МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2013
УДК 532.51:532.582
© 2013 г. А. Г. ПЕТРОВ, А. А. ХАРЛАМОВ
ГИДРОДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ ИХ КОНТАКТА ПРИ МАЛЫХ И БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ
РЕЙНОЛЬДСА
Работа посвящена изучению взаимодействия тел вблизи контакта. В узком зазоре между телами в окрестности контакта создаются напряжения, которые определяют основную часть сил, действующих на движущиеся тела. Во многих случаях возможно определение полей скорости и давлений в окрестности контакта и для силы гидродинамического взаимодействия выделить главную асимптотику по малому расстоянию между поверхностями. В работе представлен обзор решенных таким методом задач. Для некоторых задач даны новые постановки. Достоверность результатов подтверждается сравнениями с имеющимися точными частными решениями и экспериментальными данными. В силу ограниченности объема статьи авторы рассматривают здесь только плоские задачи, хотя развитый подход применим и к решению пространственных задач.
Ключевые слова: теория смазочного слоя, вязкая и невязкая жидкость, тонкий слой, окрестность контакта.
Контактное взаимодействие тел — одна из важнейших прикладных задач механики [1]. Первая работа, посвященная гидродинамическому взаимодействию тел вблизи контакта, была выполнена Рейнольдсом [2]. В этой работе была разработана теория смазочного слоя и применена для расчета течения между двумя сближающимися пластинками при малом зазоре между ними и малом числе Рейнольдса. С помощью теории смазочного слоя Зоммерфельд рассчитал течение в кольцевом зазоре между двумя параллельными цилиндрами [3]. Стоит отметить, что та же задача точно была решена в 1887 г. Жуковским [4, с. 121—132], а затем точное решение в биполярных координатах построено в 1906 г. в совместной работе Жуковского и Чаплыгина [4, с. 133—151] и проведено сравнение с приближенным решением Зоммерфельда.
В настоящей работе исследован вопрос о силовом взаимодействии тел различной формы, движущихся на малом расстоянии друг от друга как при малом, так и при
большом числах Рейнольдьса Яе = к0Н0 /V, где к — расстояние между поверхностями
сближающихся тел, Но = йк0/& — скорость сближения. Безразмерное число Рейнольдса Яе определяет выбор модели жидкости, по которой можно вычислять асимптотику силы гидродинамического взаимодействия тел при к ^ 0. Если |Яе| §> 1, то сила определяется по модели идеальной жидкости, а при |Яе| 1 — по модели вязкой жидкости. В обоих случаях удобно пользоваться приближением тонкого слоя. Для вязкой жидкости это приближение хорошо известно, оно называется теорией смазочного слоя Рей-нольдса. Ниже представлен общий метод вычисления сил гидродинамического взаимодействия в обоих случаях |Яе| > 1 (идеальная жидкость), |Яе| 1 (вязкая жидкость).
Для примера рассмотрим двумерное течение вязкой жидкости с компонентами скоростей их(?, х, у), иу(?, х, у) и давлением р(?, х, у) в слое жидкости 0 < у < к, —да < х < да между двумя параллельными пластинами. Пластина у = 0 — неподвижна, а вторая пластина у = к движется по закону к(?). Краевая задача с условиями прилипания на пластинах имеет вид
д— + = 0
дх ду
д их дих дих др "-г + их —- + оу —- + = v
д1 дх ду дх
i~2
,2 Л
д их + д их 2
ду2
дUy дt
+
дЛ- + „р- + д-Р
х у у
2
=v
2
д Уу + д Уу
Vдх ду J
и>х(t, х, 0) = Ух(t, х, h) = 0, Уу(t, х, 0) = 0, Уу(t, х, h) = h
Ищем решение в виде
и>х = /ухи(п), Уу = h V(n), р = h2 h
ь—2 + P (п) - 2 h
+ P0( t), П = у h
После подстановки в уравнения Навье—Стокса для функций Щц), У(ц), и постоянной Ь получаем систему уравнений
и = V' = 0
х
— - 1 ) U - п U ' + U2 + VU ' + b - — U " L^h2 J .
