научная статья по теме ХАОТИЧЕСКАЯ И РЕГУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА АВТОГЕНЕРАТОРНОЙ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ ПЕТЛЕЙ ЧАСТОТНО-ФАЗОВОГО УПРАВЛЕНИЯ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ХАОТИЧЕСКАЯ И РЕГУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА АВТОГЕНЕРАТОРНОЙ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ ПЕТЛЕЙ ЧАСТОТНО-ФАЗОВОГО УПРАВЛЕНИЯ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 2, с. 205-214

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ^^^^^^^^

В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ

УДК 621.391.01

ХАОТИЧЕСКАЯ И РЕГУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА АВТОГЕНЕРАТОРНОЙ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ ПЕТЛЕЙ ЧАСТОТНО-ФАЗОВОГО УПРАВЛЕНИЯ

© 2004 г. В. П. Пономаренко, Е. А. Тихонов

Поступила в редакцию 08.06.2002 г.

В рамках динамической модели с 2.5 степенями свободы в цилиндрическом фазовом пространстве исследованы динамические состояния и бифуркации в нелинейной системе частотно-фазовой автоподстройки с фильтрами второго порядка в цепях управления. Получены условия устойчивости синхронного режима, определены границы области захвата, выяснено существование разнообразных регулярных и хаотических несинхронных режимов и изучено их поведение при изменении параметров. Результаты представлены в виде двухпараметрического портрета движений, однопараметри-ческих бифуркационных диаграмм, фазовых портретов аттракторов.

1. Управление частотой автогенератора с применением принципов фазовой или частотной автоподстройки (ФАП или ЧАП) широко используется при решении многих радиофизических и радиотехнических задач [1-4]. При этом в ряде приложений применяют комбинированные системы частотно-фазовой автоподстройки (ЧФАП), объединяя системы ФАП и ЧАП [1, 5-8]. Традиционное назначение таких систем состоит в обеспечении и поддержании синхронного режима, в котором разность частот опорного (эталонного) и управляемого колебаний равна нулю. Синхронному режиму отвечает устойчивое состояние равновесия в фазовом пространстве соответствующих динамических моделей систем. Отыскание условий реализации синхронного режима тесно связано с исследованием несинхронных режимов (режимов с непостоянными величинами частотных и фазовых рассогласований), которым соответствуют автоколебательные движения динамических моделей. Бифуркации, в результате которых появляются несинхронные режимы, определяют в пространстве параметров моделей границы областей захвата в синхронный режим. Исследование несинхронных режимов систем интересно и тем, что позволяет обнаружить свойства поведения и явления нелинейной динамики, использование которых открывает широкую нетрадиционную область применения систем с фазовым и частотным управлением (генерация сложных периодических и хаотических сигналов, управление колебаниями, передача и обработка информации и др. [9, 10]).

Согласно результатам [6, 11-13], в системах ЧФАП с интегрирующими фильтрами в случаях, когда постоянная времени одного из них мала и когда постоянные времени фильтров одинаковы, могут возникать только периодические несинхронные режимы. Применение фильтров более высо-

кого порядка в цепях управления создает широкие возможности для возбуждения разнообразных сложных периодических несинхронных режимов и проявления эффектов динамического хаоса, привлекательных для расширения функциональных возможностей систем с фазовым и частотным управлением. При этом важно, что условия возбуждения и сценарии развития несинхронных режимов полностью определяются свойствами петли управления частотой (нелинейностью дискриминаторов рассогласований, параметрами инерционности, начальной частотной расстройкой). Такая зависимость позволяет легко реализовать управление свойствами генерируемых колебаний без изменения структуры и параметров самого автогенератора.

Указанные возможности в системе ФАП с фильтром второго порядка обнаружены в работе [14], а в системе ЧАП с фильтром третьего порядка -в [15, 16]. В работе [17] предложены критерии глобальной устойчивости многомерных систем ЧФАП. В данной работе исследуется нелинейная динамика и возникающие несинхронные режимы в системе ЧФАП в случае, когда подсистема ЧАП автономно демонстрирует только регулярное поведение, а в отдельной подсистеме ФАП наряду с регулярными возможны хаотические несинхронные режимы. Такой случай реализуется, например, при использовании фильтров второго порядка в фазовой и частотной цепях управления системы.

2. Уравнение динамики рассматриваемой системы ЧФАП, записанное в операторной форме (р = й/йг) для разности фаз ф управляемого и опорного колебаний, имеет вид [6, 11-13]

РФ + О К (р) ^ (ф) + К2( р )Ф( р ф) = 5ю, (1)

где К1(р) и К2(р) - коэффициенты передачи фильтров в фазовой и частотной цепях управления соответственно, ^(ф) и Ф(рф) - характеристики фазо-

вого и частотного дискриминаторов, нормированные на единицу, Q и Q1 - коэффициенты усиления по цепям управления, 5ю - начальная частотная расстройка. В соответствии с постановкой задачи полагаем K1(p) = 1/(1 + a1p + ap), K2(p) = 1/(1 + + bxp + b2p2), где a1, a2, b1 и b2 - параметры инерционности. Отвечающие выбранным операторам K1(p) и K2(p) уравнения, описывающие динамику процессов в исследуемой системе ЧФАП, на основании (1) в предположении аппроксимации характеристик дискриминаторов функциями ^(ф) = sin ф

и Ф(рф) = 2Р1рф/(1 + в2 (рф)2), где РЦ1 - расстройка частот, при которой достигается максимум Ф(рф), после перехода к безразмерному времени т = Qt записываем в виде

dф/dT = u, du/dT = z, dz/dT = v, d v/dT = w, 1 |2 dw/dT = y -sin ф - b Ф( y) -

- (1 + 82COSф)u - (2)

- (Ei + 82 + I2 cos ф + bp£i Ф' (y ))z -

- (I1 + I2 + 8182 + b pi Ф' (y)) v -

- (Ц182 + Ц281) w - b p2 y )z2 + 1 u2sin ф,

где у = 5ffl/Q, b = Qx/Q, Р = pxQ, 81 = a1Q, e2 = b1Q, I1 = a2Q2, 1 = b2Q2, Ф(У) = 2y/(1 + y2), Ф'(у) = 2(1 -- y2)/(1 + y2)2, Ф''(у) = -4y(3 - y2)/(1 + y2)3, y = pu. Система (2) имеет цилиндрическое фазовое пространство и({ф(шой 2п), u, z, v, w}.

