АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 2, с. 181-188
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.113
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ВИДА И ПАРАМЕТРОВ ЗАКРЕПЛЕНИЯ СТЕРЖНЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ ЕГО КОЛЕБАНИЙ
© 2008 г. A. M. Ахтямов, Л. С. Ямилова, А. В. Муфтахов*
Институт механики Уфимского научного центра РАН450054 г. Уфа, пр. Октября, 71 *Израиль, Рамат-Ган, Бар Ирланский университет E-mail: AkhtyamovAM@mail.ru Поступила в редакцию 1.02.07 г.
Стержень может быть закреплен по-разному. Если концы стержня недоступны для визуального осмотра, то возникает вопрос: возможно ли определить вид и параметры их закрепления по звучанию колебаний, вызванных ударом по стержню. В связи с этим вопросом одной из возможных постановок задач является следующая: идентифицировать вид и параметры закрепления обоих концов однородного стержня по собственным частотам его колебаний. Другими словами, задача состоит в следующем: определить вид закрепления каждого из концов однородного стержня (заделка, свободное опирание, упругое опирание, упругая заделка, плавающая заделка, свободный конец) и его параметры (коэффициенты жесткости пружинок при упругом закреплении). Показана двойственность и устойчивость решения этой задачи. Найден метод решения этой задачи по 9 собственным частотам. Приведены результаты численных экспериментов восстановления по 9 собственным значениям различных видов закреплений.
PACS: 43.20.Ks
В настоящей статье дается ответ на вопрос о том, можно ли по собственным частотам колебаний определить вид и параметры закрепления однородного стержня на обоих его концах. Близкие проблемы решались в работах [1]-[7]. В отличие от этих и им подобных работ, в настоящей работе отыскиваются не форма области, размеры объекта, его местоположение или состояние, а вид его закрепления.
Отличаются рассматриваемая задача и от классических обратных спектральных задач. В обратных спектральных задачах (см., например, [8, 9, 10] и библиографию к ним) требуется восстановить коэффициенты дифференциального уравнения и краевых условий. Однако в этих работах в качестве данных восстановления краевых условий используется не один спектр (как в настоящей работе), а несколько спектров или же другие дополнительные спектральные данные (например, спектральная функция, функция Вейля, или так называемые весовые числа). К тому же основной целью этих работ является восстановление коэффициентов в уравнении, а не в краевых условиях. Цель же настоящей работы состоит в восстановлении краевых условий спектральной задачи с известными коэффициентами в уравнении по части спектра.
Настоящая статья продолжает исследования авторов по диагностированию краевых условий
[11]-[16]. Наиболее близка она работам [11, 16]. В [11] были найдены два метода определения вида и параметров закрепления одного из концов стержня по собственным частотам. Настоящая статья отличается от [11] тем, что в ней определяются вид и параметры закрепления обоих концов стержня. Решение этой задачи труднее, так как, во-первых, приходится находить четыре, а не два краевых условия как в работе [11] и, во-вторых, приходится доказывать двойственность решения задачи, а не единственность. Доказательство двойственности решения задачи определения вида и параметров закрепления обоих концов стержня близко доказательству двойственности решения аналогичной задачи для противоположных краев прямоугольной пластины, приведенному в [16]. Отличия состоят в различии самих уравнений колебаний и краевых условий, а также некотором различии подходов к решению задачи. Дело в том, что под отысканием краевых условий в настоящей статье понимается восстановление матрицы из коэффициентов краевых условий с точностью до линейной эквивалентности, а в работе [16] - восстановление линейных оболочек, построенных на векторах из коэффициентов каждого краевого условия. Подход, использованный в настоящей статье, оказывается более удобным. Он облегчает понимание и упрощает изложение.
Перед изложением основных результатов напомним, что уравнение изгибных колебаний од-
нородного стержня с постоянной жесткостью на изгиб имеет вид:
EI
д4 U( х, р + рЕд 2 U( х, t) = 0, д х4 д t2
где U(х, t) - прогиб текущей точки оси стержня, EI - изгибная жесткость стержня, р - плотность стержня, F - площадь поперечного сечения стержня.