=0
— V- цГ + VV" - — V" + — = 0, Яе = — к2 Яе й п V
и( 0) = V( 0) = 0, и( 1) = 0, V( 1) = 1
Анализ точной системы уравнений Навье—Стокса для течения вязкой жидкости [5] показывает, что при |Яе| < 0.1 точное решение приближается упрощенной системой Рейнольдса (приближение тонкого смазочного слоя). Приближение Рейнольдса име-
■■ ■ 2
ет относительную погрешность 117/7 — к к /к | |Яе|/10. Давление и касательное напряжение в слое между пластинами таковы
I I /2 6 х il ,-2 6 х Р - Р 0 = h -—- —, т = h ---1 0 iRei h2 iRe h
(0.1)
В приближении тонкого слоя предполагается х/к 1, поэтому касательное напряжение много меньше давления.
При большом числе Рейнольдса |Яе| возникают пограничные слои постоянной толщины к/ТИ, примыкающие к границам твердых тел. Построенные решения для пластин показывают, что вне пограничных слоев (в ядре) продольная скорость не зависит от поперечной координаты и меняется пропорционально продольной координате. В пограничном слое продольная скорость меняется от нулевого значения на пластине до постоянного значения в ядре. Касательные напряжения на пластинках пренебрежимо малы по сравнению с силами давления. Поэтому силовые воздействия на
2
пластины асимптотически точно определяются давлением по интегралу Коши— Лагранжа идеальной жидкости. Относительная погрешность вычисленного таким образом давления имеет порядок 1/VI Re| . Этот вывод можно распространить и на криволинейные тонкие слои, если число Рейнольдса будет достаточно большим.
Ниже излагается общий метод вычисления силы взаимодействия тел с различными кривизнами вблизи контакта как для большого, так и для малого чисел Рейнольдса.
1. Приближение тонкого смазочного слоя Рейнольдса, |Re| 1. Если течение происходит в тонком слое между двумя поверхностями z1(t, x, y), z2(t, x, y), толщина которого существенно меньше характерного поперечного размера l и медленно изменяется |VA(t, x, y)| 1, то уравнения движения жидкости можно упростить (Reynolds O., 1886). Для этого вводятся две продольные криволинейные координаты x, y и поперечная координата z. Соответственно, скорость будет иметь две продольные компоненты u, и и поперечную —w. Ускорением жидкости можно пренебречь. Для продольных компонент скорости уравнения в каждой точке слоя x, y будут иметь такой же вид, как если бы это было течение между двумя пластинами в направлении вектора градиента давления
dp = дТх, ddp = ЁТ, ddp = о, т = Ц —, х = Ц —
д x д z ' д y д z ' dz ' x д z y dz
u(z 1) = Ui, u(z2) = U2, U(zi) = Ui, u(z2) = U2
Поперечная скорость w находится из уравнения неразрывности du/dx + du/dy + + dw/dz = 0.
