ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 6, с. 634-637
МАТЕМАТИКА
УДК 517.936.225;517.95
ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА НЕПРОТЕКАНИЯ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СТОКСА
© 2015 г. Ю. А. Дубинский
Представлено академиком РАН Е.И. Моисеевым 17.06.2014 г.
Поступило 02.07.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565215060043
ВВЕДЕНИЕ
В области О с границей Г рассмотрим систему уравнений Стокса
- А и (х) + Vр (х) = /(х), (1)
Шу и (х) = 0 (2)
при дополнительных граничных условиях
(u, n)г = 0,
д u . ч
-Г -P(x)n, n
.д n .
= 0.
(3)
Здесь и(х) = (и1(х), и2(х), и3(х)) ир(х) — векторная и скалярная составляющие искомого решения (и(х), р(х)); п = (п1(х), п2(х), п3(х)) — вектор нормали к границе в точке х е Г;
du
dn
дu1 ди2 дu3 дn' дn' дn
есть вектор нормальных производных от компонент и1(х), и2(х), и3(х). Наконец, символы (•, •), [•, •] показывают скалярное и векторное произведения в К3.
Цель работы — установить корректность задачи (1)—(3). Для этого необходимы некоторые пространства и вспомогательные результаты (см. также [1, 2]).
1. СОЛЕНОИДАЛЬНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ
Пусть — пространство Соболева вектор-функций и(х) = (и1(х), и2(х), и3(х)) в области О с К3 с нормой
u i = u
; + ||v i
где символ ||-||о означает норму в пространстве Ле-
бега L2.
Национальный исследовательский университет "Московский энергетический институт" E-mail: julii_dubinskii@mail.ru
Через 1апв обозначим подпространство пространства Ж, состоящее из вектор-функций и(х), нормальная часть которых на границе Г равна ну-
лю, т.е.
W, tang = { u(x)6 W: (u, n)r = 0}.
Это подпространство играет в дальнейшем базовую роль как самостоятельное пространство при решении задачи (1)—(3). Сопряженное к нему пространство обозначим через W-2tang , а действие h(x) е
е W-1tang на функцию v(x) е W2, tang через <h(x), v(x)>.
Далее пусть б'1, tang — подпространство солено-идальных функций, т.е.
tang = {U(x) е W2>tang: divu(x) = 0, x е G}.
Положим
W2, tang/S2, tang = { U (x) е W2, tang: (U Ф)Х2 = 0 Уф(х) е S2, tang }
и будем называть это подпространство фактор-пространством пространства W, tang по соленои-дальным функциям.
Утверждение 1. На фактор-пространстве Wtang/S2,tang нормы ||u||i и ||divu||0 эквивалентны.
Доказательство. Очевидно неравенство ||divu||0 < M||u||b M> 0 — постоянная.
Установим обратное неравенство. Пусть u(x) е е W2, tang/ S2, tang. Определим скалярную функцию p(x) как решение задачи Неймана
Ap(x) = divu (x), x (Vp, n)r = 0, и покажем, что u(x) = Vp(x).
G,
г
2
2
0
По выбору потенциала p(x) функция ^л) = u(x) — — Vp(x) е ^ (. В то же время для любой солено-идальной функции ф(x) е ^ (
|( V, ф)йх = и, ф)йх - ф)йх =
ООО
= |(р, ё1уф)йх = 0.
О
Следовательно, у^) = 0, т.е. u(x) = Vp(x). Остается заметить, что по хорошо известной теореме о гладкости решений задачи Неймана функция
p(x) е У (ибо е Х2) и при этом
IIVр||! < Щ|ё1уН| 0
или, что то же
1|и(х)||! < Щ|ё1уи(х)||0 , где M > 0 — постоянная.
Таким образом, утверждение 1 доказано.
Замечание 1. Отметим, что в доказанном утверждении включение е L2 было следствием того, что u(x) е у2,1апё. Но все проведенные рассуждения справедливы и в том случае, если u(x) е L2 и при этом divu(x) е L2. В этом случае получаем представление произвольной функции u(x) е L2 в виде
и (х) = и5 (х) + Vр (х),
где Vp(x) е У. Следовательно, и u(x) — us(x) е У , т.е.
Ь2/Б2 с У.
