АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2013, том 59, № 3, с. 291-295
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.21
ГИСТЕРЕЗИСНОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ И ПРИЧИННОСТЬ
© 2013 г. Ю. И. Бобровницкий
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН 101990 Москва, Малый Харитоньевский пер. 4 E-mail: yuri@imash.ac.ru Поступила в редакцию 28.12.2012 г.
Доказано, что линейные колебательные системы с гистерезисным демпфированием в форме комплексных жесткостей и/или комплексных упругих модулей удовлетворяют принципу причинности: отклик такой системы на произвольное внешнее силовое воздействие не может появиться раньше, чем сила начала действовать. Доказательство, основанное на строгом решении задачи о вынужденных колебаниях, приведено подробно для осциллятора с комплексной жесткостью и в кратком изложении для Ж-массовой системы. Одновременно показано, что эти системы неустойчивы по Ляпунову. Проведено сравнение с другими линейными моделями гистерезисного демпфирования.
Ключевые слова: гистерезисное демпфирование, комплексный модуль упругости, причинность. БО1: 10.7868/80320791913030039
Под внутренним трением твердого тела понимают совокупность физических процессов, в результате которых часть колебательной энергии тела превращается в тепло. Эти процессы многообразны, сложны и до конца не исследованы [см., например, 1, 2]. Поэтому в структурной акустике и теории колебаний инженерных конструкций используются феноменологические модели, основными требованиями к которым являются формальное согласие с опытными данными и соответствие имеющимся колебательным моделям. А так как колебательные модели упругих систем большей частью линейны, то и для трения линейные модели получили наибольшее распространение. Заметим, что по демпфированию имеется обширная литература (порядка трех тысяч статей и десятки монографий) и большая ее часть посвящена как раз линейным моделям.
Существуют три основных типа линейных моделей трения — вязкое демпфирование, гистере-зисное демпфирование и наследственные модели. Многочисленные модели вязкого демпфирования основаны на идее Рэлея [3] о том, что сила трения, действующая на элемент колебательной системы, пропорциональна его относительной скорости. Вязкие модели непротиворечивы (согласуются со всеми общими законами и принципами), лишь незначительно усложняют расчеты конструкций на колебания и правильно описывают поведение целого ряда сред и материалов, однако далеко не всех. Большинство материалов машиностроительных изделий и строительных материалов демонстрируют свойства, которые не согласуются с вязким демпфированием. Главное из этих свойств — подтвержденная многими экс-
периментами независимость в широком диапазоне частот их упругих модулей и коэффициентов потерь от частоты. Гистерезисный тип моделей демпфирования был предложен [4] именно для таких материалов. Сила сопротивления гистере-зисного демпфера по величине пропорциональна смещению, а по направлению совпадает со скоростью. Для гармонических колебаний это эквивалентно тому, что коэффициент пропорциональности между силой демпфирования и смещением (коэффициент демпфирования) является чисто мнимой величиной. Обычно такой демпфер используется в паре с упругим элементом (см. рис. 1), образуя модель гистерезисного демпфирования в форме комплексной жесткости или комплексного модуля упругости. Для модели на рис. 1 комплексная жесткость записывается как
к = *о(1 - гл), (1)
где жесткость к0 и коэффициент потерь п действительны, положительны и не зависят от частоты. Нетрудно проверить, что энергия, поглощае-
f(t)
x(t)
IXI
Рис. 1. Упругий элемент с комплексной жесткостью (1).
k
о
Пк0
Рис. 2. Осциллятор с комплексной жесткостью.
мая в модели за один период колебаний, не зависит от частоты и, следовательно, она адекватно описывает основное свойство отмеченной группы материалов. (Для сравнения, энергия потерь за период в вязком демпфере пропорциональна частоте.) Еще одно достоинство модели (1) связано с заметным упрощением (даже по сравнению с вязкими моделями) расчетов на колебания инженерных конструкций: потери можно вводить уже в окончательные результаты, полагая упругие модули комплексными. Помимо (1) есть и другие линейные модели гистерезисного демпфирования [5, 6]. Главным недостатком гистерезисных моделей считается несоответствие принципу причинности [6, 7]. По этой причине в акустической практике избегают использования гистере-зисных моделей в расчетах нестационарных колебаний, но из-за их простоты и отсутствия удобных альтернативных моделей продолжают широко использовать их при анализе установившихся гармонических колебаний упругих структур [5, 8, 9]. Что касается наследственных моделей внутреннего трения, берущих начало в работе Больцмана [10], то они более точны в описании свойств реальных материалов, но и более сложны, так что когда речь идет об инженерных расчетах, они не выдерживают конкуренции с простейшими вязкими и гистерезисными моделями. Более подробно о моделях внутреннего трения и об их сравнительном анализе читатель может прочесть в имеющихся обзорах, например, в [1, 2, 5, 11].
