МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2013
УДК 539.3:534.1
© 2013 г. А. Э. БАБАЕВ, И. В. ЯНЧЕВСКИЙ
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ И УПРАВЛЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННЫМ СОСТОЯНИЕМ АСИММЕТРИЧНОЙ ТРИМОРФНОЙ БАЛКИ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМАХ
Рассмотрена задача идентификации закона изменения во времени внешней импульсной нагрузки, действующей на асимметричную триморф-ную электроупругую балку с одновременной минимизацией ее деформированного состояния. При этом один из слоев триморфа работает в режиме прямого, второй — в режиме обратного пьезоэлектрического эффекта. Управление осуществляется в результате возбуждения пьезослоя-привода электрическим сигналом, определяемым в соответствии с одним из предложенных критериев. Решение получено с применением интегрального преобразования Лапласа по времени. В результате аналитического перехода в пространство оригиналов искомые величины находятся из системы интегральных уравнений Вольтерра. Для их вычисления использовались специальные регуляризирующие алгоритмы. Приведены результаты расчетов и их анализ.
Ключевые слова: асимметричная триморфная балка, нестационарные процессы, идентификация, управление, интегральное преобразование Лапласа.
1. Введение. Элементы конструкций, обладающие эффектом связанности электрического и механического полей, находят широкое практическое применение в различных областях техники. Прикладные аспекты использования электроупругих (пьезоке-рамических) материалов изложены в публикациях [1—3]. Основы общей теории связанной электроупругости и постановки задач данного класса приведены в монографиях [4, 5]. Необходимо отметить, что подавляющее большинство работ в этой области выполнено для случая, когда динамические процессы изменялись во времени по периодическому закону.
Среди электроупругих конструктивных элементов весьма распространенными являются тонкостенные дисковые и балочные асимметричные преобразователи би-морфного типа. Они состоят из поляризованного по толщине электроупругого (пьезо-керамического) и упругого (металлического) слоев. В работах [6, 7] получены уравнения движения дисковых биморфов, имеющих слои как одинакового, так и разного радиусов, а также построены их решения для периодических во времени процессов. К актуальным относятся задачи электроупругости, сформулированные в нестационарной постановке, что вызвано расширением функциональных возможностей пьезопре-образователей при их импульсном механическом или электрическом возбуждении. Укажем, что методы решения нестационарных задач механики сплошных сред изложены в монографиях [8, 9]. Колебания биморфной балки (полосы) рассматривались в статьях [10, 11], где получены уравнения ее движения и исследованы переходные процессы, возникающие в режимах прямого и обратного пьезоэлектрического эффектов.
В инженерной практике распространенными являются случаи, когда внешняя нагрузка, действующая на конструктивный элемент, является априори неизвестной. Ее вид может быть аппроксимирован на основании данных регистрации разностей потенциалов между электродами пьезодатчиков [12]. Кроме того, представляет интерес разработка методов управления деформированным состоянием конструктивного элемента, в частности с использованием пьезовибраторов, возбуждаемых электрическими сигналами определенных профилей.
В данной работе изложен подход, позволяющий выполнить идентификацию внешней нестационарной нагрузки, приложенной к электроупругой триморфной балке, и при этом определить форму электрического сигнала, действие которого поддерживает ее состояние близким к недеформированному.
2. Постановка задачи. Рассматривается трехслойная балка прямоугольного поперечного сечения, состоящая из упругого (металлического) и двух электроупругих (пье-зокерамических) слоев, жестко соединенных между собой. Пьезоэлементы поляризованы по толщине и расположены с одной стороны металлического слоя (асимметричный триморф, фиг. 1). Балка имеет длину 2l и ширину Ь. Толщины слоев постоянны и равны hm, hl и Здесь и далее индексом "т" обозначены геометрические и физические характеристики металлического слоя; индексами 1 и 2 — геометрические параметры соответственно внутреннего и внешнего пьезокерамических элементов пакета; индексом p — их физические характеристики. Предполагается, что пьезослои выполнены из одного материала и имеют сплошные электродированные покрытия. Электрод между пьезоэлектрическими слоями заземлен. Граничные условия соответствуют шарнирно-подвижному опиранию торцов.
Триморф возбуждается нормальной нестационарной нагрузкой p(t), равномерно распределенной в заданной области внешней поверхности металлического слоя, симметричной относительно срединного сечения балки (фиг. 1). В результате деформирования триморфа между электродированными покрытиями внешнего пьезоэлемента (датчика) возбуждается разность потенциалов V2(t) (режим прямого пьезоэлектрического эффекта). К внутреннему электроупругому слою, работающему в режиме обратного пьезоэффекта, подводится разность потенциалов V1(t), вид которой формируется исходя из принятого условия управления, позволяющего приблизить состояние три-морфа к недеформированному. Первое из них обеспечивает неподвижность центральной точки балки, второе — равенство нулю интеграла по длине балки от ее прогибов.
Задача формулируется в предположении, что разность потенциалов V2(t) между электродами пьезодатчика является известной величиной (она может быть зареги-
стрирована с применением измерительной аппаратуры), а механическая нагрузка p(t) и управляющий электрический сигнал V1(t) триморфа подлежат определению.
3. Исходные уравнения. Введем декартову систему координат хОz, ось Oz которой равноудалена от торцов балки и перпендикулярна плоскостям контакта слоев, а Ох совпадает с осью ее приведения и отстоит от плоскости контакта металлического и внутреннего (пьезокерамического) слоев на расстоянии z0 [6, 10]:
с р Н2 с тН2
¿0 = Ьс1-р-——; Нр = Н\ + Н; сР = сп^р + с^Тт; /р = ЬН„; Гт = ЬНт 2ср
где с[1, ср! — модули упругости материалов.
Действующая на балку нагрузка P(x,t) = p(t)[H(x + x0)—H(x—x0)] (Н — единичная функция Хевисайда) представима рядом Фурье
Р (х, I) = р(1)
а о + X а к(х) к=1
х0 / \ 2 • кпх0 кпх 1Ч
а0 = — ак (х) = — Бт-°со8--(3.1)
0 I У ' к п I I
Задача решается с использованием безразмерных обозначений, согласно которым продольные u0(x, 0 и поперечные w(x, 0 перемещения точек оси приведения (I = 0) и
линейные размеры отнесены к I; время I к ^¡рр12/сР; внешняя нагрузка Р к сР/1; разности потенциалов V (' = 1,2) к ср/е31Ь, где р Р = р рГр + ртРт, рр, рт — плотности материалов слоев; е31 — пьезомодуль керамики.
Уравнения движения асимметричного триморфа и граничные условия выведены на основании обобщенного принципа Гамильтона—Остроградского в рамках гипотез Кирхгофа—Лява в целом для трехслойного пакета и гипотезы о линейном изменении нормальной компоненты напряженности электрического поля по толщине каждого из пьезокерамических слоев [6, 10]. Кроме того, пренебрегаем малыми инерционными членами, имеющими порядки Н и Н (] = т, р). В результате получены два независимых уравнения относительно и0 и w [10, 12]:
д2и0/дх2 -д2и0/д12 = 0 (3.2)
д \/дх4 + в0д2 а/ д12 = Р (3.3)
р0 = ср1 У(с1 + 10 ^п/£33); с1 = ср1^р + Фт; 1р = ¿1 + 12
I = Ь - г,3)/з; ц = -1 - Н (; = 1, 2); 1т = Ь(гт -¿т = ¿0 + Нт
10 = 101 + 102; 101 = ЬН,3/12
где е33 — диэлектрическая проницаемость керамики при нулевой деформации.
Для принятого условия шарнирно-подвижного закрепления торцов балки и условия непротекания токов смещений в пьезослое-датчике выполняются следующие равенства
I
Тх\х=±1 = 0 Ах-±, =0 Мх=±, = 0 д 1 ° & 1)йх = 0
-I
где Тх — продольное усилие; М — изгибающий момент; Б — нормальная составляющая вектора индукции, которые относительно неизвестных функций и0 и ш записываются в виде [10]:
ди° дх
ТЛ ТЛ I п д2 w
= -v + V2; wx=¡ = ° ТГ
х=1 дх
= P4 (aV - aV) (3.4)
x=1
df - Lu°
Kox a2
cF£33 тл
К=I eз1F2a2 (3-5)
I = 1; a1 = г о - К/2; a2 = г о - К - ^¡2
К электродированным поверхностям внутреннего пьезокерамического слоя подводится разность потенциалов Уь форма которой выбирается с использованием одного из отмеченных ранее условий управления:
Мх=0 = о (3.6)
j wdx = ° (0 < xc < l) (3.7)
о
Начальные условия однородные (до момента времени t = 0 биморфная балка находится в состоянии покоя).
Отметим, что в соотношениях (3.4), (3.5) величина V2(t) является известной. 4. Метод решения. Задача (3.2)—(3.7) решается с использованием интегрального преобразования Лапласа по времени. В пространстве изображений с учетом нечетности продольных (u° (х, t) = —u° (-х, t)) и четности поперечных (w (х, t) = w (-х, t)) перемещений, общие решения дифференциальных уравнений (3.2) и (3.3) с привлечением разложения (3.1) имеют вид [10, 12]:
и/ (х, 5) = BL(s)s~1[e-х) - e+х)] (4.1)
wL (х, s) = ^1L(s)F1L (х, s) + a2l(s)F2L (х, s) + pL(sK (х, s) (4.2)
Здесь индексом L обозначены соответствующие трансформанты; Af(s), Af(s) и BL(s) — неизвестные функции параметра преобразования s;
^ 2 2 (х,s) = a+ X ak(х)-г-Ц; ц* = ^ (4.3)
s k=i s +И k в°1
FiL (х, s) = fiL (х, s) + f2L (х, s); f2 (х, s) = gf (х, s) + & (х, s)
ff (х, s) = 1 e y' {x's) cos y j (х, s); gf (х, s) = 1 e y (х'х) sin y ¡ (х, s) s s
y¡ (х, s) = [ + (-j] ( j = 1;2)
В результате подстановки выражений (4.1), (4.2) в условия (3.4), (3.5) получим систему четырех уравнений относительно пяти неизвестных — Af(s), Af(s), BL (s), V1L (s)
и pL(s):
х
BL(s)(i + e ~s2!) + [Ух\8) - V2\s)] = О
aIl(s)F1l (l, s) + a2l (s) f2l (l, s) + /(s)^L (l, s) = О
A^(s)F2L (l, s) - A2L(s)FL (l, s) - pL(s)4L(s) - e21 [aiV!L(s) - fl2V2L(s)j = О
s
AiL(s)F3L (l,s) - A2L(s)F4L (l,s) —BL(s)1(1 - e)V2L(s) = О
Po ai s Po e31F2a2
(4.4)
^ L (s) = Z a k (l )ц k-
k=1
(s 2 +ц k)
Г/ (х, з) = Л {[У (х, з) - /21 (х, з)] - (-1); (х, з) - gL (х, я)]} (] = 3, 4)
Представленная система (4.4) замыкается одним из следующих уравнений, полученных на основании условия управления (3.6) или (3.7):
AiL(s)FiL (О, s) + A2L(s)F2L (О, s) + /(s)^L (О, s) = О AiL(s)F4L (xc, s) + A2L(s)F3L (xc, s) + pL(s)^L (xc
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.