МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. В.Г. ЗУБЧАНИНОВ
ГИПОТЕЗА ОРТОГОНАЛЬНОСТИ И ПРИНЦИП ГРАДИЕНТАЛЬНОСТИ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Изложена гипотеза ортогональности и обобщенный принцип градиенталь-ности А.А. Ильюшина в теории пластичности. На основе гипотезы ортогональности получены определяющие соотношения трехмерной локальной размерности в теории процессов пластического деформирования. Обсуждается модель предельной поверхности сложного нагружения пластически деформируемой среды.
1. В теории пластического течения вектор деформации Э в девиаторном пространстве ¿5 представляют в виде суммы его упругой Э и пластической Э частей так, что
Э = Эе + Эp, dЭ = dЭе + dЭР (1.1)
Такое разложение соответствует представлению о том, что любое продолжение траектории деформирования с длиной дуги s в E5 из некоторой точки K можно разбить на два множества, разделенных между собой предельной поверхностью деформирования F( Э) = 0, проходящей через ту же точку K [1-3]. Внутри этой поверхности имеет место пассивная пластическая деформация или иначе - упругая разгрузка. Вектор ЭР остается неизменным, а Эе изменяется. Вне этой поверхности имеет место активное пластическое
деформирование, при котором изменяются обе составляющие полной деформации Э .
Отмеченная выше точка зрения на процесс упругопластического деформирования в теории привела Ильюшина к формулировке постулата пластичности и его следствию - принципу градиентальности [1, 2]: физический вектор
s* = (2G)dЭ - ds = D VF(Э)ds (1.2)
нормален в девиаторном пространстве E5 к предельной поверхности деформирования
F( Э) = 0.
В формуле (1.2) s - вектор напряжения, (2G) - матрица упругих модулей материала, возникающих вследствие развития деформационной анизотропии, D1 - функционал процесса деформирования, |dЭ | = ds.
Применение постулата пластичности к аналогичному процессу нагружения в девиаторном пространстве напряжений £5 приводит к изоморфизму отмеченного выше принципа градиентальности [1, 2]: физический вектор
Э* = dЭ - (2g)ds = D2Vf (s)d£ (1.3)
нормален в пространстве £5 к предельной поверхности нагружения f( s) = 0. В (1.3) (2g) = (2G)-1, D2 - функционал процесса нагружения, £ - длина дуги траектории нагружения, |d s | = d£.
Если пренебречь деформационной анизотропией, то следует считать (20) = 20, (2g) = 1/20, где О - упругий модуль сдвига. В этом случае вместо (1.2) и (1.3) получаем соотношения
20йЭР = Э) йз, йЭР = Б2 V/( а) йЪ (1.4)
Из (1.4) следует, что при выполнении гипотезы о квазиизотропии пластически деформируемого материала вектор приращения пластических деформаций ортогонален предельным поверхностям деформирования и нагружения. При учете же деформационной анизотропии из соотношений (1.1) и (1.2) следует, что градиент ¥ и / в (1.2) и (1.3)
представляет не направление вектора йЭР , а некоторых других векторов а* и Э* .
Несколько ранее Драккер рассмотрел процесс нагружения, замкнутый не по деформациям, а по напряжениям, и сформулировал постулат пластичности: на любом замкнутом по напряжениям процессе работа дополнительных напряжений неотрицательна [5]. Он приводит ко второму из соотношений (1.4).
Экспериментальные исследования [5, 6] показывают, что пассивные процессы не являются упругими, а сопровождаются неполной пластической либо упругой деформацией. Это означает, что предельных поверхностей, четко отделяющих области сложного пластического деформирования и сложной упругой разгрузки не существует. Однако существуют предельные поверхности ¥( Э) = 0 и/(а) = 0, четко разделяющие области активного и пассивного упругопластического деформирования.
Элементарная работа формоизменения
йА = б • йЭ = ойзсо&—1 (1.5)
где о > 0, йз > 0, —: = агссоз(а ■ рР1) - угол сближения, а = а /о:
d Э „ 1 d Э „ 1
Pl = d7' P2 = W' Рз
1 - d P2
Ki pi+d7
являются единичными векторами репера Френе [5, 6].
Если < л/2, то йА > 0 и имеется активный процесс деформирования. Если > л/2, то йА < 0 и процесс пассивен. При —: = 0 имеем йА = 0 и процесс можно условно назвать нейтральным. В этом последнем случае векторы йЭ и а ортогональны, причем
вектор йЭ расположен в касательной к предельной поверхности ¥( Э) = 0 плоскости в точке К ее пересечения с траекторией деформирования. Поэтому можно утверждать, что вектор а ортогонален к предельной поверхности в точке К при условии ее регулярности. Это утверждение назовем гипотезой ортогональности и запишем в виде
а = Б V ¥ (Э) (1.6)
где Б - функционал процесса деформирования.
Поскольку Э и а должны быть связаны законом Э = Э (а), то предельную поверхность деформирования можно преобразовать к виду [4]:
/ (Э) = /(а) = 0
Следовательно, вектор а ортогонален к обеим предельным поверхностям и
а = ь У/( а) (1.7)
где Ь - функционал процесса нагружения.
К2
Гипотеза ортогональности s к предельным поверхностям в теории пластических процессов имеет принципиальное значение, так как определяет по существу направление развития деформационной анизотропии материала.
