, у, -х', у') + К(х, у, -х', -у1),

К12(х, у, х', у1) = К(х, у, х', у1) -- К(х, у, х', -у1) + К(х, у, -х', у1) - К(х, у, -х', -у1),

К21(х, у, х', у1) = К (х, у, х', у') + + К(х, у, х', -у') - К(х, у, -х\ у') - К(х, у, -х', -у'), К22(х, У, х', у') = К(х, у, х', у') -

(38)

(39)

(40)

- K(x, y, x', -y1) - K(x, y, -x', y1)

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»