МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <6 • 2008
УДК 532.59
© 2008 г. А. С. СУВОРОВ
ГРАВИТАЦИОННЫЕ И АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ, ВЫЗВАННЫЕ ДВИЖЕНИЕМ КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ТЯЖЕЛОЙ СЛАБОСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Представлено исследование трехмерной задачи о движении тонкой пластины в невязкой, тяжелой слабосжимаемой жидкости. Силы поверхностного натяжения не учитываются. Пластина движется прямолинейно под поверхностью жидкости бесконечной глубины с постоянной скоростью и колеблется с заданной частотой. Потенциал пульсирующего диполя получается из решения уравнения Эйлера и неразрывности с учетом условий на свободной поверхности (линейная теория малых волн) и условий на бесконечности. Функция плотности распределения слоя диполей находится из граничных условий на поверхности пластины. Получены формулы для вычисления дальнего акустического поля. Выполнены расчеты для квадратной пластины.
Ключевые слова: тяжелая жидкость, колебания, волны.
Прямоугольная в плане пластина с длиной 2Ь и шириной 2В находится в полупространстве со свободной поверхностью О, занятом жидкостью бесконечной глубины, при наличии силы тяжести; ХУЪ - декартова система координат. Пластина движется в сторону увеличения координаты X со скоростью и. Невозмущенная поверхность пластины Б параллельна плоскости ХУ и расположена на глубине Н под поверхностью жидкости. Пластина колеблется так, что вектор скорости вибрации точек пластины параллелен оси Ъ. Частота колебаний равна ю. Жидкость характеризуется плотностью р и скоростью звука с. Вектор g направлен по оси Ъ. Форма колебаний пластины считается известной. Требуется определить зависимость акустического излучения от скорости движения пластины.
Потенциальное течение в рамках теории потенциала ускорений в безразмерных координатах подчиняется волновому уравнению [1]:
Здесь 0 - потенциал ускорений, X - волновое число, X - относительное удлинение. При этом связь между потенциалом ускорения и потенциалом скорости подчинена уравнениям Эйлера:
Здесь к - число Струхаля, Ф - потенциал скоростей, ц - коэффициент диссипативных сил, который должен быть устремлен к нулю в конечных результатах [2, 3], Бг - число Фруда, Р - безразмерное давление. Предполагается, что выполняется оценка:
0ХХ + Х20+ 0гг + х20 = 0 в О
В
(1)
0 = ФХ + (ц - ¿к)Ф, 0 = Р + —„ к = Бг = и
Бг2 и л/^Ь
(2)
X = — = кМ < 1
Последнее выражение позволяет осуществить разбиение акустического поля, создаваемое пластиной на ближнее поле, не учитывающее сжимаемость, и дальнее поле, теория которого хорошо изучена.
Уравнения (1) и (2) с кинематическими условиями на поверхности тела и линейными условиями на свободной поверхности тяжелой жидкости приводят к краевой задаче:
@хх + А2©уу + 0гг + х20 = 0 в О
Иш [ -=©
^ Н о г
Э© ¡к(х - т)
е 4 'йт = - ет + ¡кг на Б 2-----...-----©,
©хх - 2ik©x - к © + ¡к© + ©х) + .
Бг
=0
г = 0
Иш ©,
0, г
/
где / - форма прогиба пластины.
Потенциал ускорения в задачах о тонком теле в потоке жидкости можно искать в виде интегрального оператора, типа потенциала двойного слоя [2, 4]
© = е-1РдО(х - у - п, г, о
е_ 4п •
(3)
где О - функция Грина, п, С - координаты диполей, заменяющих собой поверхность пластины. Функция Грина, учитывающая граничные условия на поверхности жидкости и на бесконечности имеет, вид [2, 3, 5]:
( -'ХГ1 -'%г2\
О = V-
4 п
2п'
¡V. р. Ц
(г + С)а - г(х - Ё)р соя(ф) ,, . . , , .
