ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2010, No 2, с. 48-54
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
УДК 004.92+004.94
ИДЕАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ*
© 2010 г. О. В. Капцов
Институт вычислительного моделирования СО РАН 660036 Красноярск, Академгородок E-mail: kaptsov@icm.krasn.ru Поступила в редакцию 10.06.2009 г.
В работе рассматривается кольцо линейных дифференциальных операторов с гладкими коэффициентами, порожденное двумя дифференцированиями. Вводятся понятия операторов, замкнутых относительно коммутирования, результанта двух операторов, двумерного аналога вронскиана. Найдены достаточные условия того, что два дифференциальных оператора являются образующими левого идеала, аннулирующего конечномерное пространство функций. Конструктивно строятся дифференциальные операторы, аннулирующие заданные функции. Полученные операторы переводят решения одного дифференциального уравнения второго порядка в решения другого уравнения того же порядка.
1. ВВЕДЕНИЕ
Алгоритмические вопросы теории уравнений с частными производными являются существенной составляющей компьютерной алгебры. Конструктивные способы преобразования решений линейных уравнений с частными производными восходят к Эйлеру и Лапласу. Каскадный метод Лапласа, детально проработанный Дарбу [1], получил в последние годы развитие в работах [2-4]. Метод Эйлера, изложенный в [5], был далее развит в монографии Дарбу [1]. В последнюю четверть XX века этот подход, получивший в современной литературе название метода Дарбу, активно использовался в теории солитонов [6-8]. Однако его приложения далеко не исчерпываются солитонной тематикой [9, 10].
Первоначально Эйлер искал преобразования вида
V = М (х)(их + з(х)и), переводящие решения уравнения
ии = Е (х)ихх + С(х)их + Н (х)и
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-01-00489) и СО РАН (интеграционный проект 103).
в решения уравнения
Vtt = ^\(х>хх + С^х^х + Нх(х^.
Он получил условия, связывающие коэффициенты этих уравнений, и привел различные примеры интегрируемых уравнений с переменными коэффициентами. Значительно позднее Леви [11] несколько обобщил преобразование Эйлера, а затем Дарбу нашел преобразования
V = Ьи,
где Ь - дифференциальный оператор с частными производными произвольного порядка, переводящие решения уравнения
иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = 0
в решения аналогичного уравнения с новыми коэффициентами а\(х,у), Ъ\(х,у), е\(х,у). При этом оператор Ь выстраивался по решениям исходного уравнения.
В данной работе рассматривается кольцо Е[д\,д2] линейных дифференциальных операторов с коэффициентами из кольца гладких
функций F, заданных в области V пространства Я2, порожденное двумя дифференцированиями д\,д2- Множество операторов, аннулирующих функции п1,...,пр, образует левый идеал Апп(и1,... ,ир). Доказано, что если два оператора Ь, М (порядков п и т соответственно) аннулируют пт линейно независимых функций и1,...,ипт, то они являются образующими левого идеала Апп(и1, ...,ипт). При этом дополнительно требуется, чтобы характеристические многочлены операторов Ь, М не имели общих множителей. Показано, что два оператора порядков п и т, характеристические многочлены которых не имеют общих множителей, не могут одновременно аннулировать более пт линейно независимых функций. Если имеется уравнение второго порядка Ьи = 0 и даны его 2п
1 2п
решений и1,..., и , то можно построить оператор М порядка п, аннулирующий те же функции и1,..., и2п. Оператор М переводит решения уравнения Ьи = 0 в решения другого уравнения второго порядка, при выполнении условий теоремы. Для гиперболического уравнения второго порядка в каноническом виде подобное утверждение было доказано Дарбу [1].
2. КОЛЬЦО ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим область V пространства Я2 и коммутативное кольцо гладких (т.е. бесконечно дифференцируемых) функций F, заданных на V. Обозначим через F[д1 ,д2] кольцо дифференциальных операторов с коэффициентами из F. Произвольный оператор Ь из F[д1, д2] имеет вид
Ь = £ аг] д1 д2, (1)
г+]>0
где а^ € F, д1,д2 - частные производные по х1 и Х2 соответственно. Порядок оператора Ь обозначается втй(Ь). Множество операторов порядка не выше п образует свободный левый модуль Fn[д1,д2] над F. Число элементов базиса модуля Fn[д1,д2] будем называть размерностью. Поскольку F - коммутативное кольцо с единицей и модуль Fn[д1,д2] свободен и конечно порожден, то его размерность определена однозначно.
Пусть U - некоторое множество бесконечно дифференцируемых функций на V. Тогда множество операторов
Ann(U) = {L £ F[di,d2] : Lu = 0, Уп £ U},
аннулирующих U, является левым идеалом кольца F [di,d2].
Определение. Набором порядка p пары операторов L £ Fn[d1,d2], M £ Fk[d1,d2] назовем множество
{L,M}p = {daL, двM : \а\ + n < p, \в\ + k < p}.
Здесь и далее используются обозначения: да = = да дд^2, дв = дв1 двв2.
Операторы набора упорядочим в виде вектора LMp следующим образом. Сначала располагаются операторы 0aL, если они входят в набор. При этом оператор д1 L следует за &aL, если \а\ < \7\ или \y\ = \а\ и первая ненулевая координата вектора y — а положительна. Далее располагаются операторы двM в порядке, описанном выше. Введем еще один вектор
gradp = (1, д1, ch, д1, 8182, д%, ..., 3%),
состоящий из всех производных до порядка p. Тогда матрицей набора {L, M}p будем называть матрицу dp такую, что
[LMp] = dp[gradp].