Движения модели (2), развивающиеся в фазовом пространстве U, зависят от семи параметров. Для того чтобы получить представление о возможных динамических состояниях и бифуркациях модели (2), рассмотрим в качестве управляющих параметров начальную расстройку y и параметр инерционности который характеризует степень влияния фильтра второго порядка подсистемы ФАП на режимы поведения исследуемой системы ЧФАП. В силу нелинейности модели (2) ее нелокальное исследование сопряжено с большими трудностями. В связи с этим в данной работе применено компьютерное моделирование, которое базируется на качественно-численных методах анализа нелинейных динамических систем [18, 19] и использовании программного комплекса [20], обеспечивающего решение задач обнаружения периодических и хаотических движений и исследование их бифуркаций в динамических моделях с цилиндрическим фазовым пространством. В качестве характеристик движений использованы временны е реализации колебаний, проекции фазовых портретов аттракторов, мультипликаторы периодических движений, сечение Пуанкаре. Модель (2) инвариантна относительно замены

(ф, и, z, V, м>, Y) —- (-ф, -и, -г, -V, -м>, -у), поэтому достаточно рассмотреть ее при значениях у ^ 0.

3. Выясним условия существования синхронного режима. Система (2) при значениях 0 < у < 1 имеет два состояния равновесия А1( агс8т у, 0, 0, 0, 0) и А2(п - агс8ту, 0, 0, 0, 0). Состояние равновесия А1 может быть как устойчивым, так и неустойчивым, состояние равновесия: А2 - неустойчивое сед-лового типа. Условия устойчивости состояния равновесия А1 определяем из анализа коэффициентов характеристического уравнения

X5 + с1 X4 + c2 X3 + с3Х2 + с4 X + c5 = 0,

(3)

где С = (11x82 + ^28x)/^1^2, С2 = (|1 + |2 + 8182 +

+ 2bP|1)/M4|2, С3 = (81 + 82 + |2(1 - Y2)172 + 2bp81)/|1|2,

С4 = (1 + 82(1 - Y2)1/2)/l1l2, С5 = (1 - Y2)1/2/l1l2. Условия устойчивости запишем в виде

С1С2- Сз > 0, (С1С2- Сз)(С3С4- С2С5) -

- ( С1С4-С5 )> 0.

(4)

При выполнении условий (4) существует синхронный режим в исследуемой системе ЧФАП, соответствующий состоянию равновесия А1. Область значений параметров С5, в которой выполняются условия (4), соответствует области удержания синхронного режима.

4. Рассмотрим динамические процессы, развивающиеся в модели (2) с изменением параметров

и у при фиксированных значениях остальных параметров. Результаты численного исследования показывают, что в фазовом пространстве модели (2) может существовать большое число разнообразных предельных циклов и полная картина расположения бифуркационных кривых на плоскости (ц1, у) достаточно сложна. На рис. 1 приведены некоторые из таких кривых, построенные при значениях Ь = 0.5, в = 1.0, ц2 = 3.0, Ё1 = 1.0, £2 = 25.0.

Линия 11 (у = 1) - это граница области С0 существования состояний равновесия А1 и А2. Кривая 12 соответствует границе области С устойчивости состояния равновесия А1, определяемой условиями (4); область С расположена слева от кривой 12. При переходе с увеличением или с уменьшением у через кривую 12 в системе (2) реализуется суперкритическая бифуркация Андронова-Хопфа, когда в решении характеристического уравнения (3) появляется пара комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью. В результате этой бифуркации в фазовом пространстве и мягко рождается устойчивый предельный цикл колебательного типа, соответствующий квазисинхронному режиму системы ЧФАП. В этом режиме в системе наблюдаются автомодуляционные колебания относительно ставшего неустойчивым состояния равновесия А1. Режим цикла существует при значениях и у в области,

заключенной между кривыми 12 и 13. Линия 13 соответствует потере устойчивости цикла в результате бифуркации удвоения периода.

Кривые 14,15 и 16 отвечают седло-узловым бифуркациям предельных циклов колебательного типа. В результате этих бифуркаций происходит рождение в фазовом пространстве и устойчивых предельных циклов £2 (при пересечении линии 14 с увеличением ^ или линии 16 с уменьшением и

(при пересечении линии 15 с увеличением Линия 17 и линия 18, проходящая вблизи линии 15, соответствуют бифуркациям удвоения периода циклов £2 и 83.

При значениях параметров ^ и у из области, ограниченной линиями 11 и г1, а также из области, заключенной между линиями г2 и г3, в фазовом пространстве и существует вращательный одно-оборотный (2п-периодический по ф) предельный цикл Ь. Этому циклу соответствует асинхронный режим системы ЧФАП с вращением разности фаз ф и периодическими колебаниями переменных и, I, V, м> относительно некоторых средних значений. Линии г1, г2 и г3 соответствуют бифуркациям уд

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком