АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 1, с. 113-118
АКУСТИЧЕСКАЯ ЭКОЛОГИЯ, ^^^^^^^^^^^^ ШУМЫ И ВИБРАЦИИ
УДК 534.23
ИМПЕДАНСНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ ЗВУКА: УСЛОВНО ЛУЧШИЙ ПОГЛОТИТЕЛЬ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПАССИВНЫХ РАССЕИВАТЕЛЕЙ И ПОГЛОТИТЕЛЕЙ
© 2007 г. Ю. И. Бобровницкий
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН 101990 Москва, Малый Харитоньевский пер. 4 E-mail: bobrovni@orc.ru Поступила в редакцию 22.06.06 г.
Вводится понятие об условно лучшем поглотителе как о теле, которое, среди всех пассивных тел той же геометрии, поглощает максимальную мощность падающего поля при условии, что мощность рассеянного им звука фиксирована. Путем решения вариационной задачи найдены поверхностные импедансы условно лучшего поглотителя, определены предельные возможности пассивных рассеивателей и поглотителей звука. Построена область всех допустимых значений мощности поглощения и рассеяния произвольного пассивного тела. Для границ области выписаны аналитические формулы. Исследованы некоторые свойства условно лучших поглотителей, приведены иллюстративные примеры.
PACS: 43.20.Fn, 43.20.Tb, 43.30.Ky, 43.40.Fz, 43.55.Ev
Данная работа является продолжением статей [1, 2], посвященных новой теории рассеяния и поглощения звука упругими телами в среде. Теория основана на описании подсистем, среды и тела, с помощью импедансных характеристик. Несмотря на то, что теория рассеяния и поглощения звука является хорошо разработанной областью, публикации которой, вместе с аналогичными работами электродинамики, насчитывают несколько тысяч статей и десятки монографий (см., напр., обзоры в [1-7]), импедансный подход позволил получить ряд новых результатов общего характера. Так, в статье [1], где даны общие соотношения импедансной теории рассеяния, приведены три новые полезные представления рассеянного поля. В работе [2] импедансным методом решены задачи о наилучшем поглотителе и идеальном рассеивателе, а в работе [7] - об акустически прозрачном теле. Впервые найдены импедансные характеристики, которыми должно обладать каждое из этих тел.
Основное содержание данной статьи составляет решение сформулированной автором задачи об условно лучшем поглотителе звука. Одним из следствий полученного решения является определение предельных возможностей рассеивателей и поглотителей. Как оказалось, значения мощности поглощения и рассеяния пассивных тел не могут выходить за пределы определенной области. Ниже в статье эта область построена графически и для ее границ выписаны аналитические формулы. Полученные результаты полезны при разра-
ботке эффективных поглотителей и рассеивателей звука.
Пусть в среде, не обязательно однородной и безграничной, имеется тело (рассеиватель, поглотитель) объема V, ограниченное замкнутой поверхностью А, по которой тело контактирует со средой. Предполагается, что среда и тело описываются линейными дифференциальными уравнениями и, кроме того, в среде нет потерь, так что силы взаимодействия между телом и средой всегда направлены по нормали к поверхности А. В среде имеются сторонние источники, которые в отсутствие тела создают падающее поле давления р/х), где х - координаты точки среды. Присутствие тела искажает падающее поле на величину р.(х), называемую рассеянным полем. Сумма этих двух полей, р(х) = р(х) + р.(х), представляет полное поле дифракции. Задача рассеяния состоит в нахождении оператора связи рассеянного поля с падающим, которое считается известным, и в последующем расчете и анализе требуемых характеристик полного и рассеянного полей.
Суть импедансного метода решения задачи рассеяния заключается в описании колебаний тела и среды с помощью импедансных характеристик, определенных относительно контактной поверхности А [1, 2]. С этой целью поверхность А представляется в виде совокупности N площадок ДА„ малых волновых размеров, на которых давление и нормальная скорость могут считаться постоянными, а функции их непрерывного распределения на А могут быть заменены ^векторами.
Связь между векторами давления и скорости записывается с помощью №:^-матриц импедансов. В работе [1] показано, что для полного решения задачи рассеяния нужны три такие импедансные матрицы. Это матрица 2 поверхностных импедансов тела в вакууме, которая характеризует тело как рассеиватель и поглотитель, и две матрицы, 2 и 2г, характеризующие колебания среды. Матрица 2 является матрицей входных поверхностных импедансов объема V, заполненного средой, а матрица 2г - это матрица импедансов излучения, т.е. импедансов среды во внешности А. Если р, V, и р, V,. - это векторы сил давления и скорости соответственно для падающего и рассеянного полей, и Q и - это матрицы рассеяния (определенные как V. = Qvi,р. = 5рг), то, как показано в [1], решение задачи рассеяния может быть записано в виде следующих обобщенных формул Френеля
Q = (2Г + 2)-1 (- 2), 5 = (Уг + У)-1 (У, - 7), (1)
где У) = 2-1 это матрицы подвижностей, у = 0, I , г. Достоинство импедансного решения состоит в возможности идентифицировать поверхностные импедансы (матрицу 2) для тел, обладающих теми или иными поглощающими и/или рассеивающими свойствами. Так, в работе [2] получена им-педансная матрица наилучшего поглотителя, т.е. тела, которое среди множества всех пассивных тел данной геометрии поглощает абсолютно наибольшее количество энергии падающего поля. А в работе [7] показано, какими поверхностными импедансами должно обладать акустически прозрачное (нерассеивающее) тело и как такие импедансы могут быть реализованы практически.
