научная статья по теме ГРАФИЧЕСКАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМЫ РОБАСТНОГО КРИТЕРИЯ ХАРИТОНОВА Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «ГРАФИЧЕСКАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМЫ РОБАСТНОГО КРИТЕРИЯ ХАРИТОНОВА»

Автоматика и телемеханика, № 2, 2015

Робастные и адаптивные системы

© 2015 г. М.Г. ЗОТОВ, д-р техн. наук (zotova35@mail.ru) (Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики")

ГРАФИЧЕСКАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМЫ РОБАСТНОГО КРИТЕРИЯ ХАРИТОНОВА

Приведены построенные на базе робастного критерия Найквиста графический и алгебраический аналоги теоремы Харитонова. Графический аналог отличается от годографа Цыпкина - Поляка.

1. Введение

Для решения задач классической теории управления был создан достаточно обширный аппарат по оценке устойчивости линейных систем. Несмотря на то что они оценивают один и тот же показатель, каждый из них нашел свое исключительное место в решении конкретных задач теории управления. Однако применение частотных критериев устойчивости к решению задач выявило некоторые проблемы их использования. С появлением более сложных объектов управления и повышением требований к качеству управления ими классическая теория оказалась неприменимой. Возникла теория конструирования оптимальных систем, однако и в ней в полной мере не учитывались реалии функционирования систем. Этот пробел начинает закрывать теория робастных систем, в которой весьма важной является проблема робастной устойчивости. Робастная устойчивость гарантирует устойчивость системы в условиях параметрической неопределенности объекта управления. Регулятор, обеспечивающий это свойство, называется робастным. В большинстве случаев робастный регулятор успешно заменяет сложные в эксплуатации адаптивные регуляторы. С появлением направления, связанного с конструированием регуляторов для объектов с неопределенностью встала задача трансформации классических критериев устойчивости к новым условиям их использования. Появился аналог робастного критерия устойчивости Найквиста [1—3]. На основе критерия Михайлова был сформулирован робастный критерий Харитонова [4].

1.1. Графическая форма робастного критерия Найквиста [3] Пусть неопределенность А(^ш) удовлетворяет условию

(1) |ДО'ш)| < V\ш(зш)\

при всех ш для некоторой функции Ш(в), 8ирш \Ш^ш)-1А^ш)\ ^ V.

И пусть все

(2) И (в) = Ин(в) + Д(в)

имеют одинаковое число р неустойчивых полюсов при всех допустимых Д(в). Замкнутая система устойчива тогда и только тогда, когда годограф

<3' ^"ПйШг-1'

охватывает круг с центром в точке (—1, .0) и радиусом V р/2 раз против часовой стрелки, не пересекая круга [3]. Нн(в) - передаточная функция разомкнутой системы при номинальном значении ее параметров.

В сформулированном критерии накладываются жесткие ограничения на реализации И (в): они должны содержать совпадающее число неустойчивых полюсов. Случай расположения полюсов на мнимой оси не рассматривается.

1.2. Алгебраическая форма робастного критерия Найквиста

Если полюсы Нн(в) лежат только в левой полуплоскости, то робастная устойчивость замкнутой системы эквивалентна условию [3]

(4) |Нн(.Н + 1| > V (,Н| .

Условие (4) имеет место, когда полюсы реализаций И (в) находятся только в левой полуплоскости. Жесткие ограничения на реализации И (в) сохраняются.

Как будет показано далее, перечисленные ограничения имеют место и в классическом варианте критерия Найквиста, а приведенные его робастные аналоги лишь их воспроизводят. Классический критерий Найквиста характеризуется сложностью его использования в случаях, когда полюсы разомкнутой системы находятся на мнимой оси и справа от нее.

Отметим, что как и в классической теории управления, для каждого критерия робастной устойчивости со временем найдется область его использования при решении практических и теоретических задач. Разнообразие критериев - положительный фактор. Хронология развития теории робастного управления приведена в [3]. Там же дана большая библиография.

2. Постановка задачи

Пусть характеристический полином реальной системы имеет вид (5) T (s) = sn + a„-isn-1 + ... + a2s2 + ais + oo.

Параметры a¿ принадлежат некоторому множеству S. Полином называется робастно устойчивым, если он устойчив при любых значениях a¿ из множества S. Задача об устойчивости полинома, где параметры a¿ задаются интервально, успешно решается с использованием критерия Харитонова [4]. Ставится задача придать этому критерию более удобные для анализа графическую и алгебраическую формы.

3. Решение задачи

3.1. Критерии Найквиста и Михайлова

Для решения поставленной задачи используется робастный критерий Най-квиста [3], но он предварительно модифицируется так, чтобы избавиться от присущих ему перечисленных в разделе 1 недостатков. Применяемый способ для начала продемонстрируем на обычных классических неробастных критериях. Как известно, критерий Найквиста оперирует передаточной функцией разомкнутой системы Нн(в) = Мн(в)/Жн(в). По годографу Нн(]ш), ш = = 0,..., то, системы в разомкнутом состоянии и количеству лежащих в правой полуплоскости корней полинома ^н(в) определяется, является ли характеристический полином замкнутой системы Тн(в) = Жн(в) + Мн(в) полиномом Гурвица. В соответствии со сказанным на рис. 1,а приведена схема системы со звеном коррекции в прямой цепи. На рис. 1,б приведена вспомогательная схема, в которой передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид

(6)

нн(в) =

М*(в) Тн(в) - Я(в)

М*(в) Б(в) '

здесь ^(в) - полином той же степени, что и Тн(в). Схемы на рис. 1 имеют совпадающие характеристические полиномы, когда системы замкнуты, но имеют и существенные различия, что поясняется далее.

Для упрощения решения вопроса об устойчивости в замкнутом состоянии примем, что передаточная функция разомкнутой вспомогательной системы, т.е. полинома ^(в), имеет корни только в левой полуплоскости. Из рассмотрения исчезают случаи, когда полюсы передаточной функции разомкнутой системы лежат на мнимой оси и справа от нее. В этом случае определить количество оборотов годографа Нн(]ш), ш = 0,..., то, иногда бывает сложно. Для решения же вопроса об устойчивости системы в замкнутом состоянии для вспомогательной схемы необходимо ответить лишь на вопрос: охватывает ли годограф Н*(]ш), ш = 0,..., то, точку с координатами (—1,^0). Если не охватывает, то системы на рис. 1,а и б в замкнутом состоянии устойчивы. По

Рис. 1. а - Схема со звеном в прямой цепи, б - вспомогательная схема со звеном в прямой цепи.

а

Рис. 2. 1 - Годограф функции Я^/'ш), 2 - годограф функции Н*(.?ш).

числу оборотов годографа Нн(/ш), ш = 0,..., то, вокруг точки (-1,/0) можно легко определить число корней характеристического полинома замкнутой системы, расположенных в правой полуплоскости. Существенное различие схем на рис. 1: решение вопроса об устойчивости замкнутых систем с использованием вспомогательной схемы инвариантно относительно расположения корней полинома Жн(з). Сказанное поясним на примере.

Пример 1. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид

и м = Мн(5)= 5(5+ 1)

N„(8) (в2 + 1)(в_1)-

Используя критерий Найквиста, определить, является ли система в замкнутом состоянии устойчивой.

На рис. 2 приведен годограф Нн(/ш), ш = 0,..., то (кривая 1). Определить по нему, поворачивается ли он вокруг точки (-1,/0) на п радиан или не поворачивается, - задача не из простых. На том же рисунке приведен (кривая 2) годограф

(адш) + МнО'ш)) - яс/ш)

ннсн =

((/ш2 + 1)(/ш - 1) + + 1)) - (/ш + 1)3

= --ТТч-, Ш = 0, ...,ТО.

Для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо, чтобы годограф НН(/ш) вокруг точки (-1,/0) не поворачивался, но он повернулся на п радиан по часовой стрелке. Значит, характеристический полином замкнутой системы имеет один корень в правой полуплоскости. Действительно,

Тн(в) = (¿2 + 1)(в - 1) + в(в + 1) = (й2 + 0,4534в + 2,2056)(в - 0,4534).

Из сказанного следует: для ответа на вопрос об устойчивости приведенной на рис. 1,а схемы годограф Найквиста целесообразнее строить, исполь-

зуя вспомогательную схему на рис. 1,б, особенно если полюсы разомкнутой системы располагаются на мнимой оси.

Отметим, что классический критерий Найквиста обладает важным свойством: по нему можно исследовать устойчивость систем с обратной связью на основе экспериментально снятых частотных характеристик звеньев, образующих контур. Однако экспериментальное определение частотных характеристик разомкнутых систем с полюсами в правой полуплоскости и на мнимой оси представляет большую проблему. В случае расположения корней полинома NH(s) на мнимой оси и справа от нее целесообразнее использовать критерий Михайлова, но обычно масштаб при его построении выбирается с трудом. Заметим, что от этого недостатка легко избавиться, исследуя годограф TH(jw)/D(jw). Критерию Харитонова присущи также недостатки его классического аналога, т.е. критерия Михайлова. Выбор масштаба построения годографов, а их четыре, как уже было сказано, сложен. Обычно определяют корни полиномов Харитонова.

3.2. Модифицированный робастный критерий Найквиста

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

(7) H (s) = (Mh(s) + ¿i(s))/(Nh(s) + ¿2(s)),

где ¿i(s) и ¿2(s) - неопределенности. Необходимо найти условия, при которых характеристический полином замкнутой системы T(s) = NH(s) + MH(s) + + ¿(s) имеет корни только в левой полуплоскости, ¿(s) = ¿i(s) + ¿2(s). Для решения задачи обобщим изложенный в подразделе 3.1 подход. Рассмотрим вспомогательную схему, имеющую в разомкнутом состоянии передаточную функцию

Tis)-D(s) TJs)-D(s) Д»

(>i H{s)= ад ад + ад=я"(а) + А(а)'

(8)

Тя(8)-Р(8)

H«{s) = —ад—•

Системы с передаточными функциями H *(s) и H (s) имеют в замкнутом состоянии совпадающие характеристические полиномы T (s). Главное отличие в передаточных функциях H *(s) и H (s) заключается в полиномах знаменателя. У передаточной функции H*(s) расположение корней полинома D(s) можно выбрать произвольно, в том числе только в левой полуплоскости. У передаточной функции H (s) корни полинома ^^+¿2 (s) в общем случае могут быть и на мнимой оси, что существенно усложняет решение задачи, если оно вообще возможно.

3.2.1. Графическая форма модифицированного робастного критерия Найквиста

Согласно робастному критерию Найквиста из подраздела 1.1 для слу

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Автоматика. Вычислительная техника»