МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2011
УДК 539.3
© 2011 г. Н.А. АБРОСИМОВ, Н.А. КУЛИКОВА
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ВЯЗКОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ИМПУЛЬСНОГО НАГРУЖЕНИЯ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ
Предложен расчетно-экспериментальный метод идентификации материальных констант и функций определяющих соотношений вязкоупругого деформирования однородных композитных материалов, базирующийся на минимизации невязки численного и экспериментального моделирования нестационарных процессов деформации оболочек вращения, изготовленных из исследуемых материалов. Проведено тестирование развиваемого подхода и показана его адекватность на задачах определения жесткостных и реологических характеристик композитных материалов по результатам сравнительного расчетно-экспериментального анализа нестационарного деформирования сферических и цилиндрических оболочек при взрывном нагружении.
Ключевые слова: математические модели, идентификация, вязкоупругое деформирование, численные методы, импульсное нагружение.
1. Введение. Композитные материалы находят широкое применение в инженерной практике, так как позволяют создавать конструкции с уникальными весовыми, прочностными и диссипативными характеристиками, которых практически невозможно достичь использованием традиционных конструкционных материалов.
Характерная особенность конструкций из композитных материалов состоит в том, что материал и конструкция создаются одновременно, в рамках единого технологического процесса. Взаимообусловленность процессов создания конструкции, материала и технологии предопределяет новый подход к нахождению материальных параметров определяющих соотношений, основанный непосредственно на результатах комплексного экспериментально-теоретического анализа нестационарного поведения композитных элементов конструкций, выполненных из исследуемых материалов. Традиционные экспериментальные методы определения деформационных характеристик композитных материалов [1, 2] (резонансные, гистерезисные, свободных затухающих колебаний), базирующиеся на испытаниях представительских образцов, зачастую оказываются неработоспособными в связи с существенным влиянием на результаты измерений условий закрепления, способа возбуждения колебаний, неоднородности напряженно-деформированного состояния и технологических трудностей изготовления образцов. Поэтому достоверную информацию о свойствах композитных материалов можно получить лишь на основе результатов испытаний, изготовленных из них конструкций, что приводит к необходимости использования для этих целей методов идентификации.
Методы идентификации материалов и моделей применялись для нахождения эффективных упругих характеристик композитных материалов на основе статических экспериментов [3—10]. Из работ, посвященных определению физико-механических
характеристик при динамических воздействиях, можно отметить лишь экспериментальные исследования [11—13], в которых анализируются процессы деформации и определяются эффективные жесткостные и демпфирующие характеристики композитных материалов при взрывном нагружении колец, цилиндрических и полусферических оболочек.
В данной статье рассматривается развитие этих исследований, связанных с разработкой расчетно-экспериментального метода определения вязкоупругих характеристик композитных материалов в динамически нагруженных оболочках вращения, выполненных из исследуемых материалов, с целью построения адекватных моделей определяющих соотношений материалов и конструкций для последующего прогнозирования их поведения при заданных импульсных воздействиях.
2. Постановка задачи. Отнесем ортотропную оболочку вращения постоянной толщины h к системе ортогональных координат а ('' = 1, 2, 3), совпадающей с линиями главных кривизн и внешней нормалью к срединной поверхности оболочки. Здесь аь а2 — длины дуг образующей и направляющей соответственно, а а3 — нормальная координата, отсчитываемая в сторону возрастания внешней нормали к срединной поверхности оболочки. Параметры Ламе рассматриваемой системы координат равны Hl = Zl, Н2 = г(а:^2, Н3 = 1, где Z1 = 1 + klа3; Z2 = 1 + к2а3; k1, k2 — главные кривизны; л(а:) — расстояние от оси вращения до точки срединной поверхности с координатой а1.
Поскольку оболочки вращения из композитных материалов являются неоднородными, имеют низкую сдвиговую жесткость и в ряде случаев немалую толщину, то для описания их напряженно-деформированного состояния необходимо привлекать неклассические теории оболочек [14, 15]. Для этого представим компоненты вектора перемещения ui (' = 1, 3) в виде следующих разложений:
N
" п [ А 1/2
и1 (а15 аз, 0 = £и"(аь ¿)[п + -) Рп(х), -1 <х = 2аз/Л < 1
(2.1)
I = о
где ип (аь 0 — искомые функции, (п + 1/2)1/2 Р„(х) — ортонормированнные полиномы Лежандра.
Введем перемещения (2.1) в выражения осесимметричных деформаций оболочки вращения как трехмерного тела [15] и после несложных преобразований получим деформационные соотношения неклассической теории оболочек:
1
еи = —
11 ¿1
■ N п
Хои1 5а,
■п = о
п + 1
1/2
N
Рп (х) + кх £
N
п + 1
1/2
Рп (X )
п = 0
е22 = ^ ¿2
зз
1 дат [п + 1) 1/2Рп(X) + ¿2 £ + 1) 1/2рп(х)
1 п = о п = 0
= Л + ^ 1/2рп(X)
п = 1 N
(2.2)
?13 = Л £ ип(п + 1) 1/2р;(х) + 1 Г£ ди(" + 2)1/2- ¿1 £ ип(п + 2)1/2Рп(х)
п = 1 >-п = 0 п = 0
где Р'п (х) — производные от полиномов Лежандра.
и
з
Определяющие соотношения линейной теории вязкоупругости представим в виде [15, 16]:
= X' = 2' 3), 013 = —3е1
1 = 1
р(г - т)е11(т)йт
о г
(г - т)еуу(т)йт
. - С-]'
е<1 = еуУ -
( с»)г 1 -
к с\)
11 о
(2.3)
е13 = е13 -
( —» )г 1 - -I3] (г - т)е13(т)йт
[ -13) „
.^0 ,-,0 ,-,»
где , —13, , —13 — мгновенные и длительные жесткостные характеристики, кото-
1' 13 > '1
рые вычисляются через компоненты вектора
Т7-/Р0 Р» Р0 Р» Р0 Р»
Е — (Е11 , Е11 , е22 , е22 , Е33 , Е33 , —13 ,
—»3, у12, у13, у23, Р1, •••, и определяются в результате решения задачи идентифика-
N
ции, R(t) — X Р«е в" — ядро релаксации максвелловского типа.
п = 1
Для вывода уравнений движения оболочки вращения используем принцип возможных перемещений [17], который с учетом аппроксимаций (2.1) и построенных на их основе геометрических (2.2) и физических (2.3) соотношений запишется в виде:
I N п п
IX [м^+Мао; - *1 М"3+5ип+м^
0 п = 0
5(5и")
5а1
I N
+ (к1 Ми + к2МП2 + М"3)5и"3 гйа1 + |Х
0 " =0
N
+
N
.п ..т 0 п .и ..п
X АтЩ 5и1 + I X АтЩ
п
5и3
т = 0
т = 0
гйа1 -
I N
N
IX (К5и\ + ^5и"п)йа1 - X (N"5и1 + ип3)г
0 п =0
п = 0
= 0
, = 0,1
М11 = <2 |0ц12[п + 1) 1/2Рп(х)йх, М22 = | 1022^ [п + 1) 1/2Рп(X)йх
М13 = Ь |1013 ^ [п + 2) 1/2 Рп (X) йх, М13 = |1013 ^ [п + 2;) 1/2 Рп (х) йх
а
+1 [ 1) 1/2 М33 = ] °33¿1 ¿2(л + 2) Р'п(х)Ах
лп
Лп = Р
Л + ¿^Л [ ( п + 1) 2 +
2 8 (4 л2 + 8л + 3 4 л2 - 1
(л = 0, 1.....Щ
1 = р ( к 1 + к2 ) Л 2 - (л + 1 ) („ = 0, 1,..., N - 1)
а/4 я2 + 8 п + 3
22 р ¿1 к2 Л л + 3 л + 2
г + 2
(л = 0, 1,., N - 2)
8 ( 2 п + 3 )л/4 л2 + 12л + 3 А* = 0 при л Ф т, кроме т = л + 1 и т = л + 2 (т, л = 0, 1, ..., К)
К = г (л + -
К =
Г л + 1
1/2
1/2
¿1 Л) Л , ¿2 Л
" (1+ т)(1+ т)+(-1)(1 -'"Г)(1 -'¥
МУ ¿2Л
¿1 л) л , ¿2 к
"3 (1 + т)(1+ Т)+(-1 ун1 -'-у)(1 -т
Му ¿2 Л
(2.4)
N1 = Л |<л + 1) 1/2Р„(х)¿2¿х, N3 = Л |<л + 2)1/2Рп(х)¿2¿х
где X — длина образующей срединной поверхности оболочки в исходном недеформи-рованном состоянии; р — плотность материала оболочки; q¡, р, ^ (' = 1, 3) — интенсивности внешних нагрузок, действующих на внешней и внутренней поверхностях и контуре оболочки.
Вариационное уравнение динамики (2.4) описывает движение вязкоупругой композитной оболочки вращения и может быть использовано для численного решения прикладных задач с различной степенью точности в зависимости от числа членов в аппроксимирующих рядах (2.1). Применяя к (2.4) стандартную процедуру преобразования интегралов и учитывая произвольность вариации 8и" , получим систему дифференциальных неклассических уравнений движения оболочки вращения:
д(гМи) - М^ + - М> + ^ = г ¿АХ
т = 0 N
- (м^+мл2k2+М33)г+к = г £ лтит
да1 22да1
д( М)
(2.5)
да1
т=
и естественные граничные условия при а: = 0, X: М"п = N, М"13 = N3
(2.6)
п
п +
п
При интегрировании основных уравнений (2.4) или (2.5), (2.6) должны быть удовлетворены также начальные условия, которые запишутся в виде:
и"(а1, 0) = и0" (а!), и"(а1, 0) = и" ^) (/ = 1, 3, п = 0, 1, ..., И) (2.7)
где и0" (а:), и0п (а:) — моменты заданных функций и0 (аь а3), и0 (аь а3), определяемые формулами
и"(а!) = |и°(аь аз)(п + 2) Р"(х)йх, и0п(а1) = |и0(аь аз)(п + 2) Д(х)йх
-1 -1
Задача параметрической идентификации материальных констант и функций моделей вязкоупругого поведения композитных материалов ставится следующим образом. Требуется найти набор параметров (вектор) определяющих соотношений (2.3):
Е = (Ел , Е°1, ^22 , Е2 , Е°3, Е3 , , , v13, v23, Р:, ..., при которых математическая модель (2.1)—(2.7), описывающая динамическое поведение композитных вязкоупругих оболочек вращения, наилучшим образом согласуется с экспериментальными данными. Здесь под параметрами понимаются мгновенные и длительные модули упругости и сдвига, коэффициенты Пуассона и времена релаксации. В результате задача сводится к нахождению вектора коэффициентов физических уравнений, обеспечивающего в выбранной норме минимальное расстояние между расчетными и экспериментальными данными. В качестве нормы предлагается функционал, представляющий сумму среднеквадратичных отклонений характерных значений расчетных и экспериментальных перемещений и деформаций и их скоростей:
м г
ДЕ) = £| Г £ [Лц(щ - иГ) + Аги - иГ) + БЖ - ¿Г/У + В21а1 - С/] + т =15 =1'3 (2.8)
+ £ [С„(в™ - е*т)2 + См(е7 - е)2 + Би(% - *)2 + Б2(% - &)2] ]
1= 1, 2 '
где — область, занимаемая оболочкой; A2i, B1i, B2i, C1i, D1i, D2i — весовые коэф-
, т • т т . т *т •-мт *т • *т
фициенты; и, , и^ , е 1 , е 1 , и* , и* , е* , е* — характерные значения расчетных и экспериментальных перемещений, окружных и меридиональных деформаций и их
т т т т т т т
скоростей, а также соответствующие моменты времени 1ц, 111, 131, /4(-, 1и , /*,- , /*,- ,
т
¿Г* ,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.