МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. А.В. КАПЦОВ, Е.И. ШИФРИН
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПЛОСКОЙ ТРЕЩИНЫ В УПРУГОМ ТЕЛЕ С ПОМОЩЬЮ ИНВАРИАНТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Рассматривается задача идентификации плоской трещины в упругом теле по результатам статических испытаний. Показано, что плоскость трещины, ее объем при однородной нормальной нагрузке и координаты центральной точки однозначно определяются по результатам трех статических испытаний на одноосное растяжение в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Получены явные формулы, выражающие указанные характеристики трещины через соответствующие инвариантные интегралы, которые могут быть вычислены, если в упомянутых статических испытаниях измеряются усилия и перемещения на внешней границе тела. Эти формулы являются точными для задачи о трещине в безграничной упругой среде. Если учитывать ограниченность упругого тела и предположить, что характерные размеры трещины малы по сравнению с расстоянием от трещины до границы тела, то полученные формулы можно рассматривать в качестве приближенных.
1. Введение. Имеется ряд методов идентификации дефектов в упругом теле по результатам статических испытаний. Большинство из них сводится к проблеме минимизации функционала невязки между измеренными величинами и соответствующими величинами, вычисленными с помощью решения прямой задачи для тела с дефектом, описываемым некоторым набором параметров и выбранным в качестве приближения решения исходной обратной задачи. В статье [1] был предложен метод, основанный на применении принципа взаимности, который позволяет избежать решения сложных оптимизационных задач. Обобщение этого метода, основанное на применении целого класса инвариантных интегралов, было представлено в [2, 3]. Кроме того, в [2, 3] был предложен подход к получению явных формул, дающих приближенное решение задачи идентификации дефекта. В указанных работах этот подход был применен к задачам идентификации шаровой полости, а также жесткого и упругого шаровых включений. Целью данной статьи является применение развитого в [2, 3] подхода для получения явных формул, дающих решение задачи идентификации плоской трещины. Ссылки на другие подходы к решению обратных задач приведены в [2, 3].
2. Постановка задачи. Пусть односвязная область V с R3 содержит плоскую внутреннюю трещину G. Область V представляет собой однородное, изотропное, линейно упругое тело с модулем сдвига ц и коэффициентом Пуассона V. Введем декартову систему координат OX1X2X3. Предположим, что усилия, помеченные верхним индексом (/),
t(f) = (t\f) , t{{], )), приложены к внешней границе тела V, обозначаемой dV, и являются самоуравновешенными:
J t(f)(X)dS = 0, J X x t(f)(X)dS = 0, i = 1, 2, 3 (2.1)
av d v
Здесь X = (X1, X2, X3) - точка на границе dV, знак x означает векторное произведение.
Приложенные усилия порождают напряженно-деформированное состояние в теле У,
(/) (/) помечаемое также верхним индексом (/): о)! - тензор напряжений, в)! - тензор деформаций, и(/ = (и^, и(/, мэ/)) - вектор перемещений. Согласно сделанным предположениям относительно материала упругого тела У, имеют место следующие равенства
в)/)(X) = (И{](X) + /X))/2, ) = 1, 2, 3; ; = 1, 2, 3
3
е(/)(X) = £ в{{\X) (2.2)
к = 1
аЦ)(X) = 0, X = (X1, X2, Xз) е УХО
Здесь и ниже предполагается суммирование по повторяющимся индексам, 5у - символ Кронекера.
Граничные условия на внешней границе ЭУ области У имеют вид
а)/)(X)н](X) = 4/)(X), Xе ЭУ (2.3)
где нЩ = (щ^, н^, л3(^)) - единичная внешняя нормаль к границе ЭУ в точке X. Поверхность трещины предполагается свободной от усилий:
а)/)(X)NJ = 0, X е О (2.4)
Здесь N = N2, N3) - единичная нормаль к плоскости трещины О.
Предполагается, что для некоторых видов приложенных нагрузок г( / XX) на границе ЭУ измеряются как сами усилия, так и перемещения и^^. По этим данным нужно определить плоскость трещины, ее форму и расположение на этой плоскости.
Более конкретно, ниже решается следующая задача. Предполагается, что имеются результаты трех испытаний на одноосное растяжение вдоль оси X!, X2 и X3, т.е. в этих испытаниях измеряются как усилия, так и перемещения на поверхности тела. Подчеркивая тип испытаний, упругие поля, порожденные одноосными растяжениями вдоль осей координат, вместо верхнего индекса (/), использованного выше для обозначения упругого поля, порожденного произвольными приложенными усилиями № '(X), будем обозначать верхними индексами (1), (2) и (3) соответственно. Получены выражения для вектора нормали N к плоскости трещины, координат центра трещины и ее объема при однородном нормальном нагружении через инвариантные интегралы, которые могут быть вычислены по результатам указанных испытаний.
3. Методы идентификации дефектов, основанные на применении инвариантных интегралов. Напомним коротко используемый ниже для идентификации плоской трещины метод, основанный на применении инвариантных интегралов. Метод решения обратной задачи, основанный на принципе взаимности, был изложен в [1]. Идея метода заключается в следующем. Возьмем произвольное, регулярное в теле У, упругое поле,
которое будем помечать верхним индексом (г): о)^ , в^ , и(г) = (ы\г , ), и3г)). Рассмотрим интеграл
КО{/)(г) = |( ?(/)и(г) - ?(г)и(/)) ^ (3.1)
(Г) (Г)
Здесь 5 с У - замкнутая поверхность, ц (X) = о- ^н^Я), н(Т) = (щ^, н2(X), п3(Х)) -единичная внешняя нормаль к 5.
