научная статья по теме ИДЕМПОТЕНТНЫЕ АНАЛОГИ ТЕОРЕМ О НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛИЗУ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ Математика

Текст научной статьи на тему «ИДЕМПОТЕНТНЫЕ АНАЛОГИ ТЕОРЕМ О НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛИЗУ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 2, с. 188-205

УДК 519.634

ИДЕМПОТЕНТНЫЕ АНАЛОГИ ТЕОРЕМ О НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛИЗУ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ1)

© 2011 г. И. А. Кондраков, А. А. Шананин

(141700Долгопрудный, М.о., Институтский пер., 9, МФТИ ГУ) e-mail: ivankondrakov@mail.ru; alexshan@yandex.ru Поступила в редакцию 06.09.2010 г.

Рассматриваются проблемы, возникающие при анализе экономической информации и использующие идемпотентные аналоги теорем о неотрицательных матрицах. Примеры таких задач возникают при анализе арбитражных цепочек на валютных рынках, при построении экономических индексов, в модели Канторовича—Макарова. В статье показано, что алгоритмы, основанные на идемпотентных аналогах теорем о неотрицательных матрицах, позволяют разработать непараметрический метод анализа фондовых и валютных рынков. Библ. 10. Фиг. 13. Табл. 2.

Ключевые слова: идемпотентный анализ, неотрицательные матрицы, анализ экономической информации, непараметрический метод анализа рынка.

В экономике высокоразвитых стран большое значение приобретает информационная индустрия, связанная с производством и использованием знаний и информации, имеющих экономическую ценность. Главная особенность информационных товаров — их сохранение в процессе использования. Будучи произведенными, они не исчезают в процессе потребления. Балансы по таким товарам описываются в терминах идемпотентной алгебры, поэтому соответствующий математический аппарат естественно сопоставлять с результатами теории неотрицательных матриц, лежащими в основе метода межотраслевого баланса Леонтьева. Идемпотентный анализ (см. [1]) позволяет изучать математические структуры, в которых вместо обычных операций на множестве вещественных чисел действуют идемпотентные операции © и О. Нам будет важен случай, когда идемпотентным сложением вещественных чисел a и b является операция a © b = = max{a, b}, а идемпотентное умножение совпадает с обычным умножением. В данной работе приводятся три задачи, в которых идемпотентные аналоги теорем о продуктивных матрицах, разложения резольвенты в ряд Неймана и Фробениуса—Перрона оказываются необходимыми для содержательного анализа. Алгоритмы, основанные на этих теоремах, позволяют рассчитывать экономические индексы Конюса, учитывающие изменение структуры покупок при изменении цен. В статье описано, как эти алгоритмы могут применяться для анализа фондовых и валютных рынков.

1. МОДЕЛЬ КАНТОРОВИЧА-МАКАРОВА

Модель предложена для анализа реализуемости крупных междисциплинарных научно-исследовательских проектов, опыт выполнения которых существовал в 60-е годы XX в. В США и СССР были успешно осуществлены ракетный и ядерный проекты. В США был успешно выполнен проект "Аполлон" высадки человека на Луну, в то время как аналогичный российский проект оказался незавершенным. Эти проекты требовали взаимодействия в процессе научных исследований из разных областей. Кроме того, развитие летательной техники потребовало создания новой автоматизированной технологии проектирования, в рамках которой требовалось организовать эффективное взаимодействие специалистов различных профилей. В модели Кан-

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 08-07-00158, 11-07-00162, 09-01-13534 офи-ц, 11-07-00162), РГНФ (№ 08-02-00347 и 11-02-00299а), программы ПФИ ОМН РАН № 3, ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 годы (мероприятия 1.2.1, НК-15 П), ПФИ Президиум РАН П-2.

торовича—Макарова предлагалось использовать для анализа реализуемости междисциплинарного исследовательского проекта опыт планирования взаимодействия между различными отраслями экономики с учетом специфики информационной продукции (научных знаний), производимой научно-исследовательскими проектами. Описание межотраслевого взаимодействия разработано в моделях Леонтьева, а необходимым математическим аппаратом является теория неотрицательных матриц. В отличие от обычных товаров, один и тот же информационный продукт может потребляться многократно различными пользователями.

Выделим в анализируемом проекте п составляющих его научно-исследовательских направлений. Будем описывать степень выполнения проекта с помощью п-мерного вектора X = (х1, ..., xn), где Ху измеряется, например, количеством денег, эффективно потраченных по у-му направлению исследований. Будем предполагать, что исследования по различным направлениям взаимосвязаны и что расходы в объеме Ху поу-му направлению эффективны при условии их согласованности с эффективными расходами по другим направлениям исследований, а именно если

а^Ху < х1, I = 1, п. (1)

Здесь коэффициенты а у > 0 отражают зависимость эффективного продвижения по у-му направлению исследований от продвижения по /-му направлению. Составленная из этих коэффициентов квадратная матрица А = ||а , . = — описывает связи между выделенными направлениями исследований. Поскольку неравенства (1) должны выполняться для всех у = 1, п , получаем, что

таха ¡;Ху < х ¡, 1= 1, п. (2)

1 = 1, п

Используя идемпотентные операции, неравенства (2) можно записать в виде

© ауХу < х, I = 1, п , (3)

1 = !,•••, п

или в векторной форме А®Х < X, где в векторной операции умножения матрицы А на вектор X обычное суммирование заменяется идемпотентным суммированием ©.

Определение 1. Будем говорить, что неотрицательная матрица А = ЦаЦ, у = — является продуктивной в идемпотентном смысле, если существует вектор X = (х1, ..., хп) > 0 такой, что выполняются неравенства (2).

Вопрос о реализуемости междисциплинарного научного проекта с выделенными направлениями исследований, связи между которыми задаются матрицей А = ||а(у||, у = — , сводится к проверке ее продуктивности в идемпотентном смысле.

2. АРБИТРАЖНЫЕ ЦЕПОЧКИ НА ВАЛЮТНЫХ РЫНКАХ

Другим примером информации в экономике являются различные виды цен, например обменные курсы валют.

Рассмотрим рынок, на котором осуществляются обмены п видов валют. Обозначим через а у количество валюты у-го вида, которое можно получить при обмене за единицу валюты /-го вида. Составленная из чисел а у > 0 матрица А = ||а(у||, у = — называется матрицей кросс-курсов и описывает состояние валютного рынка. Рассмотрим цепочку обменов (/ь /2, ..., /к), при которой единица валюты 11 обменивается на валюту /2, затем все вырученные при обмене средства обмениваются на валюту /3, и т.д.; наконец, все вырученные при обмене средства в валюте /к обмениваются на валюту ¡1. В результате всех проведенных обменов получается количество денег в валюте равное а: : а: : ... а: : а: : .

'1'2 '2' 3 ' к - 1'к 'к11

Определение 2. Будем говорить, что матрица кросс-курсов А = ||а;у||, у = 1 п допускает арбитражную цепочку (/ь /2, ..., /к), если

аиа: ¡...а! ¡а: ¡> 1.

'1'2 '2'3 'к- 1'к 'к' 1

Отметим, что если на валютном рынке котируется несколько десятков валют, проверка отсутствия арбитражных цепочек прямым перебором является сложной вычислительной задачей, так как общее число цепочек равно

скм

к _ 2

Тем не менее, как будет видно из дальнейшего, существует алгоритм полиномиальной сложности, позволяющий проверить отсутствие арбитражных цепочек.

Если арбитражные цепочки существуют, то реализация арбитражной цепочки приносит прибыль, при этом консолидированная банковская система несет финансовые потери. Реализуемая арбитражная цепочка в качестве ответной реакции вызывает изменение матрицы кросс-курсов, устраняющее этот арбитраж. Возникает проблема краткосрочных колебаний кросс-курсов, порождающих арбитражные цепочки. Устранение потерь от арбитражных цепочек может быть достигнуто за счет комиссионных сборов, взимаемых при каждом обмене пропорционально сумме подлежащей обмену. Задача о вычислении минимальной ставки комиссионных сборов, при которой отсутствуют арбитражные цепочки, ставится следующим образом: найти минимальное значение величины г такое, что для любого натурального числа к и любой цепочки обменов (¡1, ¡2, ..., ¡к) справедливо неравенство

к

а,1 а,, ... а, , а,, < г .

'1'2 '2'3 'к - 1'к 1к11

Если неравенства выполняются при г < 1, то арбитражные цепочки отсутствуют. Если неравенства выполняются при г > 1, то уменьшение выплачиваемой суммы в г раз подавляет все арбитражные цепочки.

В начале XXI в. в ведущих европейских странах происходил процесс объединения денежных систем. Национальные валюты отдельных стран заменялись общей валютной "евро". В течение нескольких лет расчеты производились в национальной валюте и в евро, хотя денежные купюры евро еще не существовали и платежи осуществлялись в национальных валютах. Почему процесс объединения денежных систем растянулся на несколько лет? Каким требованиям должны удовлетворять курсы объединяемых национальных валют по отношению к евро, чтобы объединение национальных денежных систем не порождало спекулятивных потерь?

Обозначим через XI обменный курс ¡-й национальной валюты на евро. Для этого чтобы при платежах не возникали спекулятивные потери, необходимо, чтобы обмен единицы ¡-й национальной валюты на у-ю валюту с последующим переводом в евро не давал выигрыша по сравнению с непосредственным переводом единицы ¡-й валюты в евро, т.е. вектор обменных курсов X = = (х1, ..., хи) должен быть положительным решением системы линейных неравенств:

аХ < X, О' = 1, п.

Для того чтобы такие обменные курсы на евро существовали, необходимо и достаточно, чтобы матрица кросс-курсов А = ._ — была продуктивна в идемпотентном смысле. Следующая

ниже теорема Африата—Вериана показывает, что существование таких обменных курсов X = = (х1, ..., хи) связано с отсутствием у матрицы кросс-курсов арбитражных цепочек.

3. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ АНАЛОГИ ТЕОРЕМ О НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦАХ

Теорема 1 (Африата—Вериана, см. [2], [3]). Пусть А = . _ — — положительная матрица. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) система линейных неравенств ах < х, ¡, ] = 1, п , имеет положительное решение X = (х1, ., хи) > 0;

2) для любой цепочки обменов (¡1, ¡2, ..., ¡к) справедливо неравенство

а,, а,, ...а, , а,, < 1. (4)

'1'2 121Ъ к - 11к к 1 х '

Доказательство. Покажем сначал

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком