МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 531.36
© 2008 г. В.Ф. ЖУРАВЛЁВ, Д.М. КЛИМОВ ГЛОБАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ КЕЛЬТСКОГО КАМНЯ
Движение кельтского камня привлекает исследователей своими необычными свойствами. Если его положить на горизонтальную плоскость и закрутить вокруг вертикальной оси, то через некоторое время он перестанет вращаться вокруг этой оси, возникнут колебания вокруг других осей, а затем камень начнет вращаться вокруг вертикальной оси в противоположном направлении.
По-видимому, первыми публикациями по кельтскому камню являются [1, 2].
Известные исследования движения кельтского камня содержат те или иные упрощающие предположения и обычно ограничиваются локальным анализом устойчивости стационарных вращений. Среди многочисленных публикаций укажем работы [3, 4]. В них также содержится подробная библиография.
Отметим, что часто встречающееся предположение о том, что скорость точки кельтского камня в месте контакта с плоскостью равна нулю (неголо-номная постановка), не подтверждается физическими соображениями и требует своего обоснования.
В настоящей статье рассматривается глобальное движение кельтского камня, когда взаимодействие кельтского камня и плоскости, на которой он движется, задается силами, учитывающими скольжение и верчение в связанной форме, что придает им реальный физический характер [5]. Другой пример применения используемой в настоящей статье модели сухого трения можно найти в [6].
1. Постановка задачи. Уравнения движения кельтского камня. Кельтский камень представляет собой твердое тело, выполненное в форме эллипсоида (часто в форме половины эллипсоида). Будем считать, что это тело движется по неподвижной горизонтальной плоскости XY, с которой кельтский камень соприкасается в точке P (фиг. 1). Свяжем с камнем главные оси инерции x, y, z, в них трехосный эллипсоид поверхности камня задается уравнением
2 2 2 ч (- x cos d + y sin d) (x sin d + y cos d) z л n ,л 1Ч
ф(Г) = ""--- + ""-2-- + -2 - 1 = 0 (1.1)
a b c
где r = OP = (x, y, z), d - угол между главной осью инерции x и наибольшей осью эллипсоида, главные оси эллипсоида обозначены через a, b, c, причем a > b > c.
Центр тяжести тела G с массой m смещен относительно геометрического центра эллипсоида O по оси z на величину k (если k > 0, то точка G расположена на отрицательной части оси z). Введем еще единичный вектор I, направленный параллельно оси Z и противоположно направлению ускорения свободного падения g.
Z
Фиг. 1
Уравнения движения кельтского камня, записываются в подвижных осях х, у, I в следующей форме [4]:
тd-U + ы х(тu) = - mgI + Nl - F
JGd + w х (JGw) = N(k + r) х l - (k + r) х F d I / dt + w х I = 0
(1.2)
Здесь используются следующие обозначения: и - скорость центра масс тела О, № -угловая скорость тела, к = ОО; 1О = Ша§(А, В, С) - тензор инерции тела, N > 0 - сила нормальной реакции плоскости ХУ; Р - сила трения скольжения, приложенная к телу в точке контакта Р и лежащая в плоскости ХУ.
К системе трех векторных уравнений (1.2) следует добавить скалярное уравнение
(и + № X Г) • I = 0
отражающее тот факт, что скорость точки контакта Р лежит в плоскости ХУ. Для силы сухого трения Р используется модель, предложенная в [5]:
F
fN( u + w х r)
|u + w х r| + (8/3n)|pw • I|
(1.3)
(1.4)
Здесь / - коэффициент сухого трения, множитель 8/3п вычислен при выполнении закона Герца нормальных напряжений в области контакта, р - радиус пятна контакта. В основе указанной модели лежит близкое к действительности предположение о малости площадки контакта по сравнению с размерами тела. Это дает возможность говорить о точке контакта и пренебрегать моментом сил сухого трения относительно этой точки.
