ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 2, с. 168-172
МЕХАНИКА
УДК 532.59
ИЕРАРХИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛИННЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН © 2015 г. Академик РАН Ю. И. Шокин, З. И. Федотова, Г. С. Хакимзянов
Поступило 11.12.2014 г
DOI: 10.7868/S0869565215140133
Для численного решения задач гидродинамики длинных поверхностных волн, распространяющихся в реальных водоемах, выгодно использовать приближенные модели, область применимости которых связана с характерными масштабами волнового процесса [1, 2]. Расширение круга актуальных задач, связанных с освоением прибрежных территорий, стимулирует создание новых моделей, а это, ввиду разнообразия приемов и упрощающих предположений, приводит к многообразию соответствующих этим моделям систем дифференциальных уравнений. Среди последних есть и такие, которые, формально аппроксимируя исходную задачу, не обеспечивают адекватного описания физического процесса или неудобны для численной реализации.
Целью настоящего сообщения является формирование единообразного подхода к построению длинноволновых аппроксимаций, чтобы обеспечить иерархическую цепочку уравнений мелкой воды первого и второго приближений, обладающую преемственностью физически содержательных свойств. Исследование продолжает недавние работы [3—6]. К первым работам на эту тему следует отнести [7—10] и др.
Вывод моделей мелкой воды, учитывающих дисперсию, отталкивается от уравнений Эйлера для идеальной несжимаемой жидкости на вращающейся сфере, при этом учитывается подвижность донной поверхности, а дальнейший переход по иерархии от полностью нелинейных уравнений с дисперсией в сторону упрощения происходит с наследованием важнейших свойств, в частности, законов сохранения. Полученные нелинейно-дисперсионные (НЛД) уравнения удалось записать и на плоскости, и на сфере в универсальной компактной форме, которая структурно совпадает с системой газодинамических уравнений.
Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
E-mail: GayazKhakimzyanov@gmail.com; khak@ict.nsc.ru
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА, ПРИБЛИЖЕНИЕ "ТОНКОГО СЛОЯ"
Используется сферическая система координат ОХОг с началом в центре сферы радиуса Я, вращающейся с постоянной скоростью О. Через X обо-
А П
значена долгота, а через 0 = - — ф — дополнение
( П „ „ П^ до широты ф < ф < -^ , г — радиальная координата. Предполагается, что слой воды ограничен снизу непроницаемым подвижным дном г = Я — — Н(\, 0, 0, а сверху — свободной поверхностью г = Я + п(Х, 0, ?). Из внешних сил рассматривается только сила ньютоновского притяжения g, направленная к центру вращающейся сферы. Считая толщину Н = п + Ь слоя воды малой по сравнению с Я, будем полагать, что величина g = |g| и плотность воды р постоянны во всем слое, р = 1. Математические модели длинноволновой гидродинамики выводятся здесь из уравнений Эйлера, записанных с выделением радиального направления:
(JU1 )х + (JU2) в + (JW)r = 0, V + (U • V)V + WVr + VP = S, W + U •VW + WWr + Pr = - g + S3,
(1)
где векторы U = (U1, U2) = (i , 0) и V = (Vb V2) составлены соответственно из контравариантных и ковариантных компонент "горизонтальной" составляющей вектора скорости, при этом V1 = (O + + ^)r2sin20, V2 = r2U2, через W = r обозначена радиальная компонента скорости, J = —r2sin0, S = = (0, 52), = (O + U1)2r2sin0cos0, S3 = (O +
+ U1)2rsin20 + (U2)2r, P - давление, V = f — , —
Vöi 50^
На границах слоя ставятся краевые условия (П + U • Vn - W) I r=rn = 0, P\r = = 0, (ht + U •Vh + W) | r = = 0,
где гп = Я + п, гк = Я — к.
Вывод уравнений мелкой воды предполагает выделение основных масштабов. Пусть Ь, к0 — характерные размеры в "горизонтальном" и радиальном направлениях в слое, а0 — характерная амплитуда
к
к
волн, а = — , ц = — , 6 = — — параметры нелиней
к
Ь
Я
ности, частотной дисперсии и относительной толщины слоя воды соответственно. Безразмерные переменные определим соотношениями:
(г, е-) = М, (к\ г\ н) = ,
А
п =
, =
О' =
О
ЮП
(и)- = ^, (у)' = (в = 1, 2),
Ж =
—, Р' = Р,
' §ко'
Цл^о
'п
и = (ы1, ы2) = -1- |ийт.
' н )
(3)
Используя разложение (2) с иа = и и выполняя преобразования уравнений в приближении "тонкого слоя" с точностью 0(ц2) включительно, мы приходим к замкнутой НЛД-модели, описывающей динамику длинных волн во вращающейся сферической системе координат:
Н, + V • (Ни) = 0, (4)
V, + (и • V)V + ^ = -0 Vk + 8, (5)
нн
где V = (уь у2), v1 = (О + и^Я^иПО, у2 = Я2ы2, 5 =
= (о, s2), s2 = (О + «уя^ше^е.
р = |я йт =
1 - Н
2 3
gH Н Н
-— —41 - ^42,
(6)
я(г) — распределение главной части давления Р в длинноволновом приближении по координате г (Гк < г < гл):
п(т) = g(Н- (т- Тк)) - (Н- (т- тк))42 -
где А0 = —-, 10 = Ь , ю0 = —-. Записывая уравне-
0 Я , 0 Л , 0 30 ур
ния Эйлера (1) в безразмерных переменных и отбрасывая члены порядка О(б), приходим [5] к приближению "тонкого слоя". Присоединяя обезраз-меренные краевые условия, получаем задачу с малыми параметрами а и ц, которая удобна для вывода моделей мелкой воды.
