научная статья по теме ИДЕНТИФИКАЦИЯ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ НА ОБОИХ КОНЦАХ СТРУНЫ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ КОЛЕБАНИЙ Физика

Текст научной статьи на тему «ИДЕНТИФИКАЦИЯ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ НА ОБОИХ КОНЦАХ СТРУНЫ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ КОЛЕБАНИЙ»

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 6, с. 647-655

КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН

УДК 519.624,534.1

ИДЕНТИФИКАЦИЯ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ НА ОБОИХ КОНЦАХ СТРУНЫ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ КОЛЕБАНИЙ © 2015 г. А. М. Ахтямов*, **, И. М. Утяшев**

*Башкирский государственный университет 450074 Уфа, ул. Заки Валиди 32 **Институт механики им. Р.Р. Мавлютова УНЦРАН 450054 Уфа, пр. Октября 71 E-mail: akhtyamovam@mail.ru, utyashevim@mail.ru Поступила в редакцию 05.03.2015 г.

Решена задача идентификации вида и параметров краевых условий для краевой задачи, описывающей колебания струны. Показано, что для идентификации как вида, так и параметров краевых условий достаточно двух собственных частот. Найдено множество корректности данной задачи и доказана корректность ее по Тихонову. На основе доказанной теоремы предложен метод, позволяющий отыскивать приближенные решения.

Ключевые слова: спектральная задача, идентификация закрепления, струна, условие Плюккера, собственные значения, корректность по Тихонову.

БО1: 10.7868/80320791915050019

ВВЕДЕНИЕ

Целью настоящей статьи является восстановление вида и параметров краевых условий для краевой задачи о колебаниях струны. В качестве данных восстановления используются две собственные частоты. Ранее в такой постановке задача не рассматривалась. Решалась задача идентификации параметров краевых условий Штурма по двум собственным частотам [1]. Однако в [1] вид краевых условий был известен — это условия Штурма (условия вида у'(0) - hy(0) = 0, у'(1) + Ну(1) = 0). Восстанавливались лишь неизвестные параметры Н и Н. Аналогичные задачи рассматривались также в [2— 8]. В работах [7—11] решались обратные спектральные задачи Штурма—Лиувилля. В этих работах коэффициенты краевых условий идентифицировались вместе с коэффициентами дифференциальных уравнений. Причем в качестве данных восстановления в этих работах использовалась не часть спектра, как в нашей работе, а несколько спектров или же спектр и дополнительные спектральные данные (функция Вейля, матрица Вейля, спектральная функция, весовые числа и т.п.). В [12—14] (см. также [1] и библиографию к этой работе) решались близкие задачи идентификации вида стержней, пластин и оболочек по конечному набору собственных частот. Однако соответствующая задача идентификации общих краевых условий в задаче о колебаниях струны не рассматривалась.

В [10] краевые условия представлены в виде условий Штурма у'(0) - hy(0) = 0, у'(1) + Ну(1) = 0,

где предполагается, что значения Н и Нмогут принимать значения, равные и бесконечности. Однако при решении задачи идентификации общих краевых условий такой подход не всегда приводит к верным результатам.

Действительно, для задачи о колебаниях струны с жестко закрепленными концами у" + X2 у = 0, у(0) = 0, у(1) = 0, первые собственные значения и Х2 равны п и 2п соответственно. Предположим, что вид краевых условий неизвестен, требуется по двум собственным значениям определить их. Рассмотрим данную задачу, подразумевая, что краевые условия имеют вид Штурма. Подставив собственные значения в характеристический определитель

Д(Х) = X sin(X) - h cos(X) - Hcos(X) -

hH sin(X)

получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: h + Н = 0, ^ - Н = 0. Отсюда следует, что h = -Н, т.е. система имеет бесконечное множество решений. Если исходить из физических соображений и положить что Н > 0 и Н> 0, то следует что Н = Н = 0. Тогда полученное решение соответствует граничным условиям для струны со свободными концами у'(0) = 0, у'(1) = 0. Найти же второе решение — задачу у" + X у = 0, у(0) = 0, у(1) = 0 — этот метод не позволяет.

