ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2011, No 4, с. 16-22
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
УДК 681.3.06
X- И Y-ИНВАРИАНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ НА ПЛОСКОСТИ
© 2011 г. E.C. Шемякова Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Отдел систем математического обеспечения 660017 Москва, ул. Вавилова, 40 E-mail: shemyakova.katya@gmail.com Поступила в редакцию 12.10.2010
В работе рассматривается классическая проблема компьютерной алгебры - символьное решение дифференциальных уравнений. А именно, широко используемые теоремы Дарбу о преобразованиях гиперболических операторов на плоскости с помощью дифференциальных подстановок переносятся в пространство инвариантов. Вводятся X- и Y-инварианты для таких операторов как решения некоторых уравнений, записанных в терминах инвариантов Лапласа самого оператора L относительно калибровочных преобразований. Получены явные формулы преобразований множеств X- и Y-инвариантов при преобразованиях Дарбу.
1. ВВЕДЕНИЕ
Теория преобразований Дарбу для линейных гиперболических уравнений второго порядка на плоскости является классикой символьных алгоритмов и имеет многочисленные приложения: для символьных решений задач классической дифференциальной геометрии [2, 6], теории интегрируемых систем [20, 15], для исследования нелинейных уравнений интегрируемых по Дарбу [17, 1, 7, 8]. Получены многочисленные обобщения классической теории Дарбу как для гиперболических задач (для систем уравнений на плоскости [18, 19, 21, 12], для уравнений с более чем двумя независимыми переменными [4, 5, 13], так и для негиперболических: [11, 10, 9, 22].
В данной работе мы возвращаемся к классическим для теории Дарбу гиперболическим операторам второго порядка, т. е. операторам вида
Ь = ВхОу + а(х,у)Бх+Ъ{х,у)Ву+с(х,у) . (1.1)
Пусть и = и(х,у), Ь(и) = 0, М - линейный дифференциальный оператор с частными
производными, и v(x,y) = Mu. В общем случае такое v будет удовлетворять переопределенной системе линейных дифференциальных уравнений, и лишь при особом выборе M мы получаем только одно новое уравнение: L\v = 0, где Li того же вида что и L, (1.1), но с измененными коэффициентами a1(x,y), c1(x,y), b1 = b. В таком случае мы имеем дифференциальное преобразование [22] оператора L в L1 с помощью M, и для некоторого оператора Mi имеет место равенство
Mi о L = Li о M, (1.2)
задающее левое наименьшее общее кратное ILCM(L, M) в кольце K[D] = K[Dx,Dy] линейных дифференциальных операторов на плоскости.
Известно [3, Ch. VIII], что в случае общего положения все такие операторы M описываются в терминах одного или двух частных решений уравнения L(z) = 0. Возможны и вырожденные случаи, среди которых и классическое преобразование Лапласа, для задания которого требуется лишь знание коэффициентов оператора (1.1). Соотношение (1.2) для "сплетающего оператора" M также широко использовалось при
изучении интегрируемых задач [16, 14].
В данной работе мы переносим классические результаты Дарбу о преобразованиях гиперболических операторов на плоскости с помощью дифференциальных подстановок в пространство инвариантов. Согласно Дарбу любое дифференциальное преобразование может быть представлено в виде последовательности дифференциальных преобразований простейшего вида, т.е. таких что M - оператор первого порядка и содержит операторы дифференцирования только по одной переменной (мы называем их X- и Y-преобразования Дарбу). Так как частные решения z уравнения L(z) = 0 используются для построения дифференциальных преобразований, мы рассматриваем инварианты R и Q, (3.3) пар (L, z) вместо обыкновенно рассматриваемых порождающих инвариантов h и k самого оператора L относительно калибровочных (см. определение в секции ) преобразований. Функции Q и R можно построить по z, и обратно, по R и Q можно построить z.
Мы показываем, что каждую из функций R и Q можно задать как решение некоторого уравнения ((3.4) и (3.5)) с коэффициентами, зависящими только от h и k, то есть уравнение одно для каждого класса эквивалентности операторов L. Решения этих уравнений мы называем X- и Y-инвариантами. Свойства X-и Y-инвариантов показывают, что введенные понятия интересны и могут быть полезными для развития методов Дарбу и их обобщений.
Автор благодарит профессора С.П.Царева за полезные замечания.
2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть K - дифференциальном поле K характеристики ноль с коммутирующими дифференцированиями dx,dy, K [D] = K [Dx, Dy] - кольцо K [D] = K [Dx, Dy] линейных операторов с частными производными с коэффициентами из K, где Dx,Dy соответствуют дифференцированиям dx,dy.
Операторы L £ K [D] имеют вид
l = zd+, =0 aijDxDy, где aij £ K. Многочлен
SymL = J2i+j=d aijXг Yj формальных переменных X, Y назовем (главным) символом L.
Поле К будем предполагать дифференциально замкнутым, т.е. содержащим решения (нелинейных в общем случае) дифференциальных уравнений с коэффициентами из К.
Пусть К * - множество обратимых элементов из К. Для Ь е К и каждого д € К * рассмотрим калибровочное 1 преобразование
L ^ Lg = g 1 о L о g
(2.1)
Тогда дифференциально-алгебраическое выражение I от коэффициентов оператора Ь и их производных называется инвариантом относительно этих калибровочных преобразований, если оно не меняется при этих преобразованиях. Простейшие примеры инвариантов - коэффициенты символа оператора. Порождающим множеством инвариантов называется набор инвариантов, такой, что любой дифференциальный инвариант может быть выражен через инварианты этого набора и их производные.
3. X- И Г-ИНВАРИАНТЫ
Известно [3], что функции
Н = аЬ + ах — с , к = аЬ + Ьу — с (3.1)
образуют порождающее множество дифференциальных инвариантов для операторов Ь вида (1.1) относительно калибровочных преобразований (2.1). Соответствующее преобразование ядер, Кег(Ь) ^ Кег(Ь'):
z н> z
g
(3.2)
Функции Н и к называют инвариантами Лапласа.
Далее мы будем рассматривать калибровочные преобразования пар (г, Ь), где г € Кег Ь.
Лемма 3.1. Функции
7 7
К(Ь,7) = К = —Ь —х и Я(а,7) = Я = —а —у 7 (3.3)
являются инвариантами для пар (7, Ь), 7 = 0 относительно калибровочных преобразований.
1В англ. gauge transformation.
z
Доказательство. Достаточно выписать формулы преобразований коэффициентов операторов Ь вида (1.1) и использовать (3.2). □
Функции К и Q обладают примечательным свойством: они удовлетворяют уравнениям, записанным только в терминах Н и к. Таким образом, уравнения не содержат г.
Утверждение 3.2. Пусть К = г = 0^ = д = 0
получены по формулам (3.3) из некоторого г € Кег Ь, г = 0, тогда верны соотношения
Н - к - Гу к) +(1п г)ху = 0 , (3.4) Н - к + дх -(Н) - (1п д)ху = 0 , (3.5)
ду
где Н и к - инварианта Лапласа (3.1) оператора Ь.
Доказательство. Равенства проверяются подстановкой. □
Определение 3.3. Решения г и д уравнений (3.4) и (3.5) мы назовем X- и У-инвариантами соответственно.
Лемма 3.4. Каждому X- (соотв. У-) инварианту г (соотв. д) соответствует только одно (с точностью до умножения на константу) г такое, что г € Кег Ь и г = -Ъ - гх/г (соотв. д = -а - гу/г). То есть
z = / (у)е- * ъ+гЛх (3.6)
[соотв. г = д(х)е- *а+д ,
где /(у) и д(х) единственны с точностью до 2
константы .
Доказательство. Пусть г - Х-инвариант некоторого оператора Ь, (1.1). Пусть г = /(у)е- ъ+г Лх. Здесь мы для краткости не вводим новую переменную для интегрирования. Таким образом, /(у) -выделенная "неопределенность" интегрирования по х. Докажем, что можно подобрать /(у) так, что г € Кег Ь.
Выразим коэффициенты с = с(х, у) и Ъ = Ъ(х,у) через инварианты Лапласа Н и к, (3.1)
оператора Ь: с = -Н+аЪ+ах и Ъ = / к - Н+ах йу, и а = а(х,у). В выражении для Ъ содержится неопределенность (произвольная функция от х), но это не влияет на дальнейшие вычисления, так как в них участвует только Ъу.
Выразим Н из равенства (3.4). Подставим эти выражения в выражение для г. Тогда равенство Ь(г) = 0 имеет вид
г х
/(у)А + (/(у))у - /(у) Ах йх = 0 ,
где
А = А(х, у) = - + Гу + а .
г г
Так как /0х Ах йх = А(х, у) - А(0, у), то имеем
(/(у))у + /(у)А(0, у) = 0 .
Отсюда /(у) находится однозначно с точностью до умножения на константу, и, как видно, действительно, является функцией, зависящей только от переменной у.
Из условия г = -Ъ - гх/г видим, что любое такое г, если существует, имеет вид г = / (у)е--^о ъ+г Лх, что и доказывает единственность.
Утверждение для д (У-инварианта оператора Ь) доказывается аналогично. □
Таким образом, доказано важное свойство Х- и У- инвариантов: множество всех К, полученных из г € Кег Ь, г = 0, совпадает с множеством решений г уравнения (3.4), т.е. с множеством Х-инвариантов (аналогично для Q, д и У-инвариантов). То есть X - и У - инварианты можно рассматривать как "проективизацию" пространства решений Ь(г) = 0.
Следствие 3.5 (связь между Х- и У-инвариантами). Между X - и У-инвариантами существует взаимно-однозначное соответствие.
Такие пары X - и У - инвариантов будем называть "соответствующими". Они удовлетворяют соотношению
гу - дх = Н - к
(3.7)
2Т.е. f (у) и д(х) здесь не параметры, а определенные
функции.
где Н и к - инварианты Лапласа (3.1) оператора Ь.
Доказательство. Пусть г - Х-инвариант, тогда по Лемме 3.4 существует только одно (с точностью до умножения на константу) г € Кег Ь такое, что г = — Ь — гх/г. Используя это г строим У-инвариант ц = —а—гу/г. Отметим, что при умножении г на константу ц не изменится, таким образом он единственный для данного г.
Перекрестно дифференцируя имеющиеся равенства г = —Ь — гх/г и ц = —а — гу/г, получаем (3.7).
Точно такое же соотношение получается, если по данному У-инварианту ц построить, используя Лемму 3.4, г € Кег Ь такое, что ц = —а — гу/г, а по г построить X-инвариант г = —Ь — гх/г. □
4. СВОЙСТВА Х- И У-ИНВАРИАНТОВ
Пусть
Кегх (Ь) = Кегх (Л,, к) (соотв. Кегу (Ь) =
=Кег у (Л, к)) - множество Х- (соотв. У-) инвариантов оператора Ь с порождающими инвариантами (3.1).
Пусть г € Кег Ь, г = 0, г и ц - соответствующие X- и У-инварианты, тогда, согласно Дарбу [3], для оператора
М = Бх — — = Бх + г + Ь г
(4.1)
существуют единственно определенные операторы М1 и Ь такие, что выполняется (1.2). Аналогично, дл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.