ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 5, с. 536-539
МЕХАНИКА
УДК 532.13+517.994
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВОДНЫХ РАСТВОРОВ ПОЛИМЕРОВ
© 2015 г. Ю. Д. Божков, член-корреспондент РАН В. В. Пухначев
Поступило 06.10.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565215050114
1. Предметом нашего изучения являются уравнения, описывающие движение слабых водных растворов полимеров,
dv vy , л , d Av — = -Vp + vAv + к-,
dt dt
V-v = 0.
(1)
Здесь г обозначает время, V = вектор
скорости, р - отношение давления к плотности жидкости, которая предполагается постоянной, V и А - градиент и лапласиан по переменным хъ х2, х3, V и к - коэффициенты динамической и релаксационной вязкости соответственно. Положительные величины V и к также считаются постоянными. Выражение — обозначает конвек-
dt
тивную производную вектора и по времени, ассоциированную с полем скорости V,
^ = ди + V уи.
dt дг
При записи уравнений (1) предполагалось, что внешние массовые силы отсутствуют. К такому же виду приводятся уравнения движения в случае потенциальных массовых сил.
Уравнения (1) были выведены в работе Я.И. Войт-кунского, В.Б. Амфилохиева и В.А. Павловского [1] (см. также [2], где на основе этой модели изучались турбулентные движения растворов полимеров). Вопросы существования и единственности решения начально-краевых задач для системы (1) впервые изучались в работах А.П. Осколкова [3—5]. Он же предложил более простую модель, заменив конвективную производную вектор-функции А V ее частной производной по времени,
V г + V -'V =-Ур + vДv + кДv г, У- V = 0. (2)
Instisuto de Matematica, Estatistica e Computacao Científica, Universidade Estadual de Campiñas, Brasil Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
Новосибирский государственный университет E-mail: pukh@hydro.nsc.ru
Другая модификация модели движения водных растворов полимеров состоит в замене последнего слагаемого в правой части уравнения импульса (первого уравнения системы (1)) выра-
т л- ¿Б жением 2 шу—, где
аг
— = дБ + (V -У)Б + БЖ - ЖБ (3)
аг дг
это объективная производная [6] тензора скоростей деформаций Б (т.е. симметричной составляющей тензора V V, в то время как Ж является его антисимметричной составляющей). В результате мы приходим к системе
dv = -Vp + vAv + Kdiv—, dt dt
V-v = 0.
(4)
Уравнения (4) весьма схожи с уравнениями так называемой альфа-модели турбулентности [7]. Если в системе (4) заменить объективную производную тензора Б ее частной производной по времени, эта система перейдет в систему Оскол-кова (2). Вопросы разрешимости начально-краевых задач для системы (4) изучены недостаточно. В работе [8] доказано существование слабого решения начально-краевой задачи с условиями прилипания на границе области течения для аналога системы (4), где вместо объективной производной (3) выбирается результат ее сглаживания. Заметим, что даже для более простой модели (2) разрешимость задачи с естественными условиями прилипания была установлена недавно [9] (в работе [5] на границе области задавались условия проскальзывания). Современное состояние математической теории движения водных растворов полимеров и смежных проблем динамики вязко-упругих жидкостей типа Кельвина—Фойгта изложено в монографии В.Г. Звягина и М.В. Турбина [10].
2. Данная работа посвящена исследованию моделей (1), (2), (4) методами группового анализа дифференциальных уравнений [11]. Исходным пунктом является вычисление допускаемой уравнениями указанных моделей группы преобразо-
ваний. Непосредственная проверка показывает, что в трехмерном случае системы (1) и (4) допускают псевдогруппу Ли преобразований пространства К8 в себя, генерируемую базисными операторами
X0 = ^ Xki = xk dXl- xAk + vk dv, - vi
k, l = 1, 2, 3, k < l,
ф = Фдр , ^k = Wk dxt + V k dvk - XkV k dp , k = 1, 2, 3.
(5)
3. Инвариантное решение системы (1) в плоском случае относительно оператора XQ = X1 + Q Y2, где Q = const, имеет вид
Vi = f(£, t), V2 =Q xi + g(2, t), p = h(2,, t), 2, = x2 - Q tx1.
(6)
Здесь ф (г), ук(t) - произвольные функции класса Cю, точка обозначает дифференцирование по г. Наличие в коэффициентах операторов Ф и ¥к произвольных функций времени типично для многих моделей несжимаемых сред (идеальная и вязкая жидкость [12], а также несжимаемая вяз-коупругая жидкость Максвелла [13]).
Выбираяв коэффициентах операторов ¥к в качестве у к функции 1 и г, получаем оператор переноса Хк = д%к и галилеева переноса Ук = г дХк + дVk. Наличие у систем (1) и (4) широких групп преобразований позволяет строить их инвариантные и частично инвариантные решения [11]. Эти решения разбиваются на классы эквивалентности путем построения оптимальных систем подалгебр алгебры (5).
Что касается уравнений Осколкова (2), то допускаемая ими алгебра исчерпывается линейной оболочкой операторов Х0, Хк, Хк1, Ф, не содержащей операторов группы Галилея. Впрочем, это не мешает изучать точные решения системы (2), которые могут и не иметь теоретико-групповой природы.
