ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 428, № 5, с. 591-594
УДК 515.162+519.1
МАТЕМАТИКА
ГРАФ-ЗАЦЕПЛЕНИЯ © 2009 г. Д. П. Ильютко, В. О. Мантуров
Представлено академиком В.А. Васильевым 08.05.2009 г. Поступило 08.06.2009 г.
Известен способ кодирования классических зацеплений посредством гауссовых диаграмм и движений Рейдемейстера на них. При этом не все гауссовы диаграммы задают диаграммы классических зацеплений; переход к произвольным гауссовым диаграммам порождает теорию виртуальных зацеплений, см. [6]. Также виртуальные диаграммы можно описывать хордовыми диаграммами, построенными с помощью поворачивающих обходов (см. далее). В свою очередь хордовые диаграммы описываются своими графами пересечений, при этом не все графы происходят из хордовых диаграмм. Таким образом, виртуальные диаграммы задаются (с некоторой потерей информации) графами. Возникает аналогия: переход от реализуемых гауссовых диаграмм (классических узлов) к произвольным хордовым диаграммам приводит к концепции виртуального узла, а переход от реализуемых (посредством хордовых диаграмм) графов к произвольным графам приводит к концепции нового объекта — граф-зацепление, который мы вводим в настоящем сообщении. В [15] были построены похожие объекты для диаграмм узлов с использованием гауссовых диаграмм; мы используем другой подход, основанный на поворачивающих обходах (см. [8]). Подход с помощью поворачивающего обхода позволяет нам кодировать не только диаграммы узлов, но и диаграммы зацеплений с произвольным числом компонент. Для граф-зацеплений мы строим полином Джонса и доказываем теоремы минимальности.
Виртуальная диаграмма — это 4-валентный граф в [2, у которого каждая вершина снабжена структурой классического (проход—переход) или виртуального перекрестка (помечен кружочком). Виртуальное зацепление — это класс эквивалентности виртуальных диаграмм по обычным преобразованиям Рейдемейстера и движению объезда. Последнее состоит в удалении дуги, содержащей только виртуальные перекрестки, и добавлении произвольным образом погруженной дуги, со-
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Московский государственный областной университет
единяющей те же точки, у которой на местах пересечения и самопересечения ставятся виртуальные перекрестки. Назовем диаграмму связной, если на ней существует замкнутый путь, проходящий все ребра диаграммы, каждый виртуальный перекресток трансверсально, а в классическом перекрестке поворачивающий с ребра на не противоположное ему ребро. Далее все виртуальные диаграммы предполагаются связными и содержащими по крайней мере один классический перекресток, что не ограничивает общности, см. [4].
Атом [3] — это пара (М, Г): замкнутое 2-много-образие М и конечный 4-валентный граф Г, вложенный в М, причем М\Г представляет собой набор клеток, раскрашенных в шахматном порядке. Граф Г называется остовом атома, вершина атома — это вершина его остова. Под родом, ориентацией атома мы подразумеваем то же самое для М.
Пусть Ь — виртуальная диаграмма. Построим атом А(Ь). Его вершины — это классические перекрестки диаграммы Ь, последние соединены друг с другом ветвями диаграммы Ь, которые могут иметь (само)пересечения в виртуальных перекрестках. В каждом классическом перекрестке мы имеем четыре исходящих полуребра х1, х2, х3, х4, занумерованные по часовой стрелке, так что (х1, х3) образуют проход, а (х2, х4) — переход. Этим полуребрам мы сопоставим четыре полуребра атома А(Ь), соединяющие соответствующие вершины атома. Для приклейки черных и белых 2-клеток выделим черные и белые 1-циклы на остове атома А(Ь). Белый (черный) 1-цикл остова — это замкнутая кривая на остове, проходящая каждое ребро не более одного раза и в каждой вершине переходящая с х^на х, где {/,= {2, 3}, {1, 4} ({/,]} = {1, 2}, {3, 4}). В результате получаем атом А(Ь). Обратная операция, восстанавливающая виртуальную диаграмму с точностью до виртуализации и объезда, следующая. Рассмотрим погружение общего вида остова атома в [ 2 с сохранением структуры противоположности полуребер в вершинах. В точках пересечения образов ребер атома ставятся виртуальные перекрестки, а в вершинах атома ставим классический перекресток, так что вращение по часовой стрелке вокруг этой вершины от полуребра перехода до ближай-
Рис. 1. Виртуализация.
шего полуребра прохода происходит в белой клетке. Если остов атома вложим в К2 (высотный атом), то (см. [9]) изотопический тип зацепления не зависит от способа вложения. Такие атомы соответствуют классическим зацеплениям. Атомы, остов которых не вложим в К2, задают виртуальные зацепления, см. [6]. Виртуализация классического перекрестка виртуальной диаграммы — это локальное преобразование, изображенное на рис. 1. Можно показать, см. [10], что две диаграммы, соответствующие разным погружениям остова одного и того же атома, отличаются друг от друга последовательностью движений объезда и виртуализаций.