Задача об изгибных колебаниях стержня заменой U(х, ^ = у(х)ооъ Ш сводится к следующей спектральной задаче:
(4) л 4
у = Х y,
U 1( у) = ax у (0) + a4 у'"(0) = 0, U 2 (У) = - a2 у' (0) + aз у" (0) = 0, Uз (У) = - a5 У (l) + a8 у'"(l) = 0, U4( У) = a6 У' (l) + a7 У" (l) = 0,
(1) (2)
(3)
где Х4 = рFю2/a, а = EI. Коэффициенты as, s = 1, 8 характеризуют вид закрепления стержня (заделка, свободное опирание, свободный край, плавающая заделка, упругое закрепление) и параметры упругого закрепления [17].
Пусть A - матрица, составленная из коэффициентов as форм (2), (3); а Mijkn (г,], к, п = 1, 8) - миноры четвертого порядка матрицы А, составленные из ее столбцов с номерами г,ц, к, п:
А =
а1 0 0 а4 0 0 0 0 0 -а2 а3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -а5 0 0 а8
0 0
0 0 0 а6 а7 0
(4)
МЦкп = ±ага}акап^
Ниже будет показана двойственность решения поставленной задачи нахождения матрицы А. Двойственность решения задачи означает, что решений ровно два (т.е. то, что кроме двух "симметричных" видов закреплений однородного стержня других закреплений с таким же спектром частот не бывает).
Для доказательства двойственности решения поставленной задачи, наряду с задачей (1)-(3) рассмотрим следующую спектральную задачу:
(4) л 4
у' = Х У, ¿>1( У) = Ь1 у (0) + Ь4 у'"(0) = 0, и 2 (у) = - Ь2 у' (0) + Ьз у" (0) = 0, из( у) = - Ь5 у (I) + Ь8 у'"(I) = 0, и4( у) = Ьб у' (I) + Ь7 у" (I) = 0.
(5)
(6)
(7)
Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов Ь. форм (6), (7) через В, а ее миноры -
через Мijkl:
В =
Ь1 0 0 Ь4 0 0 0 0 0 -Ь2 Ь3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -Ь5 0 0 Ь8 0 0 0 0 0 Ь6 Ь7 0
Мцы = ±ЬiЬjЬkЬп ■ Введем в рассмотрение также следующую матрицу:
В =
гцкп
С учетом введенных обозначений обратная задача формулируется следующим образом: коэффициенты а., . = 1, 8 форм и1 (у), I = 1,4 задачи (1)—(3) неизвестны; гапкА = 4; известны собственные значения Хт задачи (1)-(3). Требуется найти матрицу А вида (4) с точностью до линейных эквивалентных матриц.
Заметим, что одно и то же краевое условие может иметь совершенно разные коэффициенты. Например, коэффициент а1 для условий у(0) = 0 и 5у(0) = 0 не одинаков. В первом случае это 1, а во втором - это 5. Однако эти коэффициенты соответствуют одному и тому же краевому условию. Именно поэтому задача нахождения краевых условий состоит в поиске матрицы из коэффициентов с точностью до линейной эквивалентности, а не в поиске самих коэффициентов.
Ь5 0 0 Ь8 0 0 0 0 0 -Ь6 Ь7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -Ь1 0 0 Ь4
0 0 0 0 0
Ь2 Ьз 0
(8)
Пусть [А], [В], [В] - классы матриц, линейно эквивалентных матрицам А, В, В соответственно. Верна следующая
Теорема 1 (о двойственности решения). Пусть гапкА = гапкВ = 4. Если собственные значения задач (1)-(3) и (5)-(7) совпадают с учетом их кратно-стей, то [А] = [В] или [А] = [В].