Это является свойством сглаживания соленои-дальной факторизации фактор-пространства L2/S2.
Аналогичная ситуация справедлива для полной шкалы соболевских пространств, а также при градиентно-дивергентной нормировке [4].
2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ У2, ьшв.
НЕРАВЕНСТВО ТИПА НЕРАВЕНСТВА ФРИДРИХСА
Начнем с определения допустимой области и укажем эквивалентные нормы в пространстве У2.
Определение 1. Область G е К3 называется допустимой, если выполнены два условия:
1) вложение У с L2 компактно;
2) множество нормалей п = (п1, п2, п3) на границе Г содержит хотя бы одну некомпланарную тройку векторов.
Ут верждение 2. Пусть G с [3 — допустимая область. Тогда в пространстве W нормы 1|и||1 = IMI о + IIV и\\0
= I J(и, n)2dy + || Vи\
1/2
эквивалентны.
Следствие 1. Если область G допустима, то
для любой функции u(x) = у2 справедливо неравенство типа неравенства Фридрихса
( \
N10 < M
IIVU2 + j"(и, n)2dy
в том числе для u(x) е W2, tang
||и||2 < Ml V 42, где M > 0 — постоянная.
Следствие 2. С учетом следствия 1 норма
||u||1 и норма ||Vu||0 в пространстве W2,tang эквивалентны.
Доказательства имеются в [1].
3. ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВОМ
W2, tang , tang
Ут верждение 3. Всякий линейный ограниченный функционал h(x) над пространством
W tang, обращающийся в нуль на подпространстве ¿2, tang, можно представить в виде
h (x) = Vp (x), где p(x) е L2 — скалярная функция, а функционал
Vp(x) е W-2tang действует по формуле
(Vp(x), v(x)) = — j(P(x), div v(x))dx.
G
Это утверждение является аналогом классической теоремы Де Рама о градиентном представлении обобщенной функции, обращающейся в нуль на подмножестве соленоидальных основных функций.
Доказательство. Будем искать p(x) в виде p(x) = divw(x), где w(x) е W2, tang/ ¿2, tang .
Очевидно, функция w(x) должна являться решением краевой задачи
Vdiv w (x) = h (x), (4)
(w, n)r = 0, (5)
и
и
0
г
г
636 ДУБИНСКИИ
где (4) — это равенство функционалов над про странством у2, 1аПЁ, т.е.
-|ёг^(х)div у(х)йх = <к(х), у(х)>
для любой функции v(x) е Wl, tang.
Покажем, что задача (4), (5) имеет единственное решение w(x) е Wl, tang/б'1, tang. Для этого используем метод Галёркина.
Пусть vj(x), v2(x), • •• — базисная система в фактор-пространстве Wtang/S{tang и
WN(x )) = C2 N v2(x) + ... + CNNvN( X) ,
N = 2,1,.,
есть последовательность приближенных решений задачи (4), (5), определяемая системой линейных моментных уравнений Галёркина
-jdivwN(x)divvy-(x)dx = (h(x), Vj(x)>,
G
j = 2,1, ..., N.
Априорная оценка. Из системы (6) для любого N верно равенство
|| divWn(x)||1 = < h (x), Wn(x)> . (7)
В соответствии с утверждением 1 на фактор-
пространстве W2, tang/tang норма ||dÍVW^(x)||o и норма ||w^(x)||1 эквивалентны. Тем самым, учитывая равенства (7), получим
11
(6)
т.е.
flo|| WN(x)|| 1 ^ ||divWN(x)|| 0 ^ llh(x)ll-l|| WN(x)|| 2,
«01 Wn(X)|| 2 ^ IIh(x)||-2,
где a0 > 0 постоянная.
Из этой оценки следует, что последовательность wN(x) слабо компактна в W tang/ ¿^ tang. Повторяя стандартные рассуждения по замыканию равенств (6), убедимся, что слабо предельная функция w(x) е W2, tang/ ¿2, tang последовательности wN(x) удовлетворяет интегральному тождеству
-jdivw(x)div v(x)dx = (h(x), v(x)) (8)
G
для любой функции v(x) е W2, tang/ ¿2, tang •
Однако тождество (8) справедливо и для любой функции v(x) е W2, tang, поскольку:
1) каждая функция v(x) е W tang представляется в виде суммы (ортогональной в L2) V (x) = v, (x) + V q (x),
где vs(x) е ¿2, tang , Vq(x) е W2, tang / ¿2, tang 5
2) по условию (h(x), vs(x)) = 0.