Поскольку is ■ S = 1, is ■ dS = 0, то в dis L S и вектор dis лежит в касательной плоскости к предельной поверхности F( Э) = 0 в точке K пересечения с траекторий деформирования. Направление ds в этой плоскости заранее неизвестно. Пусть это направление характеризуется вектором
t = cos Р? + sin в Д (1.8)
где вектор t лежит в плоскости депланации, а ц - ортогонален этой плоскости. Единичные векторы {is, t, ц } образуют ортогональный репер в точке K траектории, который получается поворотом репера Френе сначала около p? 1 на угол депланации -2,
а затем на угол — относительно ц. Представим, с другой стороны
t = d Si (Rds) (1.9)
где R - модуль вектора dis /ds и функционал процесса.
Вектор р?1 = dЭ /ds лежит в плоскости депланации. Поэтому его можно разложить на составляющие
d Э/ds = Ass + Bt
(1.10)
A = cos — = ——, B = -sin —
1 ads 1
Учитывая (1.8), соотношение (1.10) представим в виде
d Э . sin(t-sin рД) ,111Л
— = cos-1--¡j--(1.11)
ds cosp
Ldo = _L
R ds aR
'do _ íо do ,ds la ds
(1.12)
Функционалы процессов пластического деформирования Ильюшина
P = N = dsl (1.13)
dЭs dЭt
в теории процессов зависят в общем случае от развивающейся упругопластической деформационной анизотропии. С учетом (1.12), (1.13) соотношение (1.1) преобразуется к виду
d Э = N d s + (p- N] ^ + ds tg b sin
_s- (1.14)
ds = МЭ + (P - N)s - dsN tg в sin^ц o
N = _ oRRjcospl, р = da 1
sin ^ ' ds cos "
где N и P - функционалы, зависящие от истории процесса деформирования и учитывающие не только упругую, но и пластическую деформационную анизотропию свойств материалов. Последнее означает, что в теории процессов начально изотропных материалов можно не привлекать гипотезу квазиизотропии пластического деформирования Роша и Эйхингера [5]. С учетом зависимостей
ц = sin "2 P2 + cos "2p3
a -cos d1p)1-sin "1sin "2p3 (1.16)
P2 = -
2 sin" 1cos" 2
соотношения (1.14) преобразуются к стандартному в теории процессов виду [5-7]:
d s = M1d Э + (M s + M3p3) ds
1 - 1 . (1.17) d Э = M-d s - m (M s + M3P3) ds
tg В sin"
Mi = N(1 -tgptg"2cos"1), M3 = -N ^ 1
COs"2 (1.18)
M = ds - N(cos "1-tg p tg "2)
Отсюда получим
N = M1- M3 ctg sin "2
tg P = -1
M3cos"2 (1.19)
M1 sin —1 - M3cos —1 sin —2 Для определения углов сближения — и депланации —2 в [5, 6] получены уравнения
d "i N (d "2 Л M3
—;—+ ^cos" = —sinsin—-—+ к2 = ^cos"i sin+ —cos" (1.20)
ds 12 a 1 ds 2 У 112 a 2
Таким образом, гипотеза ортогональности приводит к тем же определяющим соотношениям трехмерной локальной размерности, что и общая теория определяющих соотношений автора в теории процессов [5-7]. Это дает основание считать их физически достоверными.
При -2 = 0, к2 ф 0 из (1.16), (1.18) имеем
Ц = Р3, Р2 = (S-cos — p1 )/sin —
M1 = N, M3 = OK2sin-j, M = do/ds - N costg P = -ок2/N
Из соотношений (1.17)-(1.19) следуют определяющие соотношения теории процессов для траекторий деформирования малого кручения [5-7]. Если также к2 = 0, то Р = 0,
t = t, M1 = N, M3 = 0 и из (1.17)-(1.19) получаем соотношения известной гипотезы компланарности Ильюшина и соотношения для плоских траекторий.
2. Запишем соотношения (1.17) с учетом (1.6), (1.7) в виде, аналогичном (1.2), (1.3):
а* = М1 йЭ - йо + M3dsp3 = Э)ds
- 1 _ М3 (2.1)
Э* = йЭ - Мйа + М3dspз = »V/(а
»1 = -
»2 = -
БМ - Б г р - М
- =
о о
ИМ Т --1--
оМ1 ----- 2 о М-1
1 М3 (2.2)
Л С08Ф
Р РМ1
tg Ф^Ш д2
где и Б2 - функционалы процесса, соэФ = о ■ с}1, с|1 = йа /й%.
Таким образом, показано, что на основе гипотезы ортогональности удалось не только получить определяющие соотношения теории процессов трехмерной локальной размерности, но и ассоциировать их с предельными поверхностями активного и пассивного упругопластического деформирования и нагружения в векторных пространствах Е5 и £5. При этом ортогональными к предельным поверхностям являются
некоторые векторы а* , Э* , коллинеарные вектору напряжений а, а не вектор приращения пластических деформаций, й ЭР , как это принято в теории квазиизотропного пластического течения.
Определяющие соотношения (2.1) представляют собой обобщенный принцип гра-диентальности в векторных девиаторных пространствах деформаций и напряжений в
теории процессов: физические векторы а* , Э* коллинеарны вектору напряжений а и нормальны к предельным поверхностям активного упругопластического деформирования Я Э ) = 0 и/(а) = 0.
Это утверждение имеет принципиальное отличие от модельного описания трансляции предельной поверхности нагружения в теории пластического течения. В [8] предложена следующая модель кинематического упрочнения материала с явно выраженным эффектом Баушингера в векторном пространстве напряжений. Двигаясь по траектории нагружения конец вектора напряжений о выходит на предельную поверхность в точке К0. Если эту точку считать жестким шариком, а поверхность нагружения моделировать жесткой оболочкой, то при дальнейшем сложном нагруже-нии шарик начинает двигать оболочку давлением, ортогональным к поверхности. Предполагается, что оболочка движется поступательно в направлении действия этого
нормального к поверхности вектора давления а0 без повор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.