В случае неподвижных поверхностей решение системы такое же, как для течения Пуазейля между двумя неподвижными плоскостями. Для векторов продольной скорости u(u, u) и расхода Q, получим
Q = --£- Vp, и = 6Q(Z - z 1 ) fi - z ), h = z2 - zi 12 Ц h
Рассмотрим общий случай, когда поверхности движутся с произвольными скоростями и и и2. Перейдем в систему координат, в которой и + и2 = 0 с помощью преобразования
u = u' + 2 (ui + u2), Q = Q' + 1 (ui + u2) h
Тогда граничные условия будут выполнены, если к профилю Пуазейля добавить линейный симметричный профиль скорости Куэтта с равным нулю расходом. Решение задачи для и' примет вид
,n,(z - zi)(z2 - z) u2 - ui( 1, л
u = 6Q -13- + -T tz - 2(zi + z2)j
л3 л
С помощью обратного преобразования и' ^ и, Q' ^ Q получим общее решение задачи о течении в тонком слое
u = 1 (ui + U2) + 6
Q - i(ui + u2)h
( z - zi)(3z2 - z ) + ^ (z - 2 (zi + z2))
Из уравнения Vp = p.<92u/<9z2 найдем
V p + 1 ( 12Ц 2
h3 i
Q = - — Vp + 1 ( u1 + u2 ) h (1.1)
Фиг. 1. Поперечное обтекание решетки цилиндров: а — схема обтекания, б — график безразмерного давления, в — безразмерная сила; 1 — асимптотическое решение, 2 — экспериментальный результат [8], 3 — численное решение [7]
Из уравнения сохранения массы divQ + дh/дt = 0 получим уравнение для давления
-1- У( Н3Ур) = 1 У(( и + и2 )Н) + § (1.2)
12- 2 ¿я
Вектор касательного напряжения т(тхг, туг) вычисляется как т = цди/дг. Ввиду (0.1) касательное напряжение в рамках данного приближения является величиной большего порядка малости по сравнению с давлением.
Рассмотрим примеры вычисления сил гидродинамического взаимодействия в рассматриваемом приближении.
2. Решение задач в приближении малых чисел Рейнольдса. Рассмотрим решетку круговых цилиндров радиуса a обтекаемых поперечным потоком вязкой жидкости со скоростью V в бесконечности (фиг. 1, а).
Ширина зазора между поверхностью соседних цилиндров задается разложением h(y) = к0 + у2/а, где к0 — минимальное расстояние между цилиндрами.
Расход жидкости через щель между цилиндрами Q = —2aV. Учитывая условия на границах цилиндров ц = и2 = 0, с помощью (1.1) условие сохранения расхода примет вид
( = Н др
12 - ду
Обозначим давление на входе в решетку через рш. Тогда давление в слое между цилиндрами можно найти, интегрируя последнее уравнение по у
да
р -р - 1 ""' 1
12 (- Г » 1
/(у)
С помощью замены у = г*]аН0, h = ^(1 + г2) получим
да
р - р. = ш- {£) !/2/( , М) = Г
а1 V у,/аН0' ' (1 + ^У
Фиг. 2. Движущиеся цилиндры: а — цилиндр, движущийся со скоростью V, вращающийся с угловой скоростью ш и обтекаемый в канале потоком со скоростью V0, h1 и h2 — расстояния между поверхностью цилиндра и стенками канала; б — два цилиндра радиусов al, a2 с центрами в точках O1 O2; h — ширина зазора между поверхностями цилиндров; в — два цилиндра при их внутреннем расположении
Зависимость f(y/ Jah0) изображена на фиг. 1, б. Функция f(y/ Jah0) монотонно изменяется от Д<») = 0 до f(—») = (3/8)п.
Отсюда видно, что изменение давления в щели, толщина которой меняется по закону h = h0 + y2/a, происходит в малой окрестности порядка y е (^ah0, — Jah0) на величину
Ap = - p. = ^(i)5/2 = Jjnp (£)5/2 (2.1)
Сила, действующая на единицу длины цилиндра, такова
Fy = 2aAp = -18 я V—(a/h0 )5/2 (2.2)
Как уже отмечалось, рассматриваемое приближение применимо для тонкого слоя и при ускорении жидкости много меньше градиента давления, то есть при условиях ho/a ^ 1, рб/ц ^ 12.
Результат (2.2) несколько иначе получен в работе [6]. Сравнение асимптотического решения (2.2), численного в [7] и экспериментального в [8] представлено на фиг. 1, в.
Рассмотренный пример иллюстрирует важную идею, упрощающую построение асимптотического решения: для вычисления силы можно заменить конечные пределы интегрирования на бесконечные. Во всех последующих примерах
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.