УСПЕХИ СОВРЕМЕННОЙ БИОЛОГИИ, 2007, том 127, № 3, с. 299-304
УДК 577.31
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ, РАЗВИВАЕМЫЕ КРЫЛОМ, ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ПОЛОЖЕНИЯХ ОСИ ЕГО ВРАЩЕНИЯ.
ТЯГА ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ИЗМЕНЕНИИ УГЛОВ НАКЛОНА И АТАКИ
© 2007 г. Е. В. Романенко, С. Г. Пушков, В. Н. Лопатин
Институт проблем экологии и эволюции им. А Н. Северцова РАН, Москва
С использованием приближенных выражений для составляющих гидродинамических сил через коэффициенты аэродинамических производных первого порядка и кинематических параметров движения построена математическая модель работы плоского жесткого крыла различного удлинения при больших амплитудах линейных и угловых колебаний и различных положениях оси вращения крыла. Получены расчетные формулы для вычисления тяги и подсасывающей силы в случае гармонических изменений углов наклона и атаки крыла. Показано хорошее согласие результатов расчета по полученным формулам с экспериментальными данными.
В последние годы в англоязычной научной литературе пристальное внимание уделяется плавниковым движителям. Появилось несколько хороших экспериментальных работ [11, 14, 19, 20,
22], выполненных в Массачузетском Технологическом Институте в США. В этих работах исследуются жесткие крылья большого удлинения при одном фиксированном положении оси вращения и различных кинематических параметрах. Главным образом применяются два набора кинематических параметров: простое гармоническое движение крыла, когда линейные и угловые колебания крыла совершаются по гармоническому закону с большой амплитудой, и более сложное движение, когда по гармоническому закону изменяются угол наклона крыла и угол атаки, в то время как линейные колебания (также с большой амплитудой) совершаются по более сложному закону. В работе [19], кроме того, исследуется влияние гибкости крыла на его характеристики как движителя. В отечественной литературе известны лишь малоамплитудные экспериментальные работы [2, 3].
Однако вопросам теории крыла уделяется недостаточно внимания. В лучшем случае для сравнения с экспериментальными данными используются численные решения [4, 10, 11-13, 15-17, 18,
23]. Но иногда вообще никакого сравнения экспериментальных результатов с теорией не проводится [19]. Тем актуальнее становится необходимость аналитического решения задачи о колебаниях жесткого крыла с большой амплитудой линейных и угловых колебаний при различных положениях оси его вращения с получением расчетных формул для оценки развиваемых им гидродинамических сил.
В [5, 6, 8, 9, 21] рассмотрены математические модели колебаний жесткого крыла с большой амплитудой при гармонических поперечных и угловых движениях. Однако возможен случай [19], когда по гармоническому закону изменяются угол наклона крыла и угол атаки. Поперечные движения крыла при этом совершаются по более сложному закону. Здесь мы рассмотрим именно такой случай.
Пусть в системе координат 0ХУ2 (постановку задачи иллюстрирует рис. 1 в работах [5, 9]), движущейся в направлении оси 0Х с постоянной скоростью и0, движение крыла задано в точке хх периодическими законами изменения угла наклона
Ф = Ф0СО8 Ш (1)
и угла атаки:
^ = а0со8 Ш. (2)
Линейные колебания крыла в этом случае отличаются от гармонических и при фазовом сдвиге между угловыми и линейными колебаниями, равном 90°, определяются из соотношения
/ = и()х% (ах + Ф) = и()х% (0!). (3)
Здесь и далее точка над буквой обозначает производную по времени, а 0Х = ах + Ф и 0О = а0 + Ф0. При малых значениях углов линейные колебания крыла близки к гармоническим.
В работе [5] рассмотрен случай, когда кинематические параметры движения крыла заданы относительно его центра. Как и в работах [6, 9], рассмотрим общий случай, когда кинематические параметры заданы относительно любой точки (хх) продольной оси крыла.
Закон движения рассматриваемого крыла относительно центра определяется проекциями скоростей центра крыла относительно неподвижной жидкости:
Vxc = U0- (zxsinд,
Vyc = Vyi + azx cos д,
(4)
(5)
Здесь
cosд~ cos0j + ajsin0j
cos 0J = U0/Uj,
sin 0j = h/Uj,
2 -2 1/2 Uj = (U2 + (h) ) .
(7)
(8) (9)
(10)
T, = m *-
v.
;sind) + pS f
/na
21 cyv -
Vy C +
+ b\ca - 2m jV-csin0c - bCa;azVyC - (11)
мгновенная скорость потока, набегающего на крыло, X - индуктивное сопротивление крыла, Ь - хорда крыла, - его площадь (одной стороны). Су , Су , Су , Су - аэродинамические производные [1]. Аналогично соотношениям (4), (5) выпишем выражения для других величин
где Vy1 = h\ (t), roz = Ь(t), x - расстояние от центра крыла до точки x1. Индекс "с" здесь и далее обозначает, что соответствующие величины пересчитаны к центру крыла.
Угол наклона крыла не имеет индекса "с", так как он одинаков во всех точках крыла, в том числе и в точке x1. Поэтому он определяется кинематическими параметрами именно этой точки (мгновенным углом набегающего потока 01 и углом атаки а1 в точке x1). Входящие в формулы (4) и (5) величины sin Ь и cos Ь с учетом условия малости угла атаки могут быть записаны в виде:
sinЬ~ sin0j - ajcos0Ь (6)
V-c = v-j + rnzx = aj U j + rozx, 0c = ac + д = arctg (VJ Vx c),
U2 = V2 + V2
c y c x c
(12)
(13)
(14)
Практический интерес представляет задача определения пропульсивных характеристик колеблющегося крыла в зависимости от закона его движения и положения точки х1. Ранее [5], когда кинематические параметры движения крыла были заданы относительно его центра, было получено выражение для мгновенного значения тяги. Здесь мы представим эту формулу для случая, когда кинематические параметры движения крыла заданы относительно точки х1 и пересчитаны к центру крыла
где ас - угол атаки, пересчитанный к центру крыла.
Формула (11) имеет общий вид и справедлива при любых кинематических параметрах и формах крыла. В линейном приближении значения коэффициентов гидродинамических производных и присоединенная масса определяются формой крыла и числом Струхаля, имеющим вид Sh0 = rob/U0. При расчетах составляющих гидродинамических сил мы будем использовать известные численные решения для коэффициентов гидродинамических производных первого порядка, однако в данном случае при больших амплитудах линейных и угловых колебаний крыла может иметь место увеличение ошибок результатов расчета с увеличением чисел Струхаля.
Среднее по времени значение тяги крыла нетрудно получить в виде
Tc = у k V„cVyc + b (^-pSb) vnc sin 0c-
- Czb2(óz sin 0c - bCyzrozVyc -
(15)
2
- b2 C(z(óz sin 0c^j - X¡ cos д - P- 2 c Cp cos д.
Здесь и далее Tc - тяга, m* - присоединенная масса крыла, v-c - нормальная скорость, р - плотность среды, 0c - угол между набегающим на крыло потоком и горизонтальной осью, Cp - коэффициент сопротивления формы крыла, Uc -
-П v Lcos д - CPU2cos 4
Здесь, как и ранее [5], для индуктивного сопротивления (пятый член в фигурных скобках) использована оценка "сверху"
X <рп5( V2с/4), (16)
являющаяся экстремумом выражения X: для крыла бесконечного размаха
Xi = рпЬи*( Vп - и*), (17)
и для крыла конечного размаха, симметричного в плане относительно оси 02 (рис. 1 в работе [5]),
X =
pnj"b(z)u*(z)[v- - u* (z)]dz. (18)
В этих формулах - некоторая эффективная скорость, индуцируемая вихревой пеленой, оста-
ющеися в следе за крылом, Vп - нормальная скорость в центре крыла. Оценки показывают, что для крыла конечного размаха при удлинении 2 < < X < 5 индуктивное сопротивление, определяемое формулой (16), завышено не более чем на 20% по сравнению с величинами, полученными в известных численных решениях, а также экспериментальным путем. Учитывая, что индуктивное сопротивление составляет весьма малую величину в балансе гидродинамических сил, развиваемых крылом, такоИ погрешностью в первом приближении можно пренебречь. Следует отметить, что использование формулы (16) для оценки индуктивного сопротивления в случае крыла бесконечного удлинения приводит к заниженным результатам для пропульсивных характеристик крыла в диапазоне малых чисел Струхаля, что подтверждает сравнение с известными численными решениями.