р е со 8 ( ( у - п ) р 81п ((р)/А)
00
22 Бг (рсоя(ф) + к) - а
йф dр -
;ю, ~ (г + 0а - г(х - ОрА1 .. . Г. 72„ч ге :е соя ((у - п)Рл/1-А^А)
4п Бг
Г
1 - А 21 а
йр +
~ (г + £)а - г(х - ^)рА-
¡е
4 пБг
1:
С08((у - п)рл/1- А2/А)
йр
1 - А 22 а
а = 7р2- X2, Г1 = 7(х - ^)2 + (у - п)2/А2 + (г - 02 г2 = л/(х - ^)2 + (у - п)2/А2 + (г + С)2
(4)
Положение особых точек А1 и А2 подынтегральной функции при интегрировании по ф определяется соотношением
А1,
к ± л/а
р _ Бгр
х
г ^ -<*>
Б
а пределы интегрирования а1; а2 находятся из следующих уравнений:
_к ± л/а2 - %2 = 1 _к ± л/а2 - %2 =
а~ Бга ' а~ Бга
Выражение (4) - в рамках линейной теории справедливо для любых значений чисел х, к, Бг. Но поскольку цель работы - определить поступательную составляющую движения в акустическом поле, то ниже рассматриваются лишь случаи % < 1. Поэтому полезно из выражения (4) выделить составляющие, определяющие ближнее и дальнее поля. В дальнем поле, определяющем излучение объекта, можно полностью пренебречь гравитационной составляющей функции Грина (4), а также величинами 1/г2 и ^ [6]. Поэтому потенциал ускорения в дальнем поле с учетом (3) примет вид:
г <®г -аX - + (у - п)2Л2 + г2
0 = р!£-2- -2 аз
2п ^ (х - £)2 + (у - п)2/^2 + г2
Более того, согласно [6] при малых %, на большом удалении тело излучает как точечный источник. Поэтому последнее выражение допускает значительное упрощение следующего вида:
Р2 2 2 2 ¡юг- ¡%4х + у /Л + г
0 = ¡Ь—-[раз (5)
0 2 2П2 2 }раъ (5) х + у /Л + г
Таким образом, чтобы вычислить излучение звука нужно знать равнодействующую силу давления жидкости на поверхность пластины. Для того чтобы ее найти, нужно редуцировать выражение (3) к двумерному интегральному уравнению относительно переменных х и у при помощи граничного кинематического условия на поверхности пластины. Вид этого уравнения с учетом того, что параметр % < 1 и в ближнем поле им можно пренебречь, будет следующим:
f Я i(
р ^фф e
-i у
14П2 AJ J i(P cos ф + k - |i)
S 0 0
Fr (рcosф + к - |i) + р -2яр
' ~~2-2-e
Fr (р cosф + к -1i) - р
ds = ike - е х
х (6)
у = рcos(ф)(х - £) + р sin(ф)(у - п)
Точное решение сингулярного уравнения (6) получить не удается. Для того чтобы решить его приближенно можно либо искать распределение давления в виде двойного ряда финитных по переменной у функций, либо пытаться упростить ядро интегрального уравнения.
Из выражений (4) и (3) с учетом (2) можно получить выражение Фурье-образа функции распределения волн на поверхности жидкости
2 I _2 . .2 _-Wm2 + n2
= -р К2 л/ш 2 + п е (7)
2 2 /2 2 Бг (ш + к - цг) -л/ш + п
Здесь и ниже индекс / обозначает Фурье-образ функции. Тогда уравнение (6) с учетом (7) можно переписать так:
п 1 -ни1 + п221 I 2 2 -¡¡м , , Ру- куе /Бг л/ш + п е ашап
II У-Р-1-2-1- =
4 п г (ш +к - Цг) (8)
ч г г, г (к + ш) -я7ш2+п - , = 2( 1кг - ех) - I I ку-—^е ашап
4 п
Для дальнейшего упрощения можно ввести следующее приближение для высот волн 1 районе области S:
-Hjm2 + n2
hfe~ = C (H) Jf (9)
Здесь C(H) - постоянная, зависящая от глубины погружения пластины. Такое приближение оправдывается тем, что для пластины, находящейся в непосредственной близости к поверхности жидкости, волны будут принимать форму, близкую к форме изгиба пластины (внутри области S). В расчетах постоянная C(H) подбирается методом наименьших квадратов по минимуму ошибки в выполнении граничного условия на поверхности S. Далее из (8) с помощью (9) можно получить упрощенное интегральное уравнение введением новой неизвестной величины:
г = р-ЯШ j
Fr
~ Г~2 2 -i ш, , (10)
1 г ггJ*lm + ne dmdn ( с\
^ (( J i( mm + k - цi ) = 2(ike - £*\ 1-C2j
Это уравнение допускает обратное Фурье-преобразование:
* ik(* - т) 1
Je п Jr 1 dsdx = ike - е*)(2- C)
~ S Г_ (11)
r = J(* - P)2 + ^
Внутренний интеграл в уравнении (11) представляет собой ускорение жидкости на поверхности пластины и может быть записан в виде
1 Jr1ds = -А(a0 + c0a1)(2- C)
2 к- r
S
где а0 - динамическое ускорение, вызванное кривизной профиля, а1 - ударное ускорение, связанное с мгновенным изменением скорости на носике пластины, причем а1 равно нулю в области S, с0 - некоторая постоянная. В соответствии с последним выражением уравнение (11) распадается на два
1 Э J4 * _ р.Г y _ ... -ds = -Че** -2ike* - k2е)(2- C)
2пдхду1 0(х - £)(у - п)
5 (12) _1__д_Сг __[___Г1 _ 0
2 пдхду -I1 1 (х - \ ) (у - п ) ™ _ 0
где Г0 и Г1 - соответственно динамическая и ударная нагрузка на пластину. Постоянная с0 определяется значением скорости на носике пластины
c0 =
1
-ik/ -j ч, f -ikx j f -ikx ,
e (e* + ike) * =1- I a0e dx I a1 e dx
1
Полученные уравнения (12) характеризуются тем, что в их ядрах отсутствует число Струхаля, а правая часть представляет собой вклады колебательных и поступательных составляющих движения пластины. Это дает возможность получить решение уравнения отдельно для колебательной и поступательной составляющей, а затем, комбинируя их, составлять решение для любого числа Струхаля. Различным числам Струхаля будут соответствовать лишь разные значения постоянной с0. Уравнения (12) являются приближением уравнения (6). Форма решений уравнений (12) зависит от параметра удлинения А и может быть упрощена сведением уравнений (12) к одномерным интегральным уравнениям типа Прандтля или Вольтера для предельных значений А ^ 0 и А ^ ^ соответственно. Для крыльев среднего удлинения ядра уравнений (12) могут быть упрощены после использования аппроксимации радикала методами Лейдло-Соболева, или Шлаус-таса [7]. Однако оба этих метода не позволяют уменьшить размерность интегральных уравнений (12), в отличие от метода Лоренса [8], в котором радикал аппроксимируется следующим выражением:
ч2
J(x - + ^ = - Я + - ^ <и)
Здесь в отличие от теории Джонса, вместо полного пренебрежения величинами у и п их влияние приближенно учитывается вторым слагаемым в правой части выражения (13). Если судить о погрешности такой аппроксимации по значениям четырехкратного интеграла по переменным x, Я, у, П в пределах S от обеих частей выражения (13), то она равна 8% для X = 1.
Такое приближение после его подстановки в уравнения (12) делает возможным представление нагрузки Г в виде произведения Г = y(x)P(y). Если прогиб пластины -парабола
е = -е0 (1 - x2- ho) то функция в определится так:
в = 8X( 1- C/2)V 1- у2
Подстановка в (12) дает
- } у o5(§)( sign (x - Я) + J(x-S-2 +1/X
-i
J resign(x - Я) + J(x -j;-2 + 1/X2)% = 1
Решения двух последних уравнений, определяющие распределение нагрузки, можно искать с учетом условия Жуковского-Чаплыгина и особенности порядка 1/2 на передней кромке пластины [2, 9] в форме:
2
db, = exx + 2ikex - k e
Y(x) = HoJj—X + H1 Vl - x2 + H2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.