ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 417, № 5, с. 601-604
МАТЕМАТИКА
УДК 512.542
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ КОНЕЧНЫХ Яя-ГРУПП
© 2007 г. Д. О. Ревин
Представлено академиком Ю.Л. Ершовым 15.05.2007 г. Поступило 24.05.2007 г.
Символ п всегда обозначает некоторое множество простых чисел. Через п' будем обозначать его дополнение в множестве всех простых чисел. Число элементов множества М обозначается символом |М|. Для натурального числа п обозначим через п(п) множество простых делителей этого числа, а для конечной группы О через п(О) - множество п(|0|). Еслир - простое число, то наибольшая его степень, делящая натуральное число п, будет обозначаться символом пр.
Теорема Силова, один из базовых результатов в теории конечных групп, утверждает, что для любого простого числа р всякая конечная группа О содержит так называемую силовскую р-подгруппу Р, т.е. подгруппу порядка |О|р, и любая р-подгруппа группы О сопряжена с подгруппой из Р.
Попытки различных обобщений теоремы Си-лова оформились в теории групп в самостоятельное направление. Естественным обобщением понятия силовской р-подгруппы является понятие холловой п-подгруппы. Напомним, что подгруппа Н группы О называется холловой п-подгруппой, если п(Н) с п и п(|О : Н|) с п'. Аналог теоремы Си-лова для таких подгрупп, вообще говоря, неверен: для многих п существуют примеры групп, не обладающих холловыми подгруппами, а также групп, в которых имеются п-подгруппы, не лежащие в холловых п-подгруппах. Если для данных множества п и конечной группы О такой аналог все же справедлив, т.е. группа О обладает холловой п-подгруппой Н, и всякая п-подгруппа в О сопряжена с подгруппой из Н, то в соответствии с определением Ф. Холла [1] будем говорить, что группа О обладает свойством
К изучению холловых подгрупп и групп со свойством Вп обращались многие известные авторы. Классическим результатом в этом направлении является знаменитая теорема Холла, утверждающая, что конечная группа разрешима тогда
Институт математики им.СЛ. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
и только тогда, когда она обладает свойством Вп для любого множества п простых чисел.
Пусть множество п фиксировано. Тогда класс групп со свойством может оказаться существенно шире класса всех разрешимых групп, поскольку, скажем, всякая п-группа обладает этим свойством. Таким образом, представляется естественной
Проблема 1. Для каждого множества п описать группы со свойством Вп.
В данном сообщении мы обсудим историю изучения этой проблемы и приведем результат, дающий ее исчерпывающее решение.
Теорема Холла демонстрирует тесную связь между композиционным строением конечной группы и наличием для всех п свойства Вп в этой группе. Оказывается, эта связь имеет место даже в случае, когда множество п фиксировано. Несложно показать, что фактор-группа группы со свойством Вп также обладает этим свойством. В математической литературе, начиная с 1950-х годов активно изучались следующие вопросы.
П роблема 2. Будет ли расширение группы А с помощью группы В обладать свойством Вп в случае, когда группы А и В обладают этим свойством?
П роблема 3. Будет ли нормальная подгруппа группы со свойством Вп обладать этим свойством?
В общей постановке проблема 2 сформулирована в [2] и [8, вопрос 3.62], а проблема 3 - в [5] и [8, вопрос 13.33]. Несмотря на большое количество публикаций, посвященных исследованию этих проблем, их решение было получено лишь в некоторых частных случаях. Например, Холлу [1, теорема D5] удалось найти положительное решение проблемы 2 в случае, когда холлова п-под-группа в группе А нильпотентна, а в группе В разрешима. Лишь в работах [9, 11] наметился общий подход к проблемам 2 и 3, основанный на использовании классификации конечных простых групп. В этих работах изучаемые вопросы сводились к проверке выполнения некоторых условий в группах автоморфизмов простых групп. Такая проверка оказалась непростой задачей и потребова-
Таблица 1.