Таким образом, если учитывать только условия Штурма, то получаем только одно решение, что является неверным. Поэтому требуется теорема о количестве решений и другой метод идентифика-

ции. Ниже соответствующая теорема и метод приведены. Прежде чем изложить эти результаты, приведем постановку прямой задачи о колебаниях струны.

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Рассмотрим колебания струны, описываемые уравнением

д 2u _ 2 д 2ы д 2t д 2x

2,2 ю l

получаем задачу Штурма—Лиувилля:

у" + Х2 у = 0, (4)

их(у) = апу'(0) - а 12у(0) = 0, (5)

и2 (у) = а2з у(1) + а24 у(1) = 0, (6)

где ап = Ьи/1, аи = Ъп, а2Ъ = Ъгъ/1, а24 = Ъ2А.

Обозначим матрицу, состоящую из коэффициентов краевых условий а у форм и1(у), и2(у), через А:

А = {а11 а12 0 0 1- (7)

^0 0 а2з а24)

Исходя из физического смысла задачи, коэффициенты матрицы А можно считать неотрицательными. Матрицу А будем называть матрицей краевых условий.

Общим решением задачи (4)—(6) является функция

y(x, X) = C1 cos(Xx) + C2-

X

Для определения констант С1, С2 используют краевые условия (5), (6). Уравнения частот получают из условия существования ненулевого решения для С. Ненулевое решение для С1 существует

А(Х) =

U2(cos(Xx)) U2

(8)

тогда и только тогда, когда не равен нулю характеристический определитель

и1(ес8(^х)) и1 (Й^М ( X

соответствующей системы (см. [17]). Преобразо вывая (8), получим

Д(Х) = 1иМХ) + (/14 + /2Ъ)/ц(Х) + ¿24/24$) = 0, (9)

(1) где/13 = X sin X, /14 = /23 = -cos X, /24 = -

sin X

X ,

а че-

с краевыми условиями на левом и правом концах [15, 16]

bnux(0, t) - bi2«(0, t) = 0, (2)

b23Ux(l,t) + b24U(l,t) = 0. (3)

В таблице представлены виды закреплений струны в зависимости от значений коэффициентов b11, b12,

b23, b24-

Прямой задачей будем называть задачу определения собственных частот колебаний струны, если известны вид краевого условия и параметры b11, b12, b23, b24. А под обратной задачей будем понимать задачу идентификации вида краевых условий из таблицы (1) и параметров b11, b12, b23, b24 по известным собственным частотам.

Сформулируем прямую и обратную задачи в терминах задачи Штурма—Лиувилля и характеристического определителя. После замены u( x, t) = y(x)cos ю?

2 2 из (1) получим —ю y(x) cos юt = a y"(x) cos ®t. Отсюда

после введения новых обозначений £, = x/l и X2 =

рез Jy = det

гйц ai ^ Va2i a2 j J

обозначен определитель, со-

ставленный из 1-го иу-го столбцов матрицы краевых условий А (обозначение /у взято из работы [9]).

Подставляя коэффициенты краевых условий, можем получить спектр собственных частот соответствующей задачи. Это будет решение прямой задачи. Тогда обратную задачу — задачу идентификации краевых условий по собственным частотам — в терминах функции (9) можно сформулировать следующим образом: коэффициенты ауу матрицы А неизвестны; ранг матрицы А равен двум; известны корни Хк характеристического определителя (9). Требуется идентифицировать матрицу А с точностью до линейных преобразований строк.

СООТНОШЕНИЕ ПЛЮККЕРА

При решении поставленной задачи будет использовано соотношение Плюккера [1, 18—21]. Покажем, как оно возникает для нашей задачи.

