МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2013
УДК 532.59-3
© 2013 г. А. А. АБРАШКИН, А. Г. СОЛОВЬЕВ
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ ДАВЛЕНИИ НА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ: ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
Изучены плоские периодические колебания бесконечно глубокой жидкости при неоднородном распределении давления на ее свободной поверхности. Движение жидкости описывается точным решением уравнения Эйлера в лагранжевых переменных. Исследованы динамика колеблющегося стоячего солитона, а также сценарий эволюции солитона и возникновение волны аномально большой амплитуды на фоне однородного герстнеровского волнения (модель волны-убийцы). Все течения являются неоднородно завихренными.
Ключевые слова: лагранжевые координаты, точное решение, птолемеевские течения, волна-убийца.
В теории волн на воде известно только два точных решения [1]. Первое получено Герстнером и описывает трохоидальные гравитационные волны на глубокой воде. Второе принадлежит Крэпперу и относится к случаю капиллярных установившихся волн. В настоящей работе построены и проанализированы точные решения для вихревых нестационарных колебаний свободной поверхности, поддерживаемых неоднородным периодически изменяющимся давлением на ней.
Рассматриваются плоские нестационарные вихревые движения жидкости, относящиеся к классу птолемеевских течений [2—4]. Они включают в себя волны Герстнера как частный случай. Ранее птолемеевские решения применялись для описания динамики одиночной вихревой области во внешнем потенциальном потоке [2—4], азимутальных волн на поверхности вращающейся полости [5] и магнитогидродинамиче-ских течений в однородном продольном магнитном поле [6]. В данной работе они используются для изучения движений жидкости со сложной динамикой свободной границы. Основное внимание уделяется анализу образования на поверхности волны аномально большой амплитуды.
В последнее время возникновение волн, в три и более раз превышающих по высоте среднюю амплитуду волнения (волн-убийц), активно изучается численными методами в рамках полных уравнений гидродинамики (см. обзор [7]). Рассмотрение проводится в предположении потенциальности движения жидкости и, за исключением единичных случаев, без учета действия ветра: давление на свободной поверхности при этом полагается постоянным. Влияние ветра в работе [8] учитывается наложением линейной связи между давлением и локальной крутизной поверхности для тех участков профиля, где она превышает некоторое пороговое значение. Тем самым воздействие ветра моделируется неоднородным распределением давления на поверхности.
Ниже построены и проанализированы примеры рождения конечно-амплитудного возвышения для двух случаев — на фоне покоящейся на бесконечности жидкости и стационарной волны Герстнера. Все исследуемые течения являются неоднородно завихренными. Давление на свободной поверхности изменяется для них в противофазе с подъемом профиля.
1. Птолемеевские течения. Система уравнений двумерной гидродинамики идеальной жидкости в переменных Лагранжа эквивалентна условиям сохранения двух якобианов [2—4]
IX ж ж*) _ Р( ж, ж*) _ О (х х *)
О(X, X *) _ I(X , X*) = 0(х'х ; (1Л)
Р(К ж*) _ Р(Ко, К) _ 1О о(у у *)
0*
1(XX*) О(X, X*) 2
Здесь W = X + iY (W* = X — iY); X, Y — декартовы координаты жидкой частицы, звездочка — знак комплексного сопряжения, х = a + Л (х* = a — Щ; a, Ь — лагранже-вые координаты жидкой частицы, Wt — производная по времени, W0 — значение в начальный момент времени. Функция D0 характеризует связь начальных положений частиц X0, Y0 с лагранжевыми переменными, она не может обращаться в нуль в области течения. Первое из уравнений системы (1.1) является уравнением непрерывности, а второе — условие сохранения завихренности О для жидких частиц.
Непосредственной подстановкой в (1.1) можно убедиться, что функция
Ж _ О(X)еы + Д^*)е*' (1.2)
является точным решением уравнений двумерной гидродинамики; G, F — функции, аналитические в области течения; 8, ц — произвольные действительные числа. Функции G, F в значительной степени произвольны, так как единственным ограничением на их выбор будет требование постоянства знака D0, т.е. для определенности условие
Оо _ Iо*|2 - И2 > 0 (1.3)
Траекториями жидких частиц, описываемых (1.2), будут эпициклоиды (гипоциклоиды). По таким орбитам вращались планеты в Птолемеевой картине Мира. В связи с этим данный тип течений назван птолемеевским [2—4].
Предположим, что области волнового движения жидкости в лагранжевых переменных соответствует нижнее полупространство Ь < 0, и течение описывается следующим выражением:
Ж _ О^) + *)е-ш (1тX < 0) (1.4)
Течение принадлежит к семейству птолемеевских течений (1.2), в показателе экспоненты для удобства выбрано, что ц = — ю. Функция б^(х) должна быть однозначной, т.е. ее производная G'(x) не должна обращаться в нуль в области течения. Это выполняется, если справедливо требование (1.3): из знакоположительности D0 следует однозначность б^(%).
В случае 8 = 0 жидкие частицы вращаются относительно своего равновесного положения по окружности. Радиус вращения определяется значением модуля функции F. На глубине частицы покоятся, поэтому должно выполняться условие
Д ^ 0 при Ь ^ -да
Поскольку функция F является аналитической, то наибольшего значения ее модуль достигает на свободной границе. Следовательно, максимальная величина осцилляций отдельной жидкой частицы будет обязательно соответствовать частицам, находящимся на свободной поверхности.
