Физика атмосферы и гидросферы
Коваленко В.В., доктор технических наук, профессор
Гайдукова Е.В., кандидат технических наук, зав. лабораторией Соловьев Ф.Л., аспирант Чистяков Д.В., аспирант (Российский государственный гидрометеорологический университет)
ЧАСТИЧНО ИНФИНИТНОЕ РАСШИРЕНИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ МНОГОЛЕТНЕГО РЕЧНОГО СТОКА ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ КАТАСТРОФ
Резюме
Устойчивость вероятностного процесса формирования речного стока позволяет применять известные статистические методы обработки рядов наблюдений и назначать обеспеченные значения проектных расходов воды, необходимых в строительном проектировании. Устойчивость является также необходимым условием решения задачи о выбросах случайного процесса за заданный уровень обеспеченности. Если устойчивости нет, то подобные выбросы становятся статистически непредсказуемыми (катастрофическими в смысле потери научно-обоснованного контроля над ними). В статье показано, что, используя методы частично инфинитной гидрологии, статистическую устойчивость можно обеспечить путем расширения фазового пространства, в которое «погружается» исследуемая на устойчивость система. Часть инфинитной шумовой среды переводится в финитную часть модели, решение которой становится статистически предсказуемой.
Partially infinity expansion of phase space of model of formation of a long-term river flow for
statistically steady forecasting of catastrophes
Resume
The stability of probabilistic process of formation of a river flow allows to apply known statistical methods of processing of lines of supervision and to nominate the supplied meanings of the design charges of water necessary in building designing. The stability is also necessary condition of the decision of a task about emissions of casual process for the given level of security. If stability is not present, the similar emissions become statistically unpredictable (catastrophic in sense of loss is scientific reasonable of the control above them). In article is shown, that, using methods of a partially infinity hydrology, it is possible to supply statistical stability by expansion of phase space, in which the system, researched on stability «is immersed». The part of infinity noise environment is translated in a infinity part of model, which decision becomes statistically predicted.
Введение
Известно, что все виды многолетнего речного стока (годового, минимального и максимального) описываются асимметричными одномодальными кривыми плотности вероятности, укладывающимися в семейство кривых Пирсона, являющихся решением одноименного уравнения. На практике считается достаточным аппроксимировать кривую распределения плотности вероятности расхода воды p(Q) тремя начальными моментами mn = J Qnp(Q)dQ
(n = 1, 2, 3). Каждый из этих моментов имеет определенный геометрический и физический смысл, и в совокупности они, с достаточной для практики полнотой, характеризуют одномерную кривую.
Тем не менее, реально эмпирические кривые часто не соответствуют подобной идеализации. Из-за неустойчивости процесса формирования стока «хвосты» распределений меняются не по экспоненте (р ~ ехр(^2) —ж > 0), а по степенному закону (р ~ со^/Q(1+а) — 0,
при 0 <а< 1). Однако на практике это обстоятельство игнорируют, ссылаясь на «короткие ряды наблюдений». Это приводит к тому, что распределения с такими хвостами перестают «статистически контролировать» выбросы ординат случайного процесса в зону малых обес-печенностей. Но именно эти выбросы приводят к катастрофическим явлениям, связанных с затоплением территорий, разрушением мостов и т. п. (Речь идет не о детерминистических прогнозах подобных явлений, а об их вероятностном описании, которое становится невозможным при неустойчивости младших моментов, связанной не с «короткими рядами» или погрешностями измерений, а с физикой самого процесса формирования многолетнего стока.)
Естественно возникает задача об устойчивом статистическом описании подобных катастроф, что в данной статье предполагается сделать методами частично инфинитной гидрологии [Коваленко, 2007], т. е. путем расширения фазового пространства модели формирования стока.
Стохастическая модель формирования многолетнего стока
В речном бассейне могут существовать различные типы взаимодействия между фазовыми переменными. При годовом осреднении уравнение водного баланса имеет вид
X = Q + Е ± Аи , т. е. остаются три взаимодействующих переменных, причем расход и испарение конкурируют за ресурс (осадки X ), а изменение запасов влаги в почво-грунтах Аи (оно может входить в уравнение баланса и с плюсом, и с минусом) ведет себя более «экзотически» [Коваленко, 2009] и в данной статье рассматривается как источник шума.
Пока взаимодействие между переменными Q и Е можно интерпретировать как нейтрализм, то динамику каждой из них можно описывать линейным формирующим фильтром
йУ,
' 1 ^
V У
7 +—, а = 1, 2) (1)
и
йг
где 71 = Q, 72 = Е; к7 , т^ — коэффициент стока (испарения) и время релаксации для
стоковой и испарительной областей речного бассейна.