Доказательство. Общее решение уравнения (1) имеет вид
у(х, Х) = С1У1 (х, Х) + С2У2(х, Х) + + С3у3(х, Х) + С4у4(х, Х),
где {уп(х, Х) }п = 1-4 - фундаментальная система решений уравнения (1), удовлетворяющая условиям уП-1) (0) = 5пк (5пк - символ Кронекера, п, к = 1, 4). При этом:
y1( x, X) = (cos Xx + ch Xx)/2, y2(x, X) = (sinXx + shXx)/(2X), y3 (x, X) = (-cos Xx + ch Xx) / (2 X2), y4 (x, X) = (-sin Xx + sh Xx) / (2 X3).
(10)
Для определения констант С, г = 1, 4 используем краевые условия (2), (3). Подставим (10) в краевые условия (2), (3) получим следующую систему уравнений:
С и1 () + С2 и1 (у2) + Сз и1( Уз) +
+ С4и1 (у4) = 0 I = 174
Ненулевое решение для С, существует тогда и только тогда, когда равен нулю определитель (см. [18, с. 1-16])
A(X) =
Ui(yi) Ui(y2) Ui(УЗ) Ui(y4)
U2(У1) U2(У2) U2(Уз) U2(y4)
UЗ(yi) U3(У2) UЗ(уз) U3(У4)
U4(yi) U4(у2) U4(УЗ) U4(у4)
(11)
cooтвeтcтвyющeй системы. Преобразовывая (11), получим
A(X) = Mi256 [f-(X)/X4] -
- (M2457 + M i368)[ q (X)] + M3478 [X4 f~(X)] + + ( M i278 + M3456 )[ f+ (X)] + M2468[X2 Z (X)] +
+ Mi357 [Z(X)/X2] + (Mi268 - M2456)[g+(X)/X] + (12) + (M2478- M3468)[XY(X)] + + (Mi356 - Mi257)[(X)/X3] +
+ (M3457- Mi378)[Xg"(X)] = 0,
где f ±(X) = (1 ± cos X ch X )/2, z(X) = sin X sh X, q(X) =
= cos X ch X, g±(X) = (cos X sin X ± sin X ch X )/2.
Аналогично получаем, что характеристический определитель задачи (5)-(7) имеет вид
A (X) = Мш6 [ г (X) / X4 ] -
- (М2457 + Mi368)[ q (X)] + M3478 [X4 f "(X)] +
+ ( Mi278 + M3456 )[ f+ (X)] + M2468[X2 Z (X)] + + Mi357 [Z(X)/X2] + (MMTi268 - M2456)[(X)/X] + (13) + (M2478 - M3468)[X3^+(X)] + АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 54 < 2 2008
+ (Mi355 - M1257)[я"(X)/X3] +
+ (M3457- MM1378)[X(X)] = 0.
Из свойств общей теории для линейных дифференциальных операторов следует, что Д(Х) является целой функцией (см. [18, с. 1-27]). Поскольку характеристический определитель (12) является целой функцией от X первого порядка и Д(Х) Ф 0 (по условию теоремы не каждое значение X является собственным), то из теоремы Адамара [19, с. 38], получаем, что функция Д^) восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя CeaX, где a - некоторое действительное число, а C - некоторая ненулевая постоянная. Далее, поскольку функция Д^) - четная, то a = 0.
Известно (см. [18, с. 24-27]), что нули определителя Д^) являются собственными значениями задачи (1)-(3), причем кратность нуля функции Д^) совпадает с алгебраической кратностью соответствующего собственного значения задачи (1)-(3).
Поскольку собственные значения задач (1)-(3) и (5)-(7) совпадают с учетом их алгебраической кратности, то характеристический определитель Д^) задачи (1)-(3) и характеристический определитель Д (X) задачи (5)-(7) связаны тождеством
= сД (X).
Отсюда, учитывая (12), (13), получаем (Mi256 - CM1256)[ f-(X)/X4] +
+ (C(M2457 + M1368) - (M2457 + M1368))[?(X)] + + (M3478 - CM3478)[X4f~(X)] +
+ ((M1278 + M3456) - C(M1278 + M3456))[f +(X)] + + (CM1357- M1357)[ z(X)/X2 ]
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.