GF(q)
S Ограничения W |
An (q) q > 3 при n = 1 (n + 1)!
Bn (q) n > 2; q > 2 при n = 2 2nn!
Cn (q) n > 3 2nn!
Dn (q) n > 4 2n - 1n!
2An (q) n Ф 2; q > 2 при n = 2 2ll!, где l =
2Dn (q) n > 4 2n - 1(n - 1)!
E6(q) 27 ■ 34 ■ 5
E7(q) 210 ■ 34 ■ 5 ■ 7
E8(q) 214 ■ 35 ■ 52 ■ 7
F4(q) 27 ■ 32
G2(q) q > 2 22 ■ 3
3D4(q) 22 ■ 3
2E6(q) 27 ■ 32
2B2(q) q = 22m + i > 2 2
2F4(q) q = 22m + 1 > 2 24
2G2(q) q = 32m + 1 > 3 2
2F2(q)' q = 2 23
n + 1"
Простые группы лиева типа над полем гда она является п-группой или ее порядок, рав-
П!
ный -у-, делится не более чем на одно простое
число из п. Ф. Гросс [6, следствие 6.13 и теорема 6.14] описал спорадические группы со свойством Вп для любого множества п, не содержащего 2. В [11, теорема 3.3 и теорема 5.1] было завершено описание спорадических групп со свойством Оп для произвольного п и описаны группы лиева типа с этим свойством при условии, что характеристика основного поля лежит в п. В [13, леммы 6.16.10] показано, что если 2, 3 е п, то группа лиева типа обладает свойством Вп тогда и только тогда, когда она является п-группой.
Оставались неразобранными случаи групп лиева типа над полями, характеристика р которых вместе с одним из чисел 2 или 3 не лежит в п. В работе [14] был найден подход к этим случаям, основанный на использовании описания так называемых радикальных г-подгрупп и их нормализаторов, и разобран случай, когда 2,р й п. Ниже мы приведем итоговый результат, охватывающий последний оставшийся случай (2 е п и 3, р й п), обобщающий все имеющиеся более ранние результаты и, таким образом, полностью решаю-
щий проблему 4. Чтобы сделать это, для пары (£, п), где £ - простая конечная группа, п - множество простых чисел, определим условия 1^П.
Условие I. Скажем, что пара (£, п) удовлетворяет условию I, если п(£) с п или |п п п(£)| < 1.
У словие II. Скажем, что пара (£, п) удовлетворяет условию II, если имеет место один из следующих случаев:
1) £ изоморфна одной из групп Мп, М12, М22, М23, М24 или О'И и п п п(£) = {5, 11};
2) £ изоморфна одной из групп М23, М24, Со1, Со2, Со3,М(23),М(24)' или П2 и п п п(£) = {11, 23};
3) £ - и п п п(£) совпадает с одним из множеств {3, 5}, {3, 7}, {3, 19},{5,11};
4) £ - 34 и п п п(£) совпадает с одним из множеств {5, 7}, {5, 11}, {5, 31}, {7, 29}, {7, 43};
5) £ - Ьу и п п п(£) = {11, 67};
6) £ - Яы и п п п(£) = {7, 29};
7) £ - О'Ы и п п п(О) = {5, 31};
8) £ изоморфна одной из групп Пц или и п п п п(£) = {23, 47};
9) £ - ^ и п п п(£) = {29, 59}.
У словие III. Пусть группа £ изоморфна не-
которой группе лиева типа над полем вЁХд) характеристики р е п. Положим т = п п п(£)\{р}. В этом случае будем говорить, что пара (£, п) удовлетворяет условию III, если т с п(^ - 1) и никакое число из п не делит число (порядок соответ-
ствующей группы Вейля, см. табл. 1).