Статистически обобщая каждое из этих независимых уравнений (1), можно получить два уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) [Коваленко, 2009] (ниже уравнение ФПК будет записано для более общей ситуации конкурентного взаимодействия), в коэффициенты сноса которых входят слагаемые, определяющие устойчивость моментов: (с7 - 0.5С~ ), где
I 7
G~ — интенсивность шума. В данном случае с7 = с7 + с7 (сумма математического ожида-
Г/ 111
ния и белого шума). Пока G~ << с7 , обе предметные области (стоковая и испарительная) могут формально рассматриваться как независимые друг от друга (тип взаимодействия — нейтрализм — в том смысле, что в модель (1), а значит и в уравнения ФПК, фазовые переменные Q и Е входят таким образом, что система (1) является «развязанной» по этим переменным, т. е. фактически это два независимых друг от друга уравнения). Однако в случае отсутствия устойчивости моментов (при G~ ~ с^ ) надо учитывать их влияние друг на друга явным образом. (В исходной модели (1), а значит в уравнениях ФПК для р^) и р(Е), это влияние неявно присутствует, так как, например, коэффициент стока kQ зависит от испарения, но он
через параметр CQ и интенсивность его шумовой составляющей G~Q считается известным и
задается их численными значениями.) Учитывая, что к® = Q|(® + Е), кЕ = Е/(® + Е), уравнение (1) становится уже системой (уравнений) в прямом смысле этого слова, а значит отражает свойство реальной физической (гидрометеорологической) системы. Введение в нее аддитивных ( N = N + N = XДу. + X/ту ) и мультипликативных ( с' = С' + С' = 1/к' ту +1/'' С ) шумов с интенсивностями О' , , 0('~~ делает систему стохастической. (Заметим, что
мультипликативные шумы появляются в основном за счет игнорирования запасов воды в почво-грунтах Аи,; если время релаксации ту считают заданной константой, то в отсутствии
Аи и других конкурентов за ресурс система уравнений стала бы мультипликативно финитной и остались бы одни аддитивные составляющие.)
Полученная таким образом зашумленная система, статистически эквивалентна уравнению ФПК для совместной плотности вероятности р(®, Е; 1) :
др(®, Е; 1) = ^ д(АР) + 1 ^ д\Bjp-) (2)
а £ д® 2 ¿1 да, д®/ К)
где = 0; ®2 = Е ; коэффициенты сноса А, и диффузии В^ определяются формулами:
А® =-(с'- )(а + Е) - 0.50', + N;
Ае = -(сЕ - 0.50~е)(® + Е) - 0.50'^ + N ; Ва = ОТ а2 - 20' с + в'~ ;
а CQNQ N0 '
ВЕ = ОТ Е2 - 20' с + О'с
Е СЕ CENE NE
(подробности см. [Коваленко, 2009])
Таким образом, мы расширили фазовое пространство модели формирования стока, заменив нейтрализм переменных ® и Е на конкуренцию. (На самом деле в реальности в стартовой позиции мы имеем не два независимых уравнения (1), а одно — для расхода. На вопрос, сколько еще таких «нейтральных» переменных «затаилось» в тени, отвечает так называемая фрактальная диагностика [Коваленко, Гайдукова, Куасси, 2007]. А то, что в данном случае это будет конкретно испарение, вообще формализовано никто ответить не может. (Это вопрос «здравого смысла», интуиции, практического опыта и других, не рационализируемых математически, понятий — поэтому эта методология и носит название «частично инфинит-ной».) Подобное расширение делает хвост двумерного распределения тонким, а описание эволюции двумерного распределения устойчивым. Поэтому выбросы (катастрофы) становятся статистически предсказуемыми.
Аргументация достоверности предлагаемых решений
Для чего мы вводим новую фазовую переменную Е ? Чтобы ликвидировать толстый хвост (т. е. неустойчивость по дисперсии) у распределения р(® . Следовательно, мы должны убедиться, что распределение р®, Е; I) имеет тонкий (но двумерный) хвост. Для этого
надо показать, что в расширенной системе процесс формирования распределения устойчив по моментам. Это означает сжимаемость частично инфинитной среды для двумерного распределения: д\\А = ^ЗДУдQi < 0 (в случае одномерной переменной Q1 = Q может иметь дА/ дQ — 0, что и приводит к неустойчивости).
Исходя из представленных выше выражений для коэффициентов сноса к уравнению (2), имеем
ХаудQ = -с - 0.50-,) - (сЕ - 0.50-). (3)
Но что такое с^у и с'е? Их появление связано с влиянием возможно воздействующих на
процесс формирования стока, но не учтенных явным путем, потенциальных фазовых переменных. В нашем случае это Аи . Однако, если их учитывать явным образом, то вместо выражения (например) kQ = Q| (^ + Е) надо написать к'й = Q| ^ + Е + Аи). С этого момента у
нас есть два пути моделирования процесса формирования вероятностного распределения.
1. Дополнить систему явно учитываемой третьей фазовой переменной ( А и ) и перейти к модели ФПК для трехмерного распределения р^, Е, Аи; г) с отсутствующими (или пренебрежительно малыми) мультипликативными шумами (откуда им взяться, если для годового баланса справедливо уравнение X = Q + Е ± Аи ?) В этом случае отсутствие мультипликативных шумов гарантирует, что Л1\А < 0 .
2. Если считать, что величина А и известна, то включить ее во внешнее воздействие с нормой, стремящейся к ну
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.