РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 10, с. 1228-1234
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.391.01
ХАОС ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ВАН ДЕР ПОЛЯ С УСЛОВИЯМИ АВТОКОММУТАЦИИ
© 2004 г. Э. В. Кальянов
Поступила в редакцию 11.07.2003 г.
Приведены математические модели управляемых систем с автокоммутацией, основанных на обычном уравнении Ван дер Поля. Численными методами показана возможность самохаотизации колебаний. Приведены результаты численного анализа хаотического поведения одной системы и ее управление, а также результаты хаотической синхронизации (взаимной и принудительной) при взаимодействии двух систем с автокоммутацией.
ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известное уравнение Ван дер Поля обладает простой динамикой. Оно детально исследовалось многими авторами [1-5] и является классическим примером автоколебательной системы, с помощью которой моделируются многие процессы в различных областях науки и техники [1-12]. Применительно к нему развиты различные приближенные аналитические методы анализа [2]. Точное его решение возможно, естественно, только численными методами; при современной технике оно не вызывает трудностей и наряду с аналитическими методами решения широко используется в учебных пособиях.
Хаотические режимы в обычном уравнении Ван дер Поля невозможны. В то же время при достаточно простой его модификации (при введении дополнительного нелинейного члена) возникает хаос, но лишь в неавтономном режиме работы [13].
Представляет интерес исследование возможности хаотизации колебаний в обычном уравнении Ван дер Поля другими способами. Как выяснено, это возможно, если использовать автокоммутацию. В данной работе приведены результаты исследований использования способа автокоммутации автоколебаний, предложенного в [14], применительно к уравнению Ван дер Поля. Проведен численный анализ одного генератора с автокоммутацией, а также системы двух связанных таких генераторов. Рассматривается режим принудительной хаотической синхронизации генератора Ван дер Поля, хаотизированного с помощью автокоммутации.
1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Воспользуемся неавтономным уравнением Ван дер Поля, которое при произвольной внешней силе имеет вид
где £, ю0, 5 - положительные параметры, определяющие соответственно степень обратной связи, собственную частоту колебательного контура и коэффициент связи с функцией /(1), характеризующей внешнее воздействие.
Для обеспечения возможности возбуждения хаотических колебаний в генераторе, описываемом уравнением (1), в соответствии с [9] следует задать функцию /(г) так, чтобы она зависела от собственного колебательного процесса х(г), например, с помощью условия
f (t) =
az, если |x| > c, bu, если > d,
(2)
d2x/dt2 - e( 1- x )dx/dt + Ю0x = Sf (t),
(1)
где a, b, c, d - вещественные числа, а переменные z и u являются решением линейных дифференциальных уравнений для колебательных контуров коммутирующего устройства
d2z/dt2 + (fflz/ Qz) dz/dt + a2z z = ffl^x, (3)
d2 u/dt2 + (fflu/ Qu) du/dt + w2uu = w2u Sux, (4)
где fflz, fflu - резонансные частоты колебательных контуров, Qz, Qu - добротности, Sz, Su - коэффициенты связи.
Уравнения (1)-(4) описывают математическую модель автоколебательной системы с хаотической динамикой. Функция f(t) в данном случае определяет не внешнее воздействие, а воздействие коммутируемого собственного сигнала, заданного соотношениями (2), которые для удобства можно назвать условиями автокоммутации. По существу, при возникновении хаоса происходит "самохаотизация" автоколебаний системы.
Нетрудно обобщить метод самохаотизации автоколебаний на систему n связанных генераторов Ван дер Поля. В этом случае для одного из вари-
1UU8
антов связи (связь через диффузию) можно записать
d2xt/dt2 - гi(1 - x2)dxt/dt + w2ixi = = YiZj, j Ф i (Xj - xi) + 8 Ji (t),
(5)
где {,] = 1, 2, Ъ...п (п - число генераторов); уг- - коэффициенты связи. Смысл остальных обозначений тот же, что и в уравнении (1) для параметров без индекса I.
Условия автокоммутации в этом случае, аналогично (2), можно представить в виде
fi ( t) =
I aizi, если > c{, \Ъ{и{, если xi > d{.
(6)
[x] 2.5
0
-2.5 2.5
(а)
4 у"
При этом Zi и ui определяются как решения уравнений
d2 zt/dt2 + (wj Qzi) dzi / dt + w 2ziZi = wz 8 zix, (7)
d2 щ/dt2 + (w ui/Qui) dut/dt + w Uu = w Ui8 ^x. (8)
Уравнения (5)-(8) определяют математическую модель связанной системы самохаотизируе-мых n генераторов Ван дер Поля. Смысл обозначений в (6)-(8) для постоянных коэффициентов с индексами i тот же, что и соответствующих обозначений без индексов в (2)-(4).
Ниже приводятся некоторые результаты численного анализа самохаотизируемой системы, описываемой соотношениями (1)-(4), а также системы, состоящей из двух самохаотизируемых генераторов Ван дер Поля (при n = 2 в уравнениях (5)-(8)). Наряду со случаем взаимной хаотической синхронизации рассматривается принудительная хаотическая синхронизация. Расчеты проводились методом Рунге-Кутты 4-го порядка. При численном анализе постоянные величины в соотношениях (1)-(8) (когда их значения не отмечены особо) выбраны так, что ai = a = bi = b = 2, ci = c = 1.6, dt = d = 0.6, Wz = Wzi = 0.9, Wu = Wui = 1.1, Q = Qi = 300, 8z = 8zi = 0.44, 8u = 8ui = 0.36. При рассмотрении взаимосвязанных генераторов (подсистем) полагалось, что связь симметричная, т.е. Y1 = Y2 = Y При однонаправленной связи первая подсистема рассматривалась как ведомая (синхронизируемая), а вторая как синхронизирующая. В этом случае в соответствии с уравнениями (5) при n = 2 y1 Ф 0, а Y2 = 0. При численном анализе полагалось Y1 = Y. В обоих случаях (взаимной и принудительной синхронизациях) предполагалось, что 81 = 82 = 8. Во всех случаях начальные условия для всех переменных равны 0.1.