о^( X) = 2ц
V
1-2 V
е( /)(X )5;
+ в)/)( X)
Если поверхность S не содержит внутри себя дефект G, то RG( f \r) = 0. В противном случае величина RG(f\r) может отличаться от нуля и ее значение дает некоторую информацию о дефекте G. В случае, когда приложенные усилия tf и перемещения M(f) известны на поверхности тела dV, можно в качестве поверхности S выбрать dV и вычислить значения интегралов RG(f)(r) для всех известных регулярных упругих полей. В [1] показано, что с помощью надлежащего выбора регулярных упругих полей можно идентифицировать плоскую трещину в упругом теле, используя значения интегралов RG( f )(r).
В [2, 3] было предложено обобщить подход, развитый в [1], путем использования инвариантных интегралов. Известно, что для изотропного, линейно упругого тела имеют место следующие инвариантные интегралы [4]:
J. = J( WHi - tjujt i)dS, i = 1, 2, 3
S
Li = |е.д(WXkHj + tjuk - tpup, jXk)dS, i = 1, 2, 3 (3.2)
S
M = WXn - tjuj, .Х. -2t.uijdS
S
Здесь S, как и выше, замкнутая поверхность; Oj, eij и u = (u1, u2, u3) тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещений соответственно для некоторого напряженно-деформированного состояния в упругом теле; W = oklekl/2; ti = o.jHj; eijk - символ Ле-ви-Чивита.
Все определенные в (3.2) интегралы равны нулю, если поверхность S не содержит дефектов внутри себя. Если какой-либо дефект находится внутри S, то инвариантные интегралы могут отличаться от нуля и их значения дают информацию о дефекте. Таким образом, все инвариантные интегралы (3.2) могут быть использованы для идентификации дефекта аналогично тому, как используется принцип взаимности (3.1).
Обозначим инвариантные интегралы для упругого поля u(f) верхним индексом (f):
j( f), l( f), Mf). Рассмотрим инвариантные интегралы для суммы приложенного и регулярного полей и обозначим эти интегралы верхним индексом (f) + (r). Поскольку инвариантные интегралы для регулярных упругих полей равны нулю, справедливы следующие равенства:
J (f) + ( r) = J (f) + J( f) ( r) j (f) + ( r) = J (f) + J (f) ( r)
Ji = Ji + Jiint(r), Li = Li + Li int(r) (3 3)
M( f) +(r) = M( f) + м(Л( r) .
где интегралы, отвечающие взаимодействию между приложенным и регулярным упругими полями, имеют вид
Jft(r) = J(ojf)Ht - tjf)ujr) - tjr)uf)dS
S
L(ft(r) = Jeijk(°mHe<mHXkHj + juk ^ + t( )u<kP - Ц^u<'pJXk - tP ^ u^P^jXk)dS (3.4)
S
M^(r) = j(ojf)Xfr - t(f)u(r)Xi - tjr)uf X, t(f)u(r) t(r)u(f))dS
S
Интегралы (3.4) также являются инвариантными.
Если приложенные усилия г*' и перемещения и*' известны на границе дV, то все ком-
(*) (*) (*) поненты тензоров напряжений ау , деформаций ву и дисторсии иу, могут быть вычислены на границе ЭV. Таким образом, взяв поверхность Б = ЭV и выбрав регулярное упругое поле, можно вычислить все инвариантные интегралы, входящие в (3.2) и (3.4).
Следовательно, как указано в [2, 3], инвариантные интегралы (3.2) и (3.4) могут быть использованы для идентификации дефектов наряду с интегралами (3.1).
Помимо этого в [2, 3] отмечено, что в случае, когда размеры дефекта малы по сравнению с расстоянием от дефекта до границы тела дV, значения интегралов (3.1), (3.2) и (3.4) лишь незначительно отличаются от соответствующих интегралов для дефекта, расположенного в безграничном упругом пространстве. Интегралы (3.1), (3.2) и (3.4) для безграничного упругого пространства с дефектом могут быть выражены через параметры дефекта и координаты его положения. Приравнивая значения этих интегралов, вычисленные с помощью экспериментальных данных и их выражения через параметры и координаты дефекта, получаем систему уравнений относительно неизвестных параметров обратной задачи. Такой подход позволяет в ряде случаев получить явные аналитические выражения для параметров и координат дефекта. Эти выражения являются точными для дефекта в безграничной среде, а с учетом влияния границы тела их можно рассматривать в качестве приближенных.
4. Определение нормали к плоскости трещины и нормального объема трещины. Пусть трещина занимает область О в плоскости П, N = (N1, N2, N3) - неизвестная единичная нормаль к этой плоскости. Будем предполагать, что трещина находится в безграничном упругом пространстве и рассматриваемые однородные усилия приложены на бесконечности. Приложенные усилия порождают скачки смещений на поверхности
трещины, обозначаемые [и*-1] = ([], [и*1 ], [и3Л ]). Помимо системы координат ОХ1Х2Х3 рассмотрим также декартову систему координат ОУ1У2У3, где оси У1 и У2 параллельны плоскости трещины П, а ось У3 направлена вдоль нормали N к плоскости П. Вектор скачков смещений на поверхности трещины в координатах ОУ1У2У3 имеет вид
[и( *'] = ([ и{/) ], [ ) ], [ ) ]). Здесь и ниже компоненты вектора в координатах У1У2У3
обозначают
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.