УДК 524.31.084
ГОРЯЧИЕ ВЫРОЖДЕННЫЕ КАРЛИКИ В РАМКАХ ДВУХФАЗНОЙ МОДЕЛИ
© 2013 г. М. В. Ваврух*, С. В. Смеречинский
Львовский национальный университет им. Ивана Франко, Львов, Украина Поступила в редакцию 02.01.2013 г.; принята в печать 04.04.2013 г.
На основе уравнения механического равновесия в рамках 5-параметрической составной двухфазной модели, состоящий из изотермического ядра и невырожденной периферийной области, рассчитаны характеристики вырожденных карликов — радиус ядра, масса и энергия, толщина периферийного слоя звезды. Использовано точное уравнение состояния частично вырожденного идеального релятивистского электронного газа в ядре и политропное приближение для периферии. Решена обратная задача теории — по известным значениям масс, радиусов и светимостей наблюдаемых карликов спектрального класса ЭЛ определены параметры модели. Найдена область существования карликов на плоскости "температура ядра—параметр релятивизма в центре звезды", построена зависимость "температура ядра—эффективная температура фотосферы".
DOI: 10.7868/Б000462991310006Х
1. ВВЕДЕНИЕ
Интенсивные наблюдения с помощью космических обсерваторий, выполненные в последние десятилетия, значительно расширили традиционные представления о характеристиках вырожденных карликов. В соответствие с общепринятой точкой зрения, изложенной в монографиях конца прошлого века [1], вырожденные карлики являются последней стадией эволюции звезд небольших масс и обладают следующими среднестатистическими характеристиками: масса M & 0.6M©, радиус R & & 10-2R©, светимость L ~ (10-2 - 10-5)L©, эффективная температура фотосферы Teff < 104 K. В настоящее время известно много маломассивных горячих вырожденных карликов, светимость которых близка к светимости Солнца либо значительно превышает ее [2—5]. Эти карлики обладают массами порядка 0.45M©, радиусами в интервале (2 — 3) х 10-2R©, а эффективная температура их
фотосфер изменяется в области (104—105) К. По всем признакам это молодые карлики, находящиеся в начальной стадии эволюции.
Как известно, к реально наблюдаемым холодным карликам применима стандартная модель Чандрасекхара, о чем свидетельствует удовлетворительное соответствие между рассчитанной зависимостью "масса—радиус" и эмпирическими
E-mail: mvavrukh@gmail.com
кривыми, построенными по наблюдательным данным [6]. В двукомпонентной модели Чандрасекхара (идеальный вырожденный релятивистский электронный газ и статическая безструктурная ядерная подсистема, рассматриваемая как непрерывная классическая среда) фигурируют два безразмерных параметра: параметр релятивизма в центре звезды — безразмерный импульс Ферми х0 = (т0е)-1Н(3п2по)1/3 (где т0 — масса электрона, п0 — концентрация электронов) и параметр химического состава /ле = А/2, где А и 2 — усредненные (эффективные) числа нуклонов и протонов в ядре. Параметр це считается постоянной величиной и не зависит от координат.
Равновесием между гравитационным сжатием и давлением электронного газа при абсолютном нуле температуры определяется распределение концентрации электронов и плотности ядерной подсистемы вдоль радиуса, поэтому решение уравнения механического равновесия позволяет рассчитать все макроскопические характеристики карлика как функции параметров х0,^е. Используя рассчитанные значения масс и радиусов, путем исключения параметра х0 находят соотношение "масса-радиус" в виде семейства кривых, каждая из которых соответствует фиксированному значению /ле, изменяющемуся в небольшом интервале в окрестности /ле = 2.0. Это соотношение считается одним из основных тестов теории. В формальном ультрарелятивистском пределе (х0 ^ 1) теория Чандрасекхара устанавливает ограничение на максимальную массу карлика (М < МсЬ_ к 5.76М©ц-2).
M/M0 0.50
T,ff < 12000 K vf= 1.85 це = 1.95 = 2.035
2.0 R/R0
Рис. 1. Кривые "масса—радиус" в стандартной модели Чандрасекхара с постоянными значениями параметра Крестиками обозначены карлики с эффективной температурой ниже 12 000 К [3].
В нашей работе [7] впервые в рамках стандартной модели рассчитана полная энергия карлика (с учетом энергии покоя электронов) как функция параметров х0,^е. Это положительная немонотонная функция, максимум которой при /ле = 2.0 находится в окрестности х0 = 2.57.... Решена также обратная задача теории — по известным значениям масс и радиусов, взятым из работ [6, 8, 9], определены параметры х0,ц,е для этих объектов. Распределение карликов по параметру хо хорошо коррелирует с зависимостью "энергия—параметр х0": практически отсутствуют холодные карлики, для которых х0 > х0, чем устанавливается ограничение на минимальный радиус наблюдаемых карликов либо их максимальную массу.
