МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 531.38
© 2008 г. А.К. АЛЕШИН
ХРОНОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ И ПОЛОЖЕНИЯ ДИСБАЛАНСА РОТОРА
Предлагается метод определения величины и фазы дисбаланса неуравновешенного твердого тела, вращающегося вокруг подвижной оси на упругих опорах. Новизна метода в источнике информации. Измеряют три последовательных интервала времени, дающие в сумме время одного оборота ротора. Из-за смещения оси вращения под действием переносной силы инерции, интервалы отклоняются от нормативных величин. В этих отклонениях содержится полная информация о величине и координатах положения дислабанса.
Для механических систем циклического действия эффективным методом контроля длительности цикла является прецизионный фотоэлектрический метод измерения интервалов времени [1]. Достигаемый этим методом уровень точности открывает возможности для решения задач диагностики и идентификации механических систем и, в частности, для определения величины и координат положения дисбаланса неуравновешенного твердого тела [2]. Метод состоит в следующем.
Ротор 1 на оси 2 (фиг. 1) закреплен в опорах качения на платформе 3. Платформа установлена на трех стойках 4 с упругими шарнирами 5. Это позволяет платформе смещаться в горизонтальной плоскости в любом направлении, сохраняя параллельность и обеспечивая одинаковую жесткость c в любом горизонтальном направлении. Платформа на стойках образует колебательную систему, подобную астатическому маятнику. Вращение ротору передается от двигателя через вал 6 с двумя карданными шарнирами 7. Двойная карданная передача не вносит кинематической погрешности по углу поворота в случае смещения оси ротора от оси двигателя.
Интервалы времени регистрируются в результате пересечения оптической оси 8 фотоэлектрического датчика 9 светонепроницаемыми осями расположенными на прозрачном диске 10. Факт прерывания светового потока в датчике 9 (фиг. 2) является сигналом начала счета интервала времени. Повторное пересечение - команда на остановку счета и одновременно команда на новый счет. В результате формируются три последовательных интервала времени Atj (j = 1, 2, 3). Их сумма равна времени полного оборота ротора.
Для анализа динамики колебательной системы построим ее математическую модель.
Пусть центр масс ротора S имеет эксцентриситет WS = е относительно центра W оси 2 (фиг. 2). Начало координат неподвижной системы OX0Y0 совпадает с положением оси при неподвижном роторе. Введем обобщенные координаты для колебательной системы; x, y - положение центра W оси; ф - угол поворота ротора. Пусть - масса платформы; m2, I - масса и момент инерции ротора относительно центра S. Координаты центра масс равны xs = x + е cos ф; ys = y + е sin ф. Кинетическая T и потенциальная П энергии колебательной системы имеют вид
m>\ 2 2 mo 2 2 2 2 I 2
T = — (X + y ) + — (X + y -2Xфе sinф + 2уфеcosф + е ф ) + ^ф (1)
П = с (X2 + y2)/2 (2)
Фиг. 1
Движение платформы и ротора сопровождается рассеиванием энергии на трение. Соответствующая диссипативная функция Ф равна:
Ф = 1/2ц( / + у2) + (3)
где ц и V - приведенные к оси ротора коэффициенты сопротивления движению платформы и ротора соответственно.
Пусть М( р) - момент двигателя, сообщаемый ротору. Подставляя выражения (1)-(3) в уравнение Лагранжа, получим систему уравнений:
(т1 + т2) х + ц х + сх - т2ер8т р - т2ер2со8 р = 0
(т1 + т2 )у' + ц у + су + т2ерсо8 р - т2ер28т р = 0 (4)
(I + е2т2) р = М (р) - vр- т2е( у'со8 р - х^т р)
Предлагаемый хронометрический метод основан на определении трех последовательных интервалов времени А^ (] = 1, 2, 3) в установившемся режиме вращения ротора. В этом режиме избыточный момент двигателя в правой части последнего уравне-
ния (4) является пренебрежимо малой величиной, т.е. ф = 0, ф = O, ф = Ot [3]. Тогда первые два уравнения в (4) будут линейными и примут вид
Х' +—^— + ——— = -2— eO2cos O t
m, + m2 m, + m2 m, + m2
121212 (5)
Цy cy m2 . y + —^— +--— = -eO sinOt
m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2
Перейдем из неподвижной системы координат OX0Y0 к подвижной O^n с началом в точке O и вращающейся вместе с ротором
/ ^
x =
У y 7
í \f \ cosOt -sinOt
sin O t cos Ot
n
(6)
Если через г обозначить комплексную величину г = £ + ¡п, то из (6) следует равенство х + ¡у = ге'а. Умножая второе уравнение (5) на г и складывая с первым, получим одно комплексное дифференциальное уравнение:
г + (—ц— + 2 г о! г + Г( р2 - о2) + г о —ц— 1 г = ео2—(7)
^т1 + т2 у V т1 + т2) т1 + т2
где р2 = с/(т1 + т2) - квадрат собственной частоты консервативной системы.
Частное решение (7) определяет стационарное установившееся движение. Это будет постоянное смещение |г|, отстающее по фазе на угол у от е:
т2ео2 -цо
|г| = . 2 „ ==, У = -ц0^ (8)
с! (1- о2/р2 )2 + ц202/с2 с(1- о/р)
Особенность подвижной системы ^^ в ее жесткой связи с осью 2. Начало координат этой системы движется по окружности радиуса |г|. Кроме того, она повернута на угол у по отношению к подвижной системе и этот угол меняется с изменением о, как это следует из (8). При этом радиус-вектор е в системе занимает всегда одно
и то же угловое положение а (фиг. 2), определяемое только взаимным расположением ротора 1 и диска 10. В результате в подвижной системе радиус-вектор е постоянен, а г меняет величину и угловое положение в в зависимости от О согласно выражениям (8). Определив интервалы А— находим скорость О и углы
2 п 2пА; О = -—-; ш = ----(9)
А гх + Аг2 + А гъ т - Агх + Аг2 + А гъ
Из-за смещения оси 2 на величину |г| под действием переносной силы инерции, углы отклоняются от своих нормативных значений п, п/2, п/2, соответствующих неподвижному положению оси (точка О). Эти отклонения содержат информацию о величине и положении дисбаланса и позволяют однозначно их определить. На фиг. 3 показаны положения подвижной системы М^^, соответствующие углам поворота Угол в и величина |г| неизвестны. Их требуется определить.
Оптическая ось датчика (точка П) в неподвижной системе ОХ0У0 имеет координаты (0, Ь). Зная угол однозначно определяется положение подвижной системы относительно неподвижной для первого и последующего моментов пересечения оптической оси П. Начало счета интервала А^ соответствует углу поворота 5 - в = = ш1/2 - п/2, где 5 = ш1/2 + в - п/2, а окончание счета - углу 5 - в - = -(¥1/2 + п/2). В этот момент оптическая ось имеет координаты (0, -П1П) в подвижной системе М^^. Ортогональное преобразование координат точки П из неподвижной системы в подвижную позволяет получить первое уравнение относительно модуля |г| = г и в:
0
-П1D
f -sinу^2 -cosу^2
cosу^2 -sinу^2
(10)
(11)
r sin (у^2- в) L + r cos (у^2- в)
При дальнейшем повороте на угол у2 ось пересечет точку D. В этот момент ее координаты равны (£1D, 0), а соответствующее ортогональное преобразование имеет вид:
r -sin (у1/2 + у2) -cos (V1/2 + у2 ) If r sin (у 1/2 + у 2 - в) Л
cos(у1/2 + у2) -sin(у 1/2 + у2) L + rcos(у1/2 + у2- в)
Матричное уравнение соответствует двум алгебраическим уравнениям, каждое из которых выражает теорему синусов в треугольнике OWD (фиг. 3) и поэтому уравнения зависимы. Выбирается одно, с нулевой левой частью. В итоге два матричных уравнения (10) и (11) дают два уравнения относительно r и в:
r cos в = -L cos (у1/2), r sin в = -L sin (у1/2 + у2) (12)
Их решение имеет вид
0
f sin (у^2 + у2 ^ в = arctg I -
r = r
22 = L„Jcos (у 1/2) + sin (у1/2 + у2)
(13)
Л cos (y^2) /
Угол в определяется из (13) неоднозначно. Однако фактические значения углов y1; y2 и y3 позволяют его доопределить. Например, если r находится в первом квадранте подвижной системы то y1 > п, y2 < п/2, y3 < п/2, если во втором, то y1 < п, y2 > п/2, y3 > п/2.
Применение метода упрощается, если подвижная система координат W^1n1 будет не ортогональной и ее оси будут образовывать две связанные координатные системы W^1n1 и W^1n2 с произвольными, но известными углами а1 и а2 (фиг. 4). Углы а1 и а2 определяются предварительно хронометрическим методом (формула 9). Для этого платформа закрепляется неподвижно, а ротору сообщается постоянная скорость. Затем платформа освобождается, приобретает подвижность и в этом состоянии определяются углы y1 и y2.
Уравнения для r и в следуют из формул преобразования координат из OX0Y0 в W^1n1 и W^1n2. Для этого введем вспомогательный угол 5. Это третий неизвестный параметр, имеющий промежуточное значение. Преобразование координат точки D из OX0Y0 в W^1n1 имеет вид (фиг. 4):
0
П1D
cos a sin (5 - в) . ,я „. cos a1cos (5 - в) cos(5 - в) +-:- sin(5 - в) - -
f \
-r cos 5 L - r sin 5
sin a1 sin a1
-sin(5 - в)/sina1 cos(5 - в)/sina1
Из матричного равенства следует уравнение для r, в и 5:
cos (5 - в - a1 )/r = sin (в - a1 )/L
Из условия пересечения точки D осями п2 и ^ получим еще два уравнения и система трех уравнений примет вид:
cos (5 - в + a1 )/r = sin (в - a1)/L
cos (5 - в - у1 - a2)/r = sin (в + a2)/L (14)
cos (5 - в - у1 - у2)/r = sin в/L
Система нелинейных уравнений (14) имеет точное решение относительно r, в и 5.
Погрешность определения углов a^ a2, у!, у2 непосредственно зависит от погрешности экспериментального измерения интервалов времени фотоэлектрическим методом. В ра-
боте [1] показано, что абсолютная погрешность измерения предлагаемым методом составляет порядка 10-7 с, что позволяет определять углы с точностью до 1 угловой секунды.
Дальнейший алгоритм направлен на определение величины и положения уравновешивающей массы т. Если r1 и ß1 - это результаты исходной неуравновешенности ротора, а r2 и ß2 - совместного действия с пробным грузом массой т3, то вектор r3 = r2 - r1 соответствует воздействию только пробного груза и определяется по теореме косинусов в векторном треугольнике r1, r2 и r3:
Ы = л/г1 + Г2 - 2r1r2COS(ß!- ß2)
В подвижной системе координат угол (ß1 - ß2) между векторами r1 и r2 определяется только взаимным расположением исходной неуравновешенности и пробного груза. Фазовое отставание у для r1 и для r2 будет одним и тем же при неизменной Q. Это следует из формулы (8). Поэтому разность ß1 - ß2 от у не зависит. Фазовый угол 0, на который необходимо сместить уравнове
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.