2. Дополнительные геометрические преобразования. Система трех векторных и одного скалярного уравнений (1.2), (1.3) достаточна для нахождения трех векторов и, №, 1 и одного скаляра N. Этой информации достаточно для ясного понимания динамики кельтского камня. Однако, при решении указанных уравнений необходимо найти связь между вектором г и вектором 1 в достаточно простой, конструктивной форме. Для этого запишем соотношение (1.1) в матричной форме:
Ю3
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
Фиг. 2
Ф(Г) = [(Г, Иг) -1 ]/2 = 0
И =
2 2 ее« й si.ii й
2~ + , 2
а Ь
1 - 1
2 , 2 аЬ
еos й sin й
Обратная матрица имеет вид
И-
2 2 2 2 Ь sin й + а cos й
22 (Ь - а ) cos й sin й
0
-1- - ^ | cos й sin й а Ь ;
22 sin й еos й
2~ + -2-
аЬ
0
22 (Ь - а ) еos й sin й
2 2 2 2 Ь cos й + а sin й
0
Вектор нормали в точке касания записывается следующим образом
1
-йф>/ йГ
й Ф
йГ
Определим его так ц1 = -й Ф/й Г = -И Г
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
a>j, ю2, ю3 U
Фиг. 3
откуда
г = -ц^-11
(2.5)
Для нахождения скалярного множителя ц подставим выражение (2.5) в формулу (2.1), откуда
Ц =
1
1
7( i, ^-11) 7с i ^ 11)
(2.6)
В дальнейшем вектор г исключается в соответствии с формулой (2.6).
3. Анализ движения кельтского камня. Анализ движения кельтского камня выполнен с помощью системы символических вычислений Мар1е. Предполагалось, что N = mg, а кельтский камень имеет следующие параметры: т = 0.15 кг, А = 0.002 кгм2, В = 0.0045 кгм2, С = 0.0006 кгм2, а = 0.07 м, Ь = 0.016 м, с = 0.01 м, g = 10 м/с2, / = 0.1, р = 0.0012 м, к3 = 0. Начальные данные были заданы так: ^(0) = 0, и2(0) = 0, /х(0) = 0, /2(0) = 0, 13(0) = 1. Остальные параметры приведены на соответствующих фигурах.
Фиг. 5
-0.06 -
Фиг. 6
На фиг. 2 приведен график ю3(0 для случая, когда угол d и ю3(0) имеют противоположные знаки. Из него видно, что ю3(0 резко уменьшается и меняет знак на противоположный, что хорошо согласуется с результатами экспериментов.
На фиг. 3 дополнительно к ю3(0 построены графики ю1(Г) и ю2(0. Видно, что изменение ю3(0 сопровождается возникновением колебаний вокруг горизонтальных осей.
Если же угол d и ю3(0) имеют одинаковые знаки, то характер изменения ю3(0 (фиг. 4) резко отличается от случая, показанного на фиг. 2, 3.
Фиг. 5 дает детальное изменение к»!©, ю2(0 на более коротком промежутке времени.
Фиг. 6 изображает поведение проекций силы сухого трения F1(t), F2(t) на промежутке времени T = 2000 с.
Расчетное значение силы нормальной реакции, как видно из фиг. 7, незначительно отличается от значения mg = 1.5
2 2 2
На фиг. 8 вычислено значение функции точности А = ¡х (0 + ¡2 (0 + ¡ъ (0 - 1. Из графика видно, что вычисления выполняются с достаточной точностью.
Фиг. 9, 10 изображают графики ю3(0 при условии ю3(0) = 0. Из них видно, что изменение знака угла d приводит к качественным изменениям поведения функции ю3©, что хорошо согласуется с результатами эксперимента.
г
Фиг. 7
Фиг. 8
Фиг. 9
Фиг. 10
4. Заключение. Модель движения кельтского камня, включающая в себя имеющую реальный физический характер модель сил сухого трения, дает адекватное описание необычного поведения кельтского камня. Она может служить основой для многопараметрического исследования указанного явления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Walker G.T. On a curious dynamical property of celts // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1885. V. 8. Pt 5. P. 305-306.
2. Walker G.T. On a dynamic top // Quart. J. Pure and Appl. Math. 1896. V. 28. P. 175-184.
3. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, Физматлит, 1992. 336 с.
4. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1988. 165 с.
5. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 762-767.
6. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. О динамике волчка Томсона (тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением // Изв. РАН. МТТ. 2005. < 6. С. 157-168.
7. Журавлев В.Ф, Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 326 с.
Москва Поступила в редакцию 7.01.2008
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.