Опишем теперь кодирование виртуальных зацеплений посредством хордовых диаграмм, для чего нам понадобятся атомы и поворачивающие обходы. Далее на протяжении всего сообщения рассматриваются оснащенные меченые хордовые диаграммы, т.е. каждой хорде приписаны знак + или — и число 0 или 1 (оснащение). Две хорды назовем зацепленными, если при удалении из окружности концов одной из хорд концы другой хорды лежат на разных компонентах связности. По хордовой диаграмме Б построим виртуальную диаграмму К(Б) (с точностью до виртуализации): погрузим Б в К2, вложив окружность и расположив некоторые хорды внутри окружности, а другие — вне окружности. Для каждой хорды удалим два маленьких связных открытых кусочка окружности, содержащие концы этой хорды, и заменим ее парой кривых, образующих классический перекресток (а также и виртуальный перекресток в случае оснащения 1) следующим образом: первоначальные кусочки окружности соответствуют А-сглаживанию, если хорда положительна, и В-сглаживанию, если хорда отрицательна: А: X С В: X ^ X. Пусть дана виртуальная диаграмма К. По К строим поворачивающий обход — окружность диаграммы К, идущий по всем ребрам диаграммы, проходящий каждый виртуальный перекресток трансверсально, а в классическом перекрестке поворачивающий с (полу)ребра на не противоположное ему (полу)ребро. Соединяя прообразы классического перекрестка ребром,
получаем хордовую диаграмму (окружность ориентирована произвольным образом). Знак хорды есть + (или —), если окружность локально согласуется с A-сглаживанием (^-сглаживанием), оснащение равно 0 (или 1), если два противоположных полуребра противоположно (одинаково) ориентированы. Эта операция обратна операции построения виртуального зацепления по хордовой диаграмме. Для связной виртуальной диаграммы L существует такая хордовая диаграмма D, что L = K(D).
Перейдем теперь к кодированию виртуальных диаграмм посредством графов, которое позволит построить более широкий объект — граф-зацепления. У графа пересечений, см. [2], G(D) хордовой диаграммы D: вершины соответствуют хордам диаграммы (оснащение и знак вершины совпадают с оснащением и знаком соответствующей хорды), ребра соответствуют парам зацепленных хорд. Матрица смежности A(G) над Z2 графа G с n пронумерованными вершинами имеет a у = 1 (или 0), если вершины i иj (не)смежны, а a¡¡ равно оснащению вершины с номером i. Для D определим перестройку вдоль множества всех хорд следующим образом. Для каждой хорды с оснащением 0 (или 1) изобразим параллельные (пересекающиеся) хорды около нее и удалим дуги окружности между концами хорд. Небольшим шевелением в [3 картинка превращается в одномерное многообразие m(D) (результат перестройки). Число компонент связности многообразия m(D) равно corankA(G(D)) + 1 (см. [12]).
Опишем формулу для скобки Кауфмана виртуального зацепления в таком виде, который позволит обобщить ее инвариантным образом на более общие объекты. Состоянием атома назовем выбор пары противоположных углов в каждой вершине атома. Определим скобку Кауфмана (V) атома V как
/ТЛГ \ V a(s) - РОЬ 2 -2\r(s) -1 /14
( V)( a) = > a (- a - a ) , (1)
s
где сумма берется по всем состояниям s атома, a(s) и p(s) — это число пар белых и черных углов соответственно в состоянии s, а y(s) — это число
ГРАФ-ЗАЦЕПЛЕНИЯ
593
замкнутых кривых на остове атома V, проходящих все ребра остова и в каждой вершине переходящих с (полу)ребра на не противоположное ему (полу)ребро, согласно выбранному углу в этой вершине. Отметим, что (V) = <Ь>, где Ь — диаграмма зацепления, соответствующая атому V.
Далее все графы конечные, без петель и кратных ребер. Отметим, что не каждый граф является графом пересечений некоторой хордовой диаграммы (см. [1]) и, если такая диаграмма существует, она не обязательно единственна. Используя формулу (1), можно построить скобку Кауфмана даже для тех графов, которые не суть графы пересечений, а также для тех, которые реализуются неоднозначно. Пусть О — граф с множеством вершин V(О). Для состояния 5 с V(G) графа О обозначим через О(«) подграф графа О, порожденный на 8 графом О. Назовем А-состоянием (В-состоя-нием) состояние, содержащее все вершины графа О со знаком — (соответственно +) и только их. Число окружностей в состоянии 8 положим равным еогаик^ А(О(«)) + 1. Легко видеть, что к + I <
< п + 2, где к и I — количество окружностей в А-со-стоянии и В-состоянии соответственно. Положим
(б>(а) = £ ааМ - (-О2 - а-)
&
где сумма берется по всем состояниям а(«) — это сумма вершин из помеченных —, и из ^О)\у, помеченных +, р(ж) = п — а(ж).
Определим преобразования графов, соответствующие хордовым преобразованиям (которые, в свою очередь, соответствуют преобразованиям Рейдемейстера). В результате построим новый объект — класс эквивалентности графов по формальным преобразованиям. Пусть V — произвольная вершина графа О. Окружением Щ( V) вершины
V называется множество всех вершин, смежных с V. Граф-преобразования суть:
0Д: добавление/удаление изолированной вершины со знаком + или — и оснащением 0;
0^2: добавление/удаление двух несмежных (смежных) вершин, имеющих оснащение 0 (оснащение 1), разные знаки и одинаковую смежность с другими ве
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.