-2.5
(б)
0
0.5
8
Рис. 1. Изменение максимальных значений колебательного процесса х(г) в зависимости от коэффициента связи: 8 = ю0 = 1 (а); 8 = 1.2, ю0 = 1.04 (б).
2. ОДНА АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА С АВТОКОММУТАЦИЕЙ
На рис. 1а, б показано изменение максимальных значений колебательного процесса х(г) (обозначенных [х]) в зависимости от коэффициента связи 8 для случаев, когда 8 = ш0 = 1 (а), а также 8 = = 1.2, ш0 = 1.04 (б). В обоих случаях существуют относительно широкие интервалы изменения параметра связи, в которых реализуется случайный разброс точек, соответствующих максимальным значениям колебательного процесса х(г). В первом случае (рис. 1а) при достижении параметром связи значения 8 = 0.27 автоколебания усложняются, а затем, в интервале 8 е [0.42, 0.95] реализуется хаос. Во втором случае (рис. 16) бифуркация перехода к хаотическим движениям происходит жестким образом при достижении параметром связи значения 8 - 0.32. В интервале 8 е [0.82, 0.86] происходит де-хаотизация колебаний, как и в случае, иллюстрируемом диаграммой рис. 1а при 8 > 0.95.
На рис. 2 а-в приведены характерные реализации колебаний генератора Ван дер Поля с автокоммутацией, полученные при различных режимах работы. С целью устранения переходного режима реализации рассчитаны в интервале времени г е [300, 480]. Таким же образом условия стационарности колебаний обеспечивались и при расчете других зависимостей.
Реализация, представленная на рис. 2а, отображает колебания, возбуждающиеся при значении
0
¿хЦг
300
360
420
-5
(б)
Рис. 2. Реализации колебаний: а) 5 = 0.6, 8 = ш>0 = 1, б) 5 = 0.6, 8 = 1.2, ш0 = 1.04, в) 5 = 8 = ш0 = 1.
5 = 0.6 на диаграмме рис. 1а. Колебания, возбуждающиеся при параметрах, соответствующих значению 5 = 1 на этой диаграмме, показаны на рис. 2в. Реализация, приведенная на рис. 26, рассчитана при 5 = 0.6, когда параметры системы соответствуют значениям, при которых получен рис. 16.
Реализации рис. 2а, б отображают хаотический характер колебаний. Наряду с режимами переключения движений возникают колебания типа "хаос-хаос". На реализации регулярных колебаний четко видны "низкочастотные" переключения "высокочастотных" колебаний.
На рис. 3а-в представлены фазовые портреты, соответствующие реализациям, показанным на рис. 2а-в, а на рис. 4а-в - спектры мощности.
Хаотические аттракторы, показанные на рис. 3а, б, соответствуют принципиально новой структуре хаотических колебаний и наряду со спектрами мощности свидетельствуют о хорошем перемешивании фазовых траекторий. Аттракторы и спектры мощности показывают наличие двух дополнительных бассейнов притяжения, определяемых собственными частотами резонансных фильтров. Хаотическое переключение движений происходит через центральный бассейн притяжения. В спектрах мощности хаотических колебаний видны резонансные выбросы спектральной плотности мощности хаотических колебаний на частотах генерации, реализующихся при 5 = 0, ко-
Рис. 3. Фазовые портреты: а) 5 = 0.6, 8 = ш>0 = 1, б) 5 = = 0.6, 8 = 1.2, ш0 = 1.04, в) 5 = 8 = ш0 = 1.
торые назовем "базовыми" частотами. В случае рис. 4а базовая частота равна ш = 0.946. В случае рис. 46 она несколько выше за счет большего значения ш0. Однако отличие от случая, иллюстрируемого рис. 4а, незначительно (ш0 = 961), так как увеличение 8 приводит к снижению частоты генерации.
На фазовом портрете, представленном на рис. 3в, наряду с основным бассейном притяжения четко видны два дополнительных бассейна; в результате образуется многооборотный предельный цикл, являющийся в данном случае образом самоорганизации. Частота основной гармоники колебательного процесса (частоты переключений), иллюстрируемого рис. 3в, равна ш = 0.179; при 5 = 0 частота генерации, естественно, та же, что и в случае рис. 3а при 5 = 0 (ш = 0.946). Спектр мощности при режиме работы, отображаемом рис. 2в, 3в, является линейчатым, как это и должно быть при регулярных колебаниях.
0
г
дБ
-25 -
-55
-55
-25 -
Рис. 4. Спектры мощности: а) 5 = 0.6, 8 = Ш0 : = 0.6, 8 = 1.2, ш0 = 1.04, в) 5 = 8 = ш0 = 1.
1, •) 5 =
-5
(а)
-5
(б)
300
500
700
Приведенные результаты численного анализа свидетельствуют о возможности самохаотизации колебаний в уравнении Ван дер Поля при использовании автокоммутации. Они свидетельствуют также о возможности управления хаотическими колебаниями путем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.