Формулу (15) полезно представить в виде коэффициентов тяги
2Т с
Ст = 2 = СТ1 + СТ2 + СТ3 + СТ4 + СТ5 + СТ6? (19)
Р SU20
где
cT i = ca
+ 0.07 00
* (00
0.625 03+ 0.32 00 + 0.16 00
0.03 001 + 0.013003
0.003 015 +
(20)
+ 0.00160o ) + C k
C = ЫЪ) X (1-0.125^0 + 0.0052^0),
(21)
CT 2
Ф (Sh0 )2 X
C<a - 2m * 4 - pSb
(a0 - 00 + 0.125 a002 + (22)
+ 0.12500 - 0.016a004 - 0.005200 + 0.0007a006), Ct 3 = CJz ^ (00-0.12503
c = -Craz C
CT4 Cy X
0.00505), (23) (24)
Здесь и ранее X = x/b.
c =
2
C+* (1
0.7502 + 0.41700 + 0.2106 +
+ 0.108 + 0.044000 + 0.012002 - ^0(0.38 + 0.3102 +
+ 0.1800
0.106 + 0.044 08 + 0.02 00°) +
(25)
+ Ф (0.026 + 0.023 00-
0.014 04 + 0.007 06 +
+ 0.0016010) - ^0(0.0008 + 0.000600
0.0004 04))
CT 6 = -Cp [ C +1 + (0.5-0.19^2 + 0.13 Ф )00 + + (0.25 - 0.1 ^0 + 0.008^4)00 + + (0.12 - 0.05ф + 0.004ф)00 +
+ (0.035 - 0.016ф + 0.0012Ф)00
+ (0.024-0.011 ф + (0.011 -0.0049^0
0.0009Ф° )000 + 0.0004ф)2 ■
(26)
+ (0.0013-0.0006 ф )004 +
+ (0.0007 - 0.0003ф)016 - (0.25ф - 0 016^4)
При выводе расчетных формул использовали разложение в ряд функций (3), (6)-(10). При этом ограничивались шестью членами разложения. Это определялось степенью сходимости рядов, входящих в расчетные формулы. Оценки показывают, что приведенными расчетными формулами можно пользоваться при условии, что 0О < 1.
Оценим долю подсасывающей силы в общей тяге (Xxc). В этом случае получим выражение, аналогичное выражению (26) в работе [19]
Xx c = m *v nc ( cos Ф - m * v ncaccos Ф +
+ у ( Ca V2C + C<a Vncb ac - C7bvnc -
(27)
- C( z(0 zb2ac) cos Ф.
Это выражение после усреднения по времени примет вид
г" = ps
X=------
(C*vПccosФ - C(z(bzb2accos Ф) +
+ b' Cy- pmb) W ncaccos Ф +
,uf2m
+ b l psTb-Cy
(28)
v nc ( cos Ф
Для удобства использования этоИ формулы ее полезно представить в форме коэффициентов подсасывающеИ силы
Cx =
2 Xxc p^0
CX1 + CX? + CX3 + CX
(29)
Таблица 1. Рассчитанные значения суммарного угла
St 00, рад
0.15 0.45
0.25 0.7
0.35 0.891
0.45 1.043
Таблица 2. Коэффициенты аэродинамических производных для крыла с удлинением 5, пересчитанн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.