Здесь и далее верхний индекс t означает транспонирование. Матрица dp составлена из коэффициентов операторов набора {L,M}p.
Нам понадобятся еще три вектора и одна матрица. Введем вектор
Imp = (6p-nL,..., ()aL,rf2-nL, &p-k M,..., дв M,... ,д-к M),
составленный из операторов порядка p, где \ а \ + +n = \в\ + k = p (при p < n или p < k соответствующие компоненты вектора отсутствуют), вектор LMp, который получается из lmp отбрасыванием членов, чей порядок меньше p, а также вектор
gradp = (дp,...,дp-iд2 ,...,д%),
состоящий из производных порядка p. Тогда матрицу Dp, связывающую векторы соотношением
[LMр] = Dp[gradp f,
будем называть матрицей старших коэффициентов набора {L,M}p.
Каждому оператору (1) сопоставляется однородный характеристический многочлен (главный символ оператора)
char(L) = aijtiitj2.
i+j=s
Следует заметить, что если L £ Fn[di,d2], M £ Fk[di,d2], то матрица старших коэффициентов Dn+k-i набора {L, M}n+k-i совпадает с транспонированной матрицей Сильвестра [12] характеристических многочленов char(L), char(M). Следовательно, det(Dn+k-i) равен результанту этих многочленов, т.е.
det(Dn+k-i) = Res (char (L),char(M)).
Для упрощения будем записывать результант характеристических многочленов в виде Res(L,M). Хорошо известно [13], что если результант пары однородных многочленов двух переменных не равен нулю, то эти многочлены не имеют общих множителей. Геометрически свойство Res(L, M) = 0 означает, что направления характеристик уравнений
F = 0, G = 0
не могут совпадать.
Лемма 1. Пусть имеются два оператора L £ Fn[d\, d2], M £ Fk[di, д2] такие, что Res(L, M) = 0. Тогда операторы набора {L, M}n+k-i линейно независимы над F, и матрица dn+k-i имеет максимально возможный ранг:
rank(dn+k-i) =
n(n + 1) +k(k + 1) 2 '
(2)
Доказательство. Рассмотрим последовательность чисел р0 = шш(п, к), р0 + 1, ..., п + + к — 1. Каждому числу р из этой последовательности сопоставим набор строк 1Р матрицы (1п+к-1. Эти строки состоят из коэффициентов операторов даЬ, двМ, где |а| + п = \@\ +
+к = р. Переставим наборы строк в порядке возрастания индексов: 1ро, 1р0+1,...,1п+к-1. Преобразованная матрица имеет блочно-ступенчатую структуру. "Ступенями" служат матрицы Вро, Ор0+1, ..., Оп+к-1. Каждая матрица Бр получается из матрицы Оп+к-1 отбрасыванием нескольких строк, а затем нулевых столбцов. Поскольку по условию (1еЛ(Вп+к-1) = 0, то ранг матрицы Пр равен числу строк, из которых она состоит. Количество строк матрицы (п+к-1 равно числу операторов набора {Ь, М}п+к-1, и операторы этого набора линейно независимы. Следовательно, верна формула (2).
Введем теперь двумерный аналог матрицы Вронского. Пусть выбраны произвольные гладкие в области V С К2 функции и1,... ,ир. Рассмотрим матрицу Шг (и1,..., ир), г-ая строка которой содержит все производные до порядка г от иг, т.е. имеет вид
(и'1, дщ', д2и1, д^и', дди1, д%и*,..., дг2и').
Утверждение 1. Пусть ранг матрицы Шг(и1,... ,ир) на множестве V равен р. Тогда функции и1, ...,ир линейно независимы над полем вещественных чисел К.
Доказательство. Предположим, что и1,... , ир линейно зависимы. Тогда существуют константы в1,..., ср £ К, не все равные нулю, такие, что выполнено соотношение
с1и1 + ••• + срир = 0.
Применяя к последнему равенству операторы да, где |а| < г, получаем соотношения
Yjcidaui = 0, \a\<r.
i=i
(3)
Рассматривая эти соотношения как систему линейных уравнений относительно С1, ..., ср и используя условия утверждения, заключаем, что все с1, ... , ср равны нулю. Это противоречит начальному предположению.
Утверждение 2. Пусть заданы операторы Ь £ Еп[д1, д2], М £ Ек[д1, д2] такие, что Кes(Ь,M) = 0 в области V С К2. Если при р < (п + к)(п + к + 1)/2 существуют линейно независимые решения и1,...,ир уравнений
Ьи = Ми = 0, (4)
то гапк[Шп+к-1(и1,... ,ир)] = р на V.
Доказательство. Покажем, что если в некоторой точке (х1,х2) € V выполнено неравенство тапк[Шп+к-1(и1,...,ир)] < р, то функции и1,...,ир линейно зависимы. Рассмотрим в точке (х1,х2), при т = п + к — 1, систему (3) относительно С1, • •• ,Ср. В силу предположения эта система имеет нетривиальное решение С1, • • • ,ср (с - постоянные).
Введем функцию
V = с1и1 + • • • + срир.
Согласно нашей системе, функция V и все ее производные, до порядка п + к — 1 включительно, равны нулю в точке (х1,х2). Очевидно, функция V удовлетворяет на V уравнениям (4) и их следствиям:
даЬи = двМ = 0, \а\ = к — 1
= п — 1.
Поскольку Явв(Ь, М) = 0, то эти следствия можно переписать в виде системы, разрешенной относительно всех производных порядка п + к — 1. Таким образом, функция V удовлетворяет линейной
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.