Определим, какому распределению давления на свободной поверхности будет отвечать волновое решение (1.4). Выражение для давления записывается так:
= - g( 1тв + 1тЕв~'а') + 1 ш2| Ц2 + Яе( ' [ив' Е* йх) р 2 J
Как видно из этого соотношения, при Ь = 0 давление будет зависеть от горизонтальной лагранжевой координаты а и периодически меняться во времени. Вид неоднородного распределения вдоль свободной поверхности определяется функциями О и Г. Выражение (1.4) задает целый класс точных решений, описывающий динамику свободной поверхности при неоднородном и гармонически изменяющемся давлении. Во всех примерах неоднородность давления будет задаваться на ограниченном интервале. На бесконечности давление стремится к постоянному значению р0.
Найденные нелинейные волны не осуществляют переноса массы: жидкие частицы движутся по окружности, и дрейфовое течение отсутствует. Завихренность течения (1.4) определяется выражением
а =
2 со |Е'| 2 \0'\2-\Е'У
и в силу условия (1.3) она всегда знакопостоянна. Величина О максимальна на свободной границе и спадает с глубиной до нуля (на дне).
На профиле свободной поверхности волны могут возникать особые точки (заострения). Необходимым условием возникновения такой особой точки является появление вертикальной касательной на профиле, что для данного решения соответствует обращению в нуль якобиана Б0: это возможно только на свободной поверхности в точках, удовлетворяющих соотношению |О'(а)| = |.Р(а)|. При этом обращение в нуль якобиана Б0 возможно только в дискретные моменты времени.
Рассмотрим птолемеевское решение (1.4) следующего вида
Ж = х + IАехр[/(- ю?)]
Это соотношение задает волны Герстнера. Жидкие частицы в них движутся по окружностям радиуса АехркЬ (изолиниям Ь соответствуют одинаковые амплитуды колебаний). В каждый момент времени свободная поверхность рассматриваемой волны представляет собой трохоиду. Оставаясь неизменной, волна движется со скоростью с = юк-1. Ее амплитуда равна А, а волновое число к. Физический смысл имеют только решения с амплитудой волны А < к-1, в противном случае профиль самопересекается. Если же А = к-1, то гребни на нем становятся острыми. Завихренность волн Герстнера равна
а = 2 к3А2 с ехр ( 2 кЬ) 1 - к А ехр(2кЬ)
Она быстро убывает по мере погружения в жидкость. Дисперсионное соотношение для волн Герстнера имеет вид ю2 = gk, как и для линейных потенциальных волн на глубокой воде. При выполнении этого условия давление на профиле волны остается постоянным.
2. Колеблющийся стоячий солитон. Линейная функция О и экспоненциальная функция Г отвечают наиболее простому выбору. Это единственный случай, когда решение (1.4) описывает стационарную волну на воде. Произвол в выборе функции Г (при
0.5 0
-0.5 -1.0
а 1
А1
- 2
- У 1 1 1
в
1 1 1
-V
0.5 0 0.5
-0.5 0 0.5
-0.5 0 0.5
-0.5 0 0.5
Фиг. 1. Профиль (1) и давление (2) для одиночного возвышения без заострения: Р = 0.4/(х* + г')2: а-г — Ш = п/2, п, 3п/2, 2п
линейной О) позволяет рассматривать широкий спектр возможных начальных форм профиля свободной поверхности.
Рассмотрим птолемеевское решение следующего вида:
Ж = х +
в
(х * + I)
в> 0; п > 2
(2.1)
Оно описывает динамику одиночного возвышения. Функция Р в данном случае имеет полюс порядка п. Он соответствует значению Ь = 1 и потому лежит вне области течения. В данной формуле величины х, в выбраны безразмерными. Согласно (1.3) область допустимых параметров описывается условием в < 1/п.
Давление на свободной поверхности для течения (2.1) запишется так
Р - Ро = _ £1т вехр ( - /ю I) +
рю2
а + I) 2 (а + 1)
2
ю р ехр (/ю t-п - 1 (а _ /)п _1
Оно спадает по мере удаления от солитона и равно постоянному значению на бесконечности. В формуле (2.1) величина п > 2. Если положить значение п равным единице, то давление на бесконечности будет расти логарифмически. Такое решение не имеет физического смысла.
На фиг. 1 приведены картина эволюции свободной поверхности и график изменения давления в зависимости от времени для значений параметров п = 2, в = 0.4. Кривая давления построена для нормированного давления рп = p/(pgL), где Ь — единичный масштаб длины. Для удобства анализа она смещена на постоянный уровень вниз.
В момент времени ? = я/(2ю) свободная поверхность имеет вид одиночного выплеска с небольшими впадинами по бокам. Через четверть периода на поверхности образуется симметричное переколебание, причем его максимум по сравнению с начальным солитонным профилем смещается вправо и уменьшается по амплитуде. Еще через четверть периода на профиле появляется одиночная впадина с двумя небольшими боковыми всплесками, и, наконец, пройдя полный период кол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.