ИЕРАРХИЯ МОДЕЛЕЙ В СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Иерархическая цепочка моделей мелкой воды второго гидродинамического приближения имеет в свой вершине модель, в которой искомыми величинами являются полная глубина жидкости Н и некоторая приближающая "горизонтальную" скорость и вектор-функция иа:
и(А, е, т,,) = иа(к, е,,) + ц2 с (а, е, т,,). (2)
Например, в [11] за иа принимается "горизонтальная" скорость течения на вполне определенной поверхности г = га(А, е, 1), лежащей между дном и свободной границей, т.е. иа(А, е, 1) = и(А, е, га(А, е, 1), 1). Определившись с выбором скорости иа, получаем множество разветвлений иерархических цепочек моделей мелкой воды.
Рассмотрим одну из таких цепочек, которая получается при выборе иа в виде осредненной по толщине жидкого слоя "горизонтальной" составляющей скорости трехмерного течения:
Н2 (т - тк)
41,
41 = Б(V • и) - (V • и)2, д2 = Б2к,
Яо = п |т = Гк = gH- Н41 - Нд2,
Б = д + и •V, V • и = ^ ^ + (/оы2)е
(7)
(8)
д,
/о
/0 = -Я е.
Вывод уравнений (4), (5) использует ряд приемов, разработанных в [3—5]. Отметим, что никаких дополнительных ограничений, кроме (2), при выводе не используется, в отличие, например, от работ [3, 11], где для построения НЛД-моделей в сферической геометрии по существу использовано предположение о потенциальности исходного трехмерного течения.
Важно, что уравнение движения (5) допускает запись в виде уравнения баланса импульса в квазиконсервативной форме:
(Ну), + V • (Ни ® V) + Vр = л^к + Ни, (9)
где и ® V — тензорное произведение векторов. Уравнения (4), (9) имеют ту же структуру, что и уравнения газовой динамики, поэтому для численного решения можно применять схожие методы.
Еще одним важным свойством НЛД-модели (4), (5) является то, что она, в отличие от НЛД-модели [11], допускает в качестве своего следствия закон баланса полной энергии, согласованный с аналогичным законом для трехмерных уравнений в приближении "тонкого слоя". Под согласованностью мы имеем в виду следующее. Если в законе сохранения полной энергии трех-
0
0
т
0
0
т
к
т
к
мерной модели использовать разложение скорости по параметру ц2 и отбросить члены порядка 0(ц4), то мы приходим к такому же уравнению баланса полной энергии, который вытекает непосредственно из самих НЛД-уравнений (4), (5) после соответствующих эквивалентных преобразований:
движения этой модели сохранит вид (9), изменятся только выражения (6), (8) дляр и п0:
еИ ИН , „ ч ИН п 2,
р = ----В(Н V • и)--В Н,
2 3 У ' 2
п0 = еН - ИВ(Н V • и) - ИВ2Н.
(13)
(НЕ), + V • (иН[ Е + р)) = -ПоН.
И-
(10)
При этом в качестве выражения для полной энергии Е в НЛД-модели берется средняя по толщине слоя полная энергия трехмерного течения с учетом представления (2):
Е = К +1
И_ Н - Д2^ап2-
(11)
где кинетическая энергия К выражается через переменные НЛД-модели по формуле
К
1 Г и • и + ^
=ИI
йг =
Эта модель также допускает в качестве своего следствия уравнение баланса полной энергии, согласованное с законом баланса энергии трехмерной модели, которое имеет тот же вид (10), что и в полной НЛД-модели, только теперь кинетическая энергия вычисляется по модифицированной формуле
К = и_и + Н (V • и) ВН + Н- (V • и)2 + (вн2 . 2 2 6 2
(14)
= и—и + И(V • и) ВН + И- (V • и)2 +(-ВН-, (12)
u ■ и = (иКипб)2 + (и2К)2, = —Бк — (г — гк)(У ■ u) (^ — главная часть радиальной скорости Ж в разложении по ц2).
В случае неподвижного дна уравнение (10) принимает консервативный вид и по виду полностью совпадает с законом сохранения полной энергии в идеальном газе. Отметим, что наличие согласованного уравнения баланса полной энергии не только подтверждает физическую состоятельность НЛД-модели, но и позволяет осуществлять дополнительный контроль вычислений при использовании численных методов решения.
Далее вниз по иерархической цепочке располагаются модели мелкой воды, следующие из полной НЛД-модели (4), (9) (полученной без предположения о малости параметра а) при различных упрощающих предположениях, причем уравнение неразрывности для всех моделей имеет один и тот же вид (4). Если, например, предположить, что а = 0(ц2), и в обезразмеренных выраже-
р
ниях для осредненного давления — и относитель-
И
По
ного давления на дне — использовать равенство
Н = к' + ап', то после отбрасывания членов порядка 0(ац2), 0(а2ц2) и возвращения к размерным величинам приходим к слабодисперсионной модели в сферической геометрии. Уравнение
Пропуская описание других звеньев рассматриваемой иерархической цепочки, перейдем к ее нижнему звену - классической (бездисперсионной) модели мелкой воды на сфере. Она может быть получена, например, если в обезразмерен-ных выражениях (13) пренебречь всеми дисперсионными членами, т.е. членами порядка 0(ц2). Тогда вновь получаем ту же систему уравнений (4), (9), но с другими выражениями р и п0:
р = Ц-, По = еИ.
(15)
Для классической модели мелкой воды вид уравнения энергии (10) также останется неизменным, но теперь кинетическая энергия будет вычисляться по упрощенной формуле К = ^Ц--- .
Таким образом, выстроена иерархическа
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.