В предлагаемой работе впервые, насколько известно автору, формулируется и решается задача об условно лучшем поглотителе, т.е. о таком теле, которое поглощает максимум энергии падающего звукового поля при условии, что энергия рассеянного поля фиксирована. Такая задача имеет смысл при разработке эффективных поглотителей с малым рассеянием, какие требуются, например, для улучшения параметров приемных антенн в гидроакустике или для повышения качества звучания залов в архитектурной акустике. Однако значение решения этой задачи шире: оно позволяет определить предельные возможности пассивных рассеивателей и поглотителей, вычислить поверхностные импедансы, их реализующие, а также найти область допустимых значений мощности поглощения и рассеяния тела произвольной геометрии.
Начнем со строгой постановки задачи. По определению, средние по времени мощность поглощения Ф и мощность рассеяния Е равны
Ф = —-Яе (V* р) = -4 (V* р + р *v), (2)
Е = 2яе (V* р,) = 1V *( 2* + 2г) V,. (3)
Здесь V = V, + V,, р = р, + р, = -2 {V , + 2^ц - векторы скорости и давления полного поля на поверхности А, звездочка означает эрмитово сопряжение. Задача формулируется следующим образом: найти такую импедансную матрицу тела 2, которая доставляет максимум средней мощности поглощения (2) при условии, что средняя мощность рассеяния (3) равна некоторому фиксированному значению ?0, т.е.
Ф = тах при Е = Е0. (4)
Эта задача ниже решена методом множителей Лагранжа. В соответствии с методом [8], задача (4) на условный экстремум заменяется задачей поиска обычного экстремума для функционала
/ = Ф + - Ео), (5)
где К - подлежащий определению множитель Лагранжа.
Будем считать, что К не равна нулю и бесконечности, так как случай К = 0 соответствует задаче о наилучшем поглотителе, рассмотренной в [2], а случай 1/К = 0 соответствует задаче об акустически прозрачном теле [7]. Кроме того, из рассмотрения исключается значение К =1, так как функционал (5), как нетрудно проверить с помощью (2) и (3), является в этом случае линейной функцией векторов V,, V* и потому не имеет экстремумов.
Рассматривая / в (5) как функцию рассеянного поля, считая V,, V* независимыми переменными, необходимые условия экстремума можно записать в следующем виде
э/ эф
К ^ = 0,
IV *
V *
V *
(6)
Э/ _ ЭФ . ЭЕ _ „ 5--5— + К д--0
Э V, Эvs Эvs
I = ?- ?0 =
Вычислив производные и предположив, что матрица сопротивлений излучения
Яг = 2 (2г + 2*)
(7)
неособенная (что оправдывается тем, что в реальных системах всегда присутствуют потери на излучение), систему уравнений (6) можно привести к следующему виду
(Q - уQo) VI = о, v*(Q* - уQ*) = о,
(8)
2 V* Я* V, = F0.
Здесь вектор V. заменен, по определению матрицы рассеяния (1), на Qvi, вместо множителя Лагранжа X введен параметр
У
1
1- X'
а через Я0 обозначена матрица рассеяния наилучшего поглотителя
Яо = 2 д-1 (Zl - 2*).
(9)
Напомним [2], что наилучший поглотитель имеет матрицу поверхностных импедансов, равную эрмитово сопряженной матрице импедансов излучения
2 = г* (10)
и мощность поглощения, равную
Фтах = 1 V* [К + (X + X)Д-1 (X + X)] V,, (11)
где буквой X обозначены матрицы реактансов, т.е. мнимые части соответственных импедансных матриц.
Из первых двух уравнений (8) следует, что параметр у и, следовательно, множитель Лагранжа X являются действительными скалярными величинами, а матрица рассеяния искомого тела пропорциональна матрице рассеяния (9) для наилучшего поглотителя
Я = У Яо.
(12)
Учитывая, что мощность рассеяния наилучшего поглотителя равна его мощности поглощения [2], из третьего уравнения (8) получаем значение параметра
У = ±1
Ф
1/2
(13)
Ф = ±( I Фп
) 1/2 р х) - р0.
(14)
/ =
Ф
Ф =
Ф Ф ,
(15)
получим окончательное уравнение, связывающее экстремальное значение мощности поглощения с заданным значением мощности рассеяния
ф = 24/ - /. (16)
Рассмотрев далее приращение второго порядка по Д V. функции 3 в (5) в окрестности стационарного значения (12), равное
Д3 = -т1- Д V * ДД V., 2у . г
и имея в виду положительную определенность матрицы сопротивлений излучения (7), можно заключить, что полученное стационарное значение (12)-(16) является максимальным значением 3.
Таким образом, показано, что тело с матрицей рассеяния по скорости, равной
Я = Ш.
о
(17)
где Я0 - матрица рассеяния наилучшего поглотителя (9) и / - относительная мощность рассеяния (15), среди всех тел той же геометрии, рассеивающих такую же мощность, поглощает наибольшее количество энергии падающего поля. Такое тело и есть, следовательно, условно лучший поглотитель. Его матри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.