В случае плоского движения наиболее широкая группа, допускаемая уравнениями моделей (1) и (4), порождается операторами Х0, Х12, Ф, ¥2. Обозначим соответствующую ей алгебру через ЬР. В работе [13] построена оптимальная система подалгебр первого и второго порядка для алгебры Ьм, допускаемой уравнениями плоского движения несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла. Оказалось, что структура алгебр ЬР и Тм одинакова, хотя соответствующие им группы действуют в пространствах разной размерности. Мы можем воспользоваться результатами работы [13] для перечисления всех существенно различных инвариантных и частично инвариантных решений систем (1) и (4) ранга 1 и 2, описывающих плоское движение растворов полимеров. Ниже приводятся примеры таких решений.
Система для нахождения функций f, g, h оказывается линейной благодаря наличию интеграла g = Q tf + x(t), где х - произвольная функция t.
2 2
Если х = 0, для функции (1 + Q t )f = ю получается уравнение
©t = v(1 + Q2t2)ю^ + к(1 + Q2t2)©^t + kQ2t©(7)
Простейшие решения уравнения (7) имеют вид ю = q(t)exp(/a^), a = const. Асимптотика функции q при больших значениях t отличается для случаев
к> 0 и к = 0. В первом случае q = СГ^хр^-—)[1 +
+ о(1)], если t ^ да, при любом a > 0. В случае к = 0 асимптотика q при t ^ да существенно зави-
сит от a: q = C exp
Г 2^.2,3л
va Q t
[1 + o(1)].
Интересно отметить, что система (2) также имеет решение вида (7), хотя оператор Хп при О ф 0 этой системой не допускается. Аналогичное решение существует и в модели (4). Уравнение для функции ю остается линейным. Оно отличается от уравнения (7) наличием добавочного члена кИ гю^в правой части. Вклад нелинейного члена 2 Шу (БЖ - ЖВ) в формуле для объективной производной (3) приводит лишь к изменению давления: к функции к прибавляется слагае-
мое -ю
4. В этом разделе рассматриваются решения систем (1), (2), (4), описывающие плоские движения вблизи критической точки. Обозначим через Т положительный параметр размерности времени и выберем в качестве масштабов длины, скорости и отношения давления к плотности величины / \ 1/2
(VТ)1/2, (— I и соответственно. Система (1)
\Т/ Т имеет класс решений вида
\ 1/2
/ \1/2 / \1/2 v = (V) xqy(y, ^ v2 = - (V) q(y, ^
b (т) x
+ r (y, т)
(8)
здесь обозначено х = (vT) 1/2х1, y = (v T) x2, т =
= -^ . Функция Ь (т) может быть задана произвольно, после чего функция q (у, т) находится как
538
БОЖКОВ, ПУХНАЧЕВ
решение следующего дифференциального уравнения:
Ьт + ъ - qqyy =
= Ь(т) + qyyy + 5(qyyyT + qyqyyy
qqyyyy ),
(9)
где 5 = —. Если его решение известно, функция \Т
г определяется с помощью квадратуры.
Решение (8) является частично инвариантным решением [11] системы (1) относительно подгруппы, порожденной операторами Х1, У1. Аналогичное решение имеется и у системы (2), хотя в допускаемой ею группе преобразование Галилея отсутствует. В этом случае последнее слагаемое в правой части уравнения (9) заменяется выражением 5дууут. У системы же (4) также существует частично инвариантное решение относительно указанной подгруппы. Однако в этом случае зависимость р от х усложняется:
'=V
b (т) х
кх 2ql (y, т)
+ r (y, т)
2 2
где функция д определяется из уравнения, аналогичного (9).
Для уравнения (9) ставится начально-краевая задача
Я (У,0) = ?оОО, У > 0; д (0, т) = ду (0, т) = 0, т> 0; (10)
Яу ^ 0(т), у ^да, т> 0, где д0 - заданная функция у, а функция 0 (т) удовлетворяет уравнению Риккати, 0 + 0 = Ь (т). При условиях Ь (т) > 0 для всех т > 0 и 0 (0) = 00 > 0 решение уравнения Риккати существует и положительно при любом т > 0. Это решение задает поле скоростей потенциального движения идеальной жидкости, и = х0(т), V = -у0(т), к которому асимптотически приближается рассматриваемое движение, когда у ^ да. Условия (10), заданные на линии у = 0, это обычные условия прилипания.
Случай Ь > 0 отвечает благоприятному знаку
V хЬ
производной давления рх =
T
обеспечиваю-
щему режим оттекания жидкости от критической точки х = у = 0. В противоположном случае решение может разрушиться за конечное время. Если, однако, функция Ь отрицательна при т > 0, но быстро убывает, когда т ^ да, то можно надеяться на существование решения задачи (9), (10) при любом т > 0. Пример такого решения вида (8) для уравнений Навье—Стокса, в котором Ь < 0, построен в работе [14].
Стационарные решения уравнения (9), удовлетворяющие условию выхода на потенциальный поток идеальной жидкости при у ^ да, возможны лишь в случае Ь > 0. В этом случае без потери общ-
ности можно положить b = 1, и уравнение для стационарных решений примет вид
q'2 - qq" = 1 + q" + §(qY" - qq(lv)), y > 0 (11)
(штрих обозначает дифференцирование по y). Для уравнения (11) ставятся краевые условия
q(0) = q'(0) = 0, q' ^ 1, y ^ да. (12)
Если 8 = 0, уравнение (11) переходит в известное уравнение К. Хименца (K. Hiemenz, 1911). Решение задачи (11), (12) с 5 = 0 существует и единственно. В этом решении q > 0, q' > 0 при y > 0, а 1 - q' быстро убывает при y ^ да.
Исследование задачи (11), (12) при положительных значениях 5 выходит за рам
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.