АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 3, с. 302-310
УДК: 534.23:537.874.6
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕИНОИ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
гибридный подход к решению задачи дифракции
на плоских экранах © 2015 г. А. Г. Кюркчан*, **, С. А. Маненков*
*Московский технический университет связи и информатики
111024 Москва, ул. Авиамоторная 8а
**Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН 141190 Московская обл., Фрязино, пл. Введенского 1
E-mail: mail44471@mail.ru
Поступила в редакцию 19.07.2014 г.
Предложен новый вариант метода продолженных граничных условий для решения задачи дифракции плоской волны на плоских трехмерных экранах, больших по сравнению с длиной волны. Рассмотрены случаи акустически мягкого и жесткого экранов. Приведены численные результаты для экранов круговой, эллиптической и квадратной формы. Проведена проверка выполнения оптической теоремы и теоремы Уфимцева для указанных форм экранов.
Ключевые слова: дифракция волн, метод продолженных граничных условий, тонкие экраны. БО1: 10.7868/50320791915020082
ВВЕДЕНИЕ
Классические задачи дифракции остаются весьма актуальными, что подтверждается недавними публикациями на эту тему (см., например, [1—3]). К числу такого рода задач, несомненно, относится задача дифракции волн на плоских экранах. Наиболее изученными можно считать задачи дифракции на полуплоскости, тонкой ленте и круговом диске [4, 5]. Значительно менее изучены экраны иной формы. Ниже для решения задачи дифракции на плоских экранах предлагается гибридный подход [6, 7]. Существо предлагаемого подхода заключается в следующем. Экран разбивается на "центральную" и "краевую" части, определение которых носит эвристический характер. Далее, на центральной части искомое распределение источников рассеянного поля (назовем его током) полагается равным соответствующему распределению на бесконечной плоскости, а на краевой части ток полагается неизвестным. Очевидно, что подобное разбиение уместно при рассмотрении экранов, размеры которых много больше длины волны падающего поля. Предлагаемый подход в определенном смысле является обобщением метода краевых волн [5].
Для уменьшения объема вычислений в работе рассмотрены экраны, обладающие симметрией различного вида, в частности исследована дифракция на большом круговом диске, а также рассеяние на экранах, симметричных относительно двух осей — х и у (если считать, что экран располо-
жен в плоскости г = 0). Таким образом, в настоящей работе объем требуемых вычислений удается сократить как за счет использования гибридного метода, так и за счет учета той или иной симметрии рассеивателя.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим математическую постановку задачи. Требуется найти функцию и:(г) = и:(х, у, г), удовлетворяющую уравнению Гельмгольца всюду вне поверхности экрана, занимающего плоскую область Б с границей S, лежащую в плоскости ^ = 0. При этом предполагаем, что ось г перпендикулярна плоскости экрана. Всюду ниже будем обозначать поверхность экрана и проекцию поверхности экрана на плоскость г = 0 одной и той же буквой Б. На поверхности экрана предполагается выполненным условие Дирихле
или Неймана
U = 0, г е D,
ди = 0, г е D, dz
(1)
(2)
где и = и0 + и1, причем и0— известная функция (поле падающей на рассеиватель волны), которая имеет вид
U = exp(-ik(x sin 9 0 cos ф 0 + + y sin 90 sin ф0 + z cos 90)).
Здесь 90, ф0 — углы падения плоской волны. Рассеянное поле и1 удовлетворяет условию излучения на бесконечности
lim r
r ^да
ди1
дг
+ ikU1 I = 0.
(4)
где г — радиальная координата в сферической системе координат.