Как отмечено в работе [10], расположение наблюдаемых карликов с произвольными значениями эффективных температур их фотосфер на плоскости "масса—радиус" (рис. 1) невозможно представить как совокупность кривых "масса-радиус" для различных значений параметра /ле. Однако в трехмерном пространстве "масса-радиус-эффективная температура" координаты наблюдаемых карликов (взятые из работы [3]) образуют поверхность, что хорошо видно из рис. 2. Сечения этой поверхности плоскостями Teff = const образуют семейство последовательностей, каждая из которых является кривой "масса-радиус" для совокупности карликов с одинаковой эффективной температурой [10, рис. 5]. Все это свидетельствует о необходимости учета температурных эффектов в теории вырожденных карликов на базе более реалистических многопараметрических моделей.
Ограничение на максимальное значение радиуса (минимальную массу) получено нами в рамках простой четырехпараметрической модели с изотермическим ядром, в которой распределение температуры вдоль радиуса смоделировано следующим образом: Т(г) = Т0 при 0 < г < Кс, а в периферийной области (Кс < г < К)
T(r) = То[(1+ х2(г))1/2 - 1] х х [(1+ х2(Яс))1/2 - 1]-1,
(1)
где К — радиус карлика, Кс — радиус его ядра, а
х(г) = (шов)-1 П(3п2и(г))1/3 (2)
имеет смысл локального значения параметра релятивизма, хотя и не совпадает с безразмерным значением импульса Ферми, поскольку поверхность Ферми при конечных температурах размывается. Аппроксимация (1) соответствует одинаковой степени вырождения электронного газа в каждой точке области Кс < г < К.
С целью упрощения расчетов в работе [10] использовано уравнение состояния электронного газа в виде разложений Зоммерфельда [11] для всей звезды с последующим усреднением (с весовой функцией х3(г)) по координатам слагаемых, зависящих от температуры. Это приближение соответствует учету температурных эффектов в рамках теории возмущений и приводит к редуцированному уравнению состояния частично вырожденного релятивистского электронного газа
Pe(r) =
п^л 4 с5
3h3
м/м0
0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
м/м0
0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
0
20000' 40000 60000 \
т„ к 80000' . - -
1ф К 1000000^"^ТЮ2^^^ 4.5 5.0
я/я0
+■ +
и+ +
+ + ++ ±
2.5
3.5
Я/Яс 4.5
100000 80000 60000 40000 20000 т<#> к
Рис. 2. Координаты наблюдаемых вырожденных карликов из работы [3] в трехмерном пространстве "масса-радиус-эффективная температура".
0
Здесь ТО = квТ0(т0с2)-1, а безразмерная функция ^>(х0; £0) слабо зависит от параметра х0 и существенно — от безразмерного радиуса ядра £0 = = Кс/К, который считался свободным параметром. Функция Т(х(г)) определяет уравнение состояния в стандартной модели (при Т0 = 0). В приближении (3) уравнение механического равновесия с помощью масштабного преобразования сводится к уравнению стандартной модели, но макроскопические характеристики карлика являются функциями параметров х0, /ле, Т^ и £0.
В [10] нами решена обратная задача — определены параметры модели для наблюдаемых карликов (^3000 звезд) по значениям масс, радиусов и эффективных температур, взятым из работы [3]. Установлена энергетическая зависимость областей изменения характеристик, что согласуется с наблюдаемыми распределениями карликов типа ЭЛ по радиусам и массам. Приближенный подход, развитый в работе [10], позволяет на качественном уровне учитывать влияние температурных эффектов, однако он применим в основном к описанию низкотемпературных карликов, для которых £0 к 1 и вклад периферийной области в характеристики этих объектов не является существенным.
В настоящей работе показано, что в горячих маломассивных карликах радиус изотермического ядра близок к среднестатистическому радиусу холодных карликов той же массы, поэтому периферийная область вносит существенный вклад в некоторые характеристики карлика. Это требует корректного описания внутренней структуры карликов, которые мы выполним в рамках 5-параметрической модели, более реалистической, чем модель работы [10], используя при этом точное уравнение состояния вырожденного электронного
газа в изотермическом ядре и уравнение состояния политропного типа для невырожденной периферийной области при явном учете вкладов последней в характеристики карлика.
Хотя целью нашей работы является определение параметров, характеризующих состояние вещества в горячих маломассивных карликах, разработанная здесь схема, которая обобщает и уточняет соответствующие соотношения работы [10], применима к описанию как низкотемпературных, так и горячих карликов. Вырожденному карлику радиуса К сопоставляется сферически-симметричная модель, состоящая из изотермического ядра и невырожденной периферийной области (рис. 3). В двукомпонентном ядре (идеальный релятивистский электронный газ и статическая ядерная подсистема) реализуется механизм теплопроводности металлического типа, что приводит к небольшому градиенту температуры вдоль радиуса и обосновывает приближение изотермичности. В связи с этим описание ядра сводится к уравнению механического равновесия; при этом нами использовано точное уравнение состояния идеального релятивистского электронного газа при постоянной температуре.
Радиус вырожденной части изотермического ядра Кс определим условием /л(Кс) = 0, где /л(К) — локальное значение химического потенциала электронов. В переходном слое (Кс < г < Кд) электронная подсистема находится на грани вырождения (р(т) < 0), поэтому внешний
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.