РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 1, с. 69-76
ДИНАМИЧЕСКИМ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.383.63
ХАОТИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИИ В СИСТЕМЕ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
ПРИ СЛАБОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ © 2004 г. Э. В. Кальянов
Поступила в редакцию 17.06.2003 г.
Рассмотрена хаотизация колебаний системы с запаздыванием с помощью коммутирующего устройства, когда нелинейность активного элемента настолько слабая, что автономно (без коммутации) система генерирует только регулярные колебания. Описана математическая модель системы и приведены результаты численного анализа при двух характерных режимах работы (при двух и одном бассейнах притяжения), определяемых временем задержки сигнала в цепи обратной связи.
ВВЕДЕНИЕ
Возможность хаотизации колебаний в системах с запаздывающей обратной связью (ЗОС) при наличии сильной нелинейности хорошо известна [1-4] и исследованию хаотических режимов в различных системах с запаздыванием посвящено относительно большое число работ [2-27]. При слабых нелинейностях активного элемента в системах с запаздыванием реализуется режим регулярных колебаний.
Одной из особенностей автоколебательных систем с запаздыванием является возможность существования при слабых нелинейностях бистабиль-ных режимов работы. Как показано в [28, 29], в системе с запаздыванием и инерционностью, моделирующей транзисторный генератор с ЗОС, при слабой нелинейности активного элемента могут существовать режимы с двумя бассейнами притяжения, когда колебания возбуждаются в одном из них, а в другом бассейне колебания возможны лишь потенциально. Колебания в потенциально автоколебательном бассейне притяжения могут стимулироваться внешним сигналом, оставаясь в нем и после прекращения его воздействия. Для перехода системы в первоначальное состояние необходим опять-таки внешний стимул. Иными словами, с помощью внешней силы в бистабильной системе можно осуществлять переключение регулярных колебаний из одного бассейна притяжения в другой. Система ведет себя подобно ждущему триггеру, отличаясь тем, что для переключения колебаний из одного бассейна притяжения в другой необходимо ее "подвозбуж-дение" на частоте, близкой к частоте колебаний, присущей движениям системы в соответствующем бассейне притяжения.
Представляется возможным создание хаотического генератора с переключением, в основе которого лежит бистабильная система с запаздыванием. Вопрос сводится к созданию управляющей обратной связи, обеспечивающей хаотичес-
кое переключение системы из одного бассейна притяжения в другой и обратно. Исследование этого вопроса целесообразно не только с практической точки зрения, но и с позиций лучшего понимания физических процессов, происходящих в хаотических системах с переключением движений.
В данной работе приводится математическая модель генератора с запаздыванием, в котором при параметрах, обеспечивающих только квазигармонические колебания, создаются условия для генерации хаотических колебаний с их хаотическим переключением. Рассматривается математическая модель бистабильной системы с "автокоммутацией", как наиболее наглядной для иллюстрации переключения колебаний, и приводятся результаты ее численного анализа. Рассматривается также возможность хаотизации колебаний путем создания условий для их переключения, когда в слабо нелинейной системе с запаздыванием реализуется только один бассейн притяжения.
1. СХЕМА ХАОТИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ ГЕНЕРАТОРА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассматриваемая схема хаотизации колебаний генератора представлена на рис. 1. Она применима как к бистабильному режиму работы генератора, так и к режиму его генерации с одним бассейном притяжения. Однако пояснения схемы рис. 1 представляются более простыми применительно к бис-
Рис. 1. Схема хаотизации колебаний бистабильного генератора: 1 - генератор, 2 - коммутирующее устройство.
(а)
-5 -4
ДБ
-30 -
^(у) = Ву/(1 + у2),
(1)
где В - постоянный коэффициент, эти уравнения, с учетом воздействия /(г), можно представить следующим образом:
ШРх/ШР + (щ/0)(йх/йг) + ш2 х =
= ш 0 [Вф»(ШуШ) + /)],
8ШуШ + у = хт,
(2)
Рис. 3. Бифуркационная диаграмма изменения максимальных значений колебательного процесса х(г) в зависимости от частоты внешнего гармонического сигнала.
где х, у, хт - переменные (х = х(г), у = у (г), хт = х(г - т)), ш0, Q - резонансная частота и добротность фильтра второго порядка, 8 - постоянная времени фильтра первого порядка, т - запаздывание в цепи обратной связи, Б - коэффициент связи. Нелинейная функция ф(у) имеет вид
Ф(у) =(1 - у2)/(1 + у2)
22
(3)
Рис. 2. Фазовые портреты регулярных колебаний (а) и спектры мощности (б) при т = 9.22 (1) и 9.24 (2).
табильному режиму генератора, в связи чем будем рассматривать генератор 1 как бистабильный.
В соответствии с рис. 1 часть колебаний с выхода генератора 1 подается на его вход через коммутирующее устройство 2. Последнее содержит два фильтрующих элемента и обеспечивает поочередное подключение того или иного фильтра по заданным параметрам колебательного процесса. При необходимости увеличения амплитуды колебаний на входе фильтров коммутирующее устройство может содержать также и усилитель.
Для иллюстрации работы схемы, представленной на рис. 1, удобно выбрать уравнения, описывающие математическую модель генератора с запаздывающей обратной связью и инерционностью [29]. При аппроксимации нелинейного элемента генератора с помощью функции, отображающей относительно малую крутизну падающего участка характеристики
а функция /(г) определяет воздействие сигналов z1(t) и 12(г) с выхода фильтрующих элементов коммутирующего устройства, которые описываются уравнениями
&г{ /Шг2 + (Ш; /Ql)(dzi Ш) + ш2 ^ = Д ш2 х, (4)
где I = 1, 2, = ^(0, ш;, Qi - собственные частоты и добротности фильтров, Д; - параметры связи.
Когда управляемый генератор 1 работает в режиме регулярных колебаний при наличии двух устойчивых состояний процесс хаотизации колебаний х(г), как уже отмечалось, представляется наиболее наглядным. Такой бистабильный режим может быть реализован в системе (2) при определенных значениях ее параметров, например [29] при ш0 = 1, Q = 2, 8 = 0.1, В = 3, Д = 0. При этих параметрах существует область бистабильности в окрестности значения т = 9.23, в соответствии с чем реализуются два бассейна притяжения. При изменении запаздывания между величинами задержек 9.22 и 9.24 происходит скачок частоты регулярных колебаний. При т = 9.22 возбуждаются колебания в "низкочастотном" бассейне притяжения с частотой колебаний, равной ш = ш01 = 0.78. При этом потенциально существует возможность стимулирования "высокочастотных" колебаний частоты ш02 = 1.26. Колебания в "высокочастотном" бассейне притяжения возбуждаются при т = 9.24, причем возбуждение "низкочастотных" колебаний (на частоте ш01) становится потенциально возможным. Потенциально автоколебательные состояния стимулируются внешним сигналом даже при кратковременном воздействии соответствующей часто-
0
0
х
[х]
-6
(а)
- 1 ■ 1 1 * . " ■ ■ ■ . ■ » .: 1 " 1 ■
0.8
1.2
-6
(б)
0.4
0.6
0.8
02
-6
(в) :
-
V- »-т % 1 ! Г .
_
■■:. ■ * ■ ..у
| I " "
0.6
0.8
1.0
0
Рис. 4. Бифуркационные диаграммы изменения максимальных значений колебательного процесса х(г) в зависимости от коэффициентов Б (а), Б (б) и Б (в) при т = 9.22.
ты [29]. После такого "подвозбуждения" потенциально автоколебательного состояния система остается в бассейне притяжения, соответствующем частоте воздействия внешнего сигнала, даже после прекращения воздействия.
В соответствии с отмеченными свойствами системы при наличии потенциально автоколебательного состояния представляется возможным обеспечение переключения колебаний путем изменения сигнала, определяемого функцией /(г). Роль коммутирующего устройства 2 как раз сводится к заданию значений для функции /(г) на основе данных для выходных колебаний х(г). Особенностью задания значений /(г) с помощью коммутирующего устройства является использование обратной связи, чем достигается возможность хаотического изменения колебательного процесса /(г). В этом случае для хаотизации колебаний в системе (2) управляющий сигнал /(г) может быть за-
240
360
Рис. 5. Реализации колебаний в интервалах времени г е [0, 240] (а) и г е [240, 480] (б) при т = 9.22.
дан с помощью коммутирующего устройства, например -
/(г) =
2, если 1 > а, [г 1, если |г2| > Ь,
(5)
где а, Ь - численные значения, определяемые уровнем сигнала в коммутирующем устройстве.
Соотношения (2)-(5) описывают математическую модель обеспечения возможности генерирования хаотических колебаний, когда в системе (2) при бистабильном режиме автономно реализуются колебания с простым предельным циклом в одном из двух бассейнов притяжения.
Хаотизация колебаний по схеме рис. 1 может быть реализована не только при бистабильных режимах работы, но и в случае, когда существует один бассейн притяжения и частота генерации близка к частоте резонансного контура (ш - ш0). Этот случай, хотя и не обладает наглядностью, представляет даже больший интерес, чем случай бистабильного режима работы.
Ниже путем численного анализа соотношений (2)-(5) будут рассмотрены случаи хаотизации колебаний системы (2) как при бистабильном режиме ее работы, так и при работе с одним бассейном притяжения.
2. ХАОТИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ДВУХ БАССЕЙНАХ ПРИТЯЖЕНИЯ
Бистабильные режимы работы в системе (2) возможны при различных параметрах и, в частности, при различных задержках в цепи обратной связи генератора. При изменении задержки сигнала в цепи ЗОС бистабильные режимы чередуются с режимами с одним бассейном притяжения. При этом в области бистабильности изменение
6
0
6
г
0
6
0
dx/dt
S, дБ
dx/dt
Рис. 6. Хаотический аттрактор в интервале времени г е [240, 480] (а) и спектр мощности (б) при т = 9.22.
Рис. 7. Фазовые портреты регулярных колебаний (а) и спектры мощности (б) при т = 12 (1) и 0.04 (2).
0
частоты подобно графику Вина. В приведенном численном анализе в качестве исходного режима для иллюстрации процесса хаотизации колебаний в системе, описываемой уравнением (2), удобно использовать бистабильный режим работы,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.