С помощью линейных преобразований строк, при условии /13 Ф 0, матрицу краевых условий можно представить с помощью ее определителей /:

A =

1 J23/J13 0

0 0 J

13

0

J14

(10)

Обратим внимание, что в записи матрицы А не используется определитель /24, и его можно вы-

числить: J24 =

JI! 0 J13 0 J

14

= — J14. Таким образом, для

J13

матрицы должно выполняться соотношение

Если J

24

J13J24 - J23J14 = 0. (11)

Ф — J14 (соотношение (11) не выпол-

J1

13

няется), то восстановить матрицу А по определителям /у невозможно, так как таковой не существует. Этот вывод верен не только в случае /13 Ф 0, но и в том случае, когда отличен от нуля другой из определителей /у. В зависимости от того, какой из определителей не равен нулю, матрица А имеет следующий вид:

2

a

Виды краевых условий

¥ =

N1

Рисунок.

А-[0 ^ 0 г ], при '.4- 0, С2)

V0 0 У 13 У 14 У

А = Г/,3//23! о 0 У, при '23- 0, (,3)

V 0 0 У 23 У 24 У

А = ^^.40^24 1 0 0 У, при '24 - 0. (14)

V 0 0 У 23 У 24 У

Нетрудно, заметить, что для всех этих матриц должно выполняться соотношение (11) и верна

Теорема 1 (соотношение Плюккера). Для того чтобы набор чисел '13, '14, '23, '24 являлся набором определителей второго порядка некоторой матрицы А размера 2 х 4 и ранга 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (11), называемое соотношением Плюккера.

Таким образом, если для матрицы краевых условий А найти ее определители '13, '14, '23, '24, то с помощью формул (10), (12), (13), (14) легко находится сама матрица, а значит и краевые условия.

ДВОЙСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Пусть Х1, Х2 являются собственными значениями соответствующей краевой задачи (4)—(6). Тогда Х1, Х2 — корни характеристического уравнения (9) [17]. Подставив эти два значения в уравнение (9), получим систему двух уравнений для отыскания четырех определителей '13, '14, '23, '24 матрицы А:

А(^) =

= ^13/13(^1) + У + J2з)fl4&l) + /24/24(^1) = 0,

АХ 2) =

= /13/13(Х 2) + (/14 + /23)/14(Х 2) + /24/24(Х 2) =

Обозначим через ¥ следующую матрицу, состоящую из коэффициентов системы (15):

(15)

(16)

(17)

'/13(^1) /14(^1) /24(^1)^

к/13(Ь2) /14(К2) /24(К2)у а через — определитель, получаемый из ¥ вычеркиванием столбца с элементом /у(Хк). Справедлива следующая теорема: Теорема 2 (о двойственности решения). Пусть Х1, Х2 являются собственными значениями задачи (4)—(6), ранг матрицы ¥равен 2. Тогда задача идентификации краевых условий имеет два решения, которые представляются в явном виде в терминах определителей

Доказательство. Обозначим определитель '13 через х, сумму '14 + '23 — через у, '24 — через z. В новых обозначениях система (15) запишется в виде

А(^) = /13(^1)^ + /14<Л1)у + /24(^1)^ = 0,

2) = 2)Х + /14<^ 2)у + />4^ 2% = 0. Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (17) представляет собой уравнение плоскости Ах + Ву + С1 = 0, проходящее через начало координат [22, с. 46] (см. рисунок), где А = /13(Х), В = =/м(Х), С = /24(Х).

Нормальный вектор плоскости, заданной первым из уравнений системы (17), есть N = (/13(Я1),

/14(^1),/24(^1)), а N2 = (/13(Х2), /^2),/м(^2)) -нормальный вектор плоскости, заданной вторым уравнением системы (17) (см. рисунок). Поскольку ранг матрицы ¥ равен 2, то эти векторы не коллине-арны (плоскости А(Х1) = 0 и А(Х2) = 0 не совпадают и не параллельны).

Обоз

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»