ВЫВОД ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Будем решать поставленную задачу при помощи метода продолженных граничных условий (МПГУ) [6]. В соответствии с этим методом запишем интегральное представление для рассеянного волнового поля в виде
и 1(Г) = к2 У) 6(х, г')| г,=0 ёх'ёу' (5)
в случае условия Дирихле, либо ■ Y . чдО'(Г, г')
U >(г) = kjj(x\ y)-
dz'
dX dy'
(6)
z'=o
в случае условия Неймана. В формулах (5) и (6)
-ikR
G(r, г') j(x', y)
dU .dz _
(6). В последних формулах скобки означают скачок либо производной, либо самого волнового поля. Далее будем считать, что условие (1) или (2) выполнены не на поверхности Б экрана, а на плоской поверхности Б8, которая получается смещением поверхности экрана на небольшое положительное число 8 по оси г. Подставим теперь формулу (5) в указанное условие на поверхности Б§, либо продифференцируем равенство (6) по г и подставим в соответствующее условие на Б§. В результате получим следующее интегральное уравнение:
p(x'
', y')K(x, y, x', y')dx' dy' = f (x, y), (x, y) e D, (7)
где в случае условия Дирихле
K (x, y, x, y') = k2 G(r, r')| z=s
z'=0
и
K(x, y, x', y') =
д 2G(r, r')
dzdZ
(8)
(9)
z=s
z'=0
в случае условия Неймана. Правая часть уравнения (7) имеет вид
f (x, y) = -U u(x, y, S),
либо
f (x, y) = -1 dU
k dz
(10)
(11)
z=8
= -, Я = г - г', к — волновое число,
4пкЯ 1 1 — неизвестная функция, которая равна
либо - [и] , соответственно в (5) либо в
соответственно. Заметим, что в интегральном уравнении (7) ядро является гладкой функцией, так как точка источника и точка наблюдения не совпадают, т.е. находятся на разных поверхностях. Вследствие этого в случае условия Неймана на поверхности экрана мы дифференцируем под знаком интеграла (см. (9)), что допустимо, так как подынтегральное выражение не имеет особенности в рассматриваемом случае. Такая структура ядра полученного интегрального уравнения очень удобна для построения вычислительных алгоритмов.
Полагая, что размер экрана велик по сравнению с длиной волны, будем считать, что на центральной части экрана D0 неизвестная функция j( x, y) может быть заменена на величину
Уфо^, y) = -2i cos Go exp(-ik(x sin Go cos фо + +y sin G0 sinф0)),
либо
j^(x, y) = -2exp(-ik(x sin 90cos ф0 + y sin 90sin ф0))
(13)
соответственно в случае условий (1) или (2). В результате интегральное уравнение (7) примет вид
Г/(х', У)К(х, у, X, у')йх' йу = / (х, у) + /фо(х, у),
Д (14)
(х, У) е Д,
где
/фо(х, У) = -1/фо(х', У) К(х, у, х', У)йхЧУ (15)
До
— известная функция. В уравнении (14) Д = Д\Д0. Таким образом, носитель неизвестной функции в (14) меньше (см. численные результаты ниже) носителя в исходном уравнении (7). Отметим, что в качестве области Б0 можно, например, выбрать область, подобную области Б экрана.
После решения интегрального уравнения находим диаграмму рассеяния экрана по формуле
g(0, ф) = £фо(0, ф) + gi(0, ф),
(16)
D
D
D
где
£фО(0,ф) = F J j^o(x\ y')exp(ikx'sin 0cos ф+ iky'sin 0sin ф)^'dy',
D
gj(0, ф) = F J j(x',y') exp(ikx'sin 0cos ф + iky' sin 0sin ф^х'dy', D
причем Ш = k2/4п в случае условия Дирихле на поверхности экрана, либо Ш = ik 2cos 0/4п в случае условия Неймана.
ДИФРАКЦИЯ НА БОЛЬШОМ КРУГОВОМ ДИСКЕ
Рассмотрим вначале частный случай, когда экран представляет собой круглый идеально отражающий диск радиуса а. В качестве области Б0 выбираем круг радиуса а1 < а с центром в начале координат. В исследуемом случае можно учесть симметрию вращения тела. С этой целью запишем интегральное уравнение (14) в виде
2п a
J Jj(p', фКр, ф, Р', ф')р'dр'dф' =
0 a1
(18)
/ (р, ф) + /фо(р, ф),
где
2п a
/фо(р, Ф) = - J |/фо(р', ф')К(р, Ф, р', ф')p'dp'dф',
(19)
0 0
a1 < р < a, 0 < ф < 2п.
В формулах (18) и (19) (р, ф) — полярные координаты. Далее, разлагая ядро интегрального уравнения и неизвестную функцию в ряды Фурье
j(p', Ф) = X jm(P') ехр(гтф'),
(20)
(21)
K(р, Ф, р', ф) = X Km(p, p)exp(imy), V = Ф - Ф\
получим бесконечную систему одномерных интегральных уравнений следующего вида:
jKm(p, p')jm(p')p'dp' = /m(p) + /тф0(р),
a1 <р< a, m = 0, ±1, ±2,...,
(22)
Km(p, P')
—SAz=&, условие Дирихле,
2 z'=0
15 2S„
2 dzdz'
z=6 z'=0
, условие Неймана,
(23)
2п
_ 1 fexp(-ikR - imy)
2n J
kR
dy,
A =
R = -\/p2 + p'2 - 2pp' cos y + (z - zZZ, fm(P) = Ai mJm(kp sin 00)exp(-^),
/mn°(P) = Bi-m X
a1
X exp(-imфo) J Km (p, p Vm(kp' sin 00)p' dp',
0
-exp(-i£S cos 00), условие Дирихле,
(24)
(25)
(26)
B =
(27) на,
(28)
[i cos 00 exp(-ikS cos 00), условие Неймана, (2icos 0O, условие Дирихле, [2, условие Неймана. Уравнения (22) решаются численно методом коллокации. Для этого на интервале [аь а] выбираем точки коллокации
р„ = ах + (n - 0.5)a-ai, n = 1,2,...,N. (29) N
Неизвестные функцииym(p) разлагаем по базису из кусочно-постоянных функций. В результате подстановки этого разложения в (22) и приравнивания правой и левой частей полученного равенства в точках коллокации (29), получаем набор систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида
N
XAmncm=ьт, j=1,2,...n, m=0,±1,±2,..., (30)
n=1
в которых
pn+h/2
Amn = J Km(Pj, PW, ьт = fm(Pj) + ft(Pj), (31)
Pn -h 2
где
причем И = (а — а1)/^ — шаг сетки. В СЛАУ (30) е^^ представляют собой неизвестные коэффициенты при базисных функциях.
0
да
со
ДИФРАКЦИЯ НА БОЛЬШОМ ЭКРАНЕ, ОБЛАДАЮЩЕМ ДВУМЯ ОСЯМИ СИММЕТРИИ
Предположим теперь, что экран обладает симметрией относительно осей координат х и у. В этом случае можно свести интегрирование в формулах (14) и (15) к интегрированию по четверти области Б0 и Бх. Действительно, представим неизвестную функцию в виде
7 = 7и + /12 + /21 + /22, (32)
где
/и(-х,У) = /11(х,у), /п(х,-у) = ]п(х,-у), (33)
/12(^х, У) = /12(х, У), /12(х, -У) = -/12(х, -у), (34)
/21(-х, У) = -/21(х, У), /21(х, -У) = /21(х, -у) , (35) /22(-х, У) = "Ых, У) , /22(х, -у) = "Ых, "У), (36) В результате вместо одного интегрального уравнения (14) получим четыре уравнения
I }м(х, у')Крд(х, у, х', уУ)йхйу' = Д (37)
= /и(х, У) + /*°(х, у), (х, у) е Д,
гдер, q = 1, 2, а Ь0 и Д — части областей Б0 и Бь лежащие в первом квадранте. В формуле (37) обозначено
К11 (х, у, х', у') = К (х, у, х', у') + + К(х, у, х', -у') + К(х, у, -х', у') + К(х, у, -х', -у1),
К12(х, у, х', у1) = К(х, у, х', у1) -- К(х, у, х', -у1) + К(х, у, -х', у1) - К(х, у, -х', -у1),
К21(х, у, х', у1) = К (х, у, х', у') + + К(х, у, х', -у') - К(х, у, -х\ у') - К(х, у, -х', -у'), К22(х, У, х', у') = К(х, у, х', у') -
(38)
(39)
(40)
- K(x, y, x', -y1) - K(x, y, -x', y1)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.