Для определения условий IV и V нам понадо-
бится следующее обозначение. Пусть г - нечет-
ла завершить решение другой известной проблемы - описать холловы п-подгруппы в простых группах. Все это было проделано в серии работ [913], в результате чего с помощью классификации конечных простых групп было доказано утверждение [13, теорема 7.7], сформулированное ниже и дающее положительное решение проблем 2 и 3:
Т еорема 1. Пусть G - конечная группа, A -ее нормальная подгруппа и п - некоторое множество простых чисел.
Тогда группа G обладает свойством Dn, если и только если группы A и G/A обладают этим свойством.
Теорема 1 сводит решение проблемы 1 к следующему частному случаю.
П роблема 4. Для каждого множества п описать конечные простые группы со свойством Dn.
Для многих классов простых групп такое описание было получено ранее. Напомним, что в соответствии с [3, классификационная теорема] всякая простая конечная группа либо имеет простой порядок, либо изоморфна некоторой знакопеременной группе An степени n > 5, либо изоморфна одной из групп лиева типа над некоторым конечным полем из q элементов (табл. 1), либо одной из 26 так называемых спорадических групп. Из описания Холла [1, теорема A4] и Дж. Томпсона [4] холловых подгрупп в симметрических группах несложно понять, что знакопеременная группа An обладает свойством Dn тогда и только тогда, ко-
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ КОНЕЧНЫХ £п-ГРУПП
603
ное простое число и q - целое число, взаимно простое с r. Через e(q, r) обозначим наименьшее натуральное число e, для которого qe =1 (mod r).
У словие IV. Пусть группа S изоморфна некоторой группе лиева типа над полем GF(q) характеристики p, но неизоморфна группам 2B2(q), 2F4(q), 2G2(q). Пусть 2, p g п. Обозначим через r наименьшее число из п п n(S) и пусть т = п п n п(5)Мг}. Положим a = e(q, r). В этом случае будем говорить, что пара (S, п) удовлетворяет условию IV, если существует t е т, для которого b = e(q, t) Ф a, и имеет место одно из следующих утверждений:
1) S - An - j(q), a = r - 1, b = r, (qr- 1 - 1)r = r,
и для любого 5 е т справедливы со-
n "n"
r- 1_ r
отношения e(q, s) = b, n < bs;
2) S - An - 1(q), a = r - 1, b = r, (qr - 1 - 1)r = r,
+ 1, n = -1 (mod r) и для любого s е т
n n
r- 1_ r
справедливы соотношения e(q, s) = b, n < bs;
3) S - 2An- j(q), r = 1 (mod4), a = r - 1, b = 2r,
и для любого s е т вы-
n n
r---- 1 r
(qn - 1)r = r,
полнено равенство e(q, s) = b;
r - 1
4) S - 2An- j(q), r = 3 (mod4), a = -у-, b = 2r,
(qn - 1)r = r,
n n
r---- 1 r
и для любого s е т вы-
полнено равенство e(q, s) = b;
5) S - 2An- j(q), r = 1 (mod4), a = r - 1, b = 2r,
+ 1, n = -1 (mod r) и для
n n
r - 1 r
(qn - 1)r = r,
любого s е т выполнено равенство e(q, s) = b;
r - 1
6) S - 2An- j(q), r = 3 (mod4), a =
, b = 2r,
(qn - 1)r = r,
n n
r - 1 r
+ 1, n = -1 (mod r) и для
любого 5 е т выполнено равенство е(д, 5) = Ь;
7) - 2Вп(д), а = 1 (mod2), п = Ь = 2а и для любого 5 е т либо е(д, 5) = а, либо е(д, 5) = Ь;
8) 5 - 2Вп(д), Ь = 1 (mod2), п = а = 2Ь и для любого 5 е т либо е(д, 5) = а, либо е(д, 5) = Ь.
У словие V. Пусть группа 5 изоморфна некоторой группе лиева типа над полем СТХд) характеристики р, но неизоморфна группам 2В2(д), 2^4(д), 2О2(д). Пусть 2, р й п. Обозначим через г наименьшее число и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.