Основным результатом данной работы является доказательство того, что модель гистерезисно-го демпфирования в форме комплексной жесткости (1), вопреки сложившемуся мнению, удовлетворяет принципу причинности. Подробно рассмотрен пример осциллятора с комплексной жесткостью, для которого на основе строгого решения показано, что отклик осциллятора не может появиться раньше начала действия внешней силы. Показано также, что этот результат верен и для линейных колебательных систем с произ-
вольным числом степеней свободы. В конце статьи дается краткое сравнение с другими линейными моделями гистерезисного демпфирования. Стимулом для написания данной статьи явилась работа [12], автор которой показал, что осциллятор с отрицательным вязким демпфированием является причинной, хотя и неустойчивой, колебательной системой.
Для изолированного упругого элемента с комплексной жесткостью (рис. 1) отклик (смещение х(0) на внешнюю силу /(?) равен
х(г) = 1 / (г), к
откуда непосредственно следует, что принцип причинности здесь соблюдается: отклик появляется и исчезает одновременно с внешней силой. Но так как характер отклика может существенно измениться, если комплексная жесткость на рис. 1 является элементом более сложной колебательной системы, то ниже причинность доказывается сначала для осциллятора, а затем для произвольной линейной колебательной системы.
Начнем с осциллятора (рис. 2). Его вынужденные колебания подчиняются обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами
тх(?) + к0(1 - щ)х(г) = /(г)Н+(г - гЦ,
(2)
где точка сверху означает производную по времени t, И+(1) — асимметричная единичная ступенчатая функция Хэвисайда, равная 1 для t > 0 и 0 для t < 0 [13, гл. 21]. Она введена в правую часть (2), так как по предположению внешняя сила начинает действовать не раньше некоторого момента времени t1. Для удобства дальнейшего анализа уравнение второго порядка (2) представим системой двух уравнений первого порядка, введя скорость массы в качестве дополнительной переменной у(^:
¿(0 + Az.it) = ^ (г),
(3)
где
¿(г) =
'х(г)
У(г).
, =
(г)Н +(? - к)
1_т
А =
0 -1
2
2 0
— демпфированная собственная частота осциллятора, равная
Юо
= Д ^ = = П- /е, 0 = ,
\т \т л/ 2
Рассмотрим сначала решение однородной системы (3). Разыскивая ее решение в виде =
к
0
ГИСТЕРЕЗИСНОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ И ПРИЧИННОСТЬ
293
= гехр(—/®0, найдем характеристическое уравнение
\Л - /юЦ = ю2й - ю2 = 0
и два его корня
®1 = ®2 = -&л, (4)
а также два соответственных собственных вектора г1 = [1 — и г2 = [1 где индекс Т означает транспонирование, Е — единичная матрица. Они определяют два независимых решения однородной системы (3)
¿1(0 = ¿1 exp(-/ЮlO и г2(0 = г2 exp(-/ю2Í). (5) Любое другое решение системы представляет собой линейную комбинацию этих решений гА(0 = = а111(1) + а2г2(0, или в более удобной матричной записи
г„(П = ¿Р(г)а, Z = [¿1 г2], т = ^ {е а = [а1 а2].
Произвольные постоянные а могут быть выражены через значения решения в какой-либо момент времени t0 (начальные условия), так что решение однородной системы (3) представляется в следующем окончательном виде
г„(г) = ¿(г - ?с)с, (6)
где с = г^0). Матрица Z(t — t0), называемая фундаментальной матрицей уравнения (2) и системы (3), равна
¿(г - г0) = ¿р(г - г0)г= 1
cos(corf(t - —sin(®d(t -
(7)
решение однородной системы (6) можно положить равным нулю. Реакцию системы, удовлетворяющую неоднородному уравнению и нулевым начальным условиям, иногда называют нормальной реакцией системы на внешнее воздействие [13, гл. 21]. Ниже нормальная реакция вычисляется для рассматриваемого осциллятора, из которой непосредственно следует свойство причинности.
Согласно общей теории [13, гл. 9], любое решение неоднородной системы (3) состоит из суммы двух слагаемых — решения однородной системы (6) и частного решения zp(t) неоднородной системы. Второе слагаемое найдем методом вариации произвольных постоянных решения однородной системы, т.е. положив
Zp(t) = Z(t -10)c(t). (9)
Подставляя его в (3) и учитывая, что Z(t) + AZ(t) = 0, получим для переменных коэффициентов c(t) систему
C(t) = Z-\t - t0)F(t), общим решением которой является выражение
t
c(t) = c0 + jz-1(x - 10)F(T)dт.
t0
Подставив его в (9) и приняв во внимание, что система при t < t1 находилась в положении равновесия, получим c0 = 0 и следующее выражение для искомого решения неоднородной системы (3):
(г - г0)) ^(ю,,(г - г0))
Выбор момента времени t0 произволен. Он, однако, должен предшествовать началу действия внешней силы,
г0 < ^ (8)
Как следует из (4), один корень характеристического уравнения задачи лежит в нижней, а второй — в верхней полуплоскости комплексной плоскости частоты. Соответственно, первое решение (5) однородной системы убывает по амплитуде по времени, а второе — возрастает. Это означает, что осциллятор с комплексной жесткостью является колебательной системой, неустойчивой по Ляпунову.
Еще одно свойство решения (6) однородной системы, в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.