Это означает, что w(x) — решение задачи (4), (5).
Остается напомнить, что функция p(x) = = div w(x) дает искомое представление функционала h(x) е W-2tang, обращающегося в нуль на подпространстве tang. Утверждение 3 доказано.
Замечание 2. Найденный потенциал p(x) е е L2/[1, где символом [ обозначено подпространство постоянных функций.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОЛЕНОИДАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ РЕШЕНИЯ ИСХОДНОЙ ЗАДАЧИ
Пусть G с [3 — допустимая область и fx) е L2 — произвольно заданная вектор-функция.
Утверждение 4. Для любой правой части f(x) е L2 существует единственная функция u(x) е
е ¿2, tang, такая что
j(Vи, Vv)dx = j(f(x), v(x))dx, (9)
GG
где v(x) е ¿2, tang — произвольная функция. При этом справедливо неравенство
\\и(x)||2 < M\f(x)\\о, (10)
где M> 0 — постоянная.
Доказательство утверждения 4 с учетом следствия 2 стандартно.
5. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА Рассматривается краевая задача
- Дм(x) + Vp (x) = f(x), x е G, div u (x) = 0, x е G, 'du
(u, n )r = 0,
dn
- p (x) n, n
= 0,
(1) (2)
(3)
где правая часть f(x) е L2.
Определение 2. Обобщенным решением задачи (1)—(3) называется пара
(u(x), p(x)), где u(x) = (u1(x), u2(x), u3(x)) е ¿^ tang, p(x) е L2/[1, такая, что для любой функции v(x) е е W22, tang справедливо интегральное тождество
j(Vu, V v)dx - jp(x)divv(x)dx
GG
= j(f(x), v(x))dx.
(11)
G
г
G
Заметим, что если и(х) е Ж2, р(х) е Ь2 и при
этом — Аи + Vp е Ь2, то граничное выражение V — —
Vдп
—р(х)я ) — по определению линейный непре-
г
рывный функционал над пространством Ц^2 (Г), действующий по формуле
дn
- p(x)n, v^ = J(- Au + p, v)dx-
- j(Vu, Vv) dx + jpdivvdx,
G G
где v(x) e W2 — произвольная функция.
(*)
Условие
'c-u д n
— p(x)n, n
= 0 означает, что ле-
т.е. функционал к(х) е Ж,\апЕ обращается в нуль на подпространстве соленоидальных функций.
Следовательно, согласно утверждению 3, существует единственная скалярная функция р(х) е е Ь2/К\ такая что Н(х) = Vp(x), где оператор V
действует на v(x) е ^2,1апЕ по формуле
(Vр(х), v(x)) = -|р(х)ШУ v(x)йх.
о
Таким образом, для любой функции ^х) е справедливо равенство
2, tang
j(Vu (x)
, V v(x))dx - jp(x)div v(x)dx =
j(f(x), v(x))dx.
вая часть формулы (*) равна нулю, что и отражено в определении обобщенного решения.
Теорема. Пусть О — допустимая область. Тогда для любой правой части /(х) е Ь2 существует единственное обобщенное решение (и(х), р(х)) задачи (1)—(3), причем
ни 1 + 11р|| 0 < М\/\ 1о, где М> 0 — постоянная.
Доказательство. Пусть и(х) е ^2,1аПЁ — вектор-функция из утверждения 4. Рассмотрим линейный непрерывный функционал Н(х) над пространством ^2,1апЕ, значение которого на произвольной функции у(х) е ^2,1апЕ определяется формулой
(к(х), v(x)) = |(/(х), V(х))йх - V V)йх.
оо В соответствии с утверждением 4 для любой
функции v(x) е ^1апЕ верно
(к(х), v(х)) = 0,
Отсюда следует, что пара (u(x), p(x)) является обобщенным решением исходной задачи (1)—(3). Единственность найденного решения и оценка
IIu(x)|| 1 + ||p(x)||0 < Mf(x)||0 (M> 0) очевидны. Теорема доказана.
Результаты работы были получены в рамках выполнения государственного за
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.