УСПЕХИ СОВРЕМЕННОЙ БИОЛОГИИ, 2012, том 132, № 6, с. 611-624
УДК 577.31
ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЖЕСТКОГО КРЫЛА ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
И УГЛЕ АТАКИ
© 2012 г. Е.В. Романенко1, С.Г. Пушков2, В.Н. Лопатин1
1Институт проблем экологии и эволюции им. А.Н. Северцова РАН, Москва 2Летно-исследовательский институт им. М.М. Громова, Московская обл. E-mail: evromanenko33@mail.ru
Выполнены оценки индуктивного сопротивления плоского и жесткого крыла, совершающего гармонические колебания достаточно большой амплитуды при произвольном положении оси вращения. В плоской задаче получены аналитические выражения для составляющих индуктивного сопротивления через коэффициенты гидродинамических производных при гармонических изменениях угла атаки.
Ключевые слова: индуктивное сопротивление, коэффициент тяги, коэффициент мощности, жесткое крыло, моделирование.
Ранее (Пушков, Романенко, 2000; Пушков и др., 2006; Романенко, Пушков, 1998; Романенко, Пушков, 2008; Романенко и др., 2005; Романенко и др., 2007; Яошапепко, 2002) были получены расчетные формулы для оценки гидродинамических сил, развиваемых жестким крылом, колеблющимся в невязкой жидкости с произвольными амплитудами линейных и угловых колебаний и произвольным положением оси вращения. В этих формулах составляющая гидродинамических сил, обусловленная индуктивным сопротивлением крыла, определялась оценкой "сверху", т.е. по максимуму:
X <
prSv П
(1)
где S - площадь крыла, Vп - нормальная скорость крыла. Коэффициент индуктивного сопротивления определяется выражением
г 2
2ЦТ2. (2)
CXi
Показано, что выражения (1) и (2) являются достаточным приближением при расчетах про-пульсивных характеристик в случаях умеренных удлинений крыла 2 < А <5 или когда доля индуктивного сопротивления мала в общем балансе гидродинамических сил. Вместе с тем остаются вопросы погрешности используемой оценки в зависимости от формы крыла и кинематики движения. В работе (Пушков и др., 2009) получены расчетные формулы для индуктивного сопротив-
ления крыла при гармонических изменениях его угла наклона.
В этой работе мы получим расчетные формулы для случая гармонических изменений угла атаки крыла.
В данном случае, если движение крыла можно представить в виде основного движения со скоростью и0 и наложенного на него добавочного движения с малыми перемещениями и скоростями, общие выражения для проекции гидродинамических сил могут быть представлены в виде (Некрасов, 1947; Романенко, 2001; Седов, 1966):
У =-А22 ^ - С (3,
X = А22 Vп+ pvпГ - рг—м»(Vп - м*).
Здесь Г = гь| Vп - —- м*| - присоединенная
циркуляция (Пушков, Романенко, 2000), м* - эффективная вызванная скорость, обусловленная наличием за крылом вихревой пелены, Ь - хорда крыла, V п - нормальная скорость крыла, р -плотность среды, А22 - присоединенная масса крыла, - угловая скорость крыла.
Нас интересует третий член для проекции гидродинамической силы Х в выражении (3):
Xi = prbu*(vn - u*),
(4)
рассматриваемым как индуктивное сопротивление.
Следует отметить, что Х по существу является лишь составляющей индуктивного сопротивления, если его определять выражением
X* = ргЬи * I V п - —-— - и <
: ри* Г.
При определении рассматриваемой составляющей гидродинамических сил Х (4) (далее по тексту Х - индуктивное сопротивление) неизвестной величиной является скорость и*. В случае установившегося или квазистационарного движения крыла конечного размаха порождение вихревого следа определяется, главным образом, конечностью размаха крыла. Скорость и*, индуцируемая вихревым следом, по абсолютной величине мень-
ше V п. При этом для удлинений крыла 2 < А < 5 оценка индуктивного сопротивления сверху дает очень неплохие результаты.
В случае бесконечного удлинения крыла (рассматриваемая плоская задача) вихревой след порождается изменением циркуляции при наличии поперечных и угловых колебаний крыла. В данном случае значение и* может быть как больше, так и меньше V п, соответственно Х может быть как отрицательным, так и положительным (напомним, что Х - лишь часть индуктивного сопротивления). Значение скорости и* в формуле (4) может быть определено из соотношения для подъемной силы (Пушков, Романенко, 2000)
У = - А22 Vп - риГ = - А22 Vп - рПЩ Vп - —^ - и
~7Ь
(5)
и выражения для подъемной силы через коэффициенты гидродинамических производных (Белоцер ковский, 1958):
т2и ' — ~-Ь ~-Ь2\
У =
ри2 Ь
- С а
V,
- С«
V г
С ~
-С ~
(6)
2 \ 'и 1 и2 и "и2 ,
здесь и - мгновенная скорость потока, набегающего на крыло, а - угол атаки. Точка над символом обозначает производную по времени.
Приравняем правые части выражений (5) и (6)
ри2 Ь
С а п с а
2 у и ~ У и2 У и 'и- ,
Из соотношения (7) получаем решение для и* (Пушков и др., 2009):
V пЬ
■СУ
~ м7Ь \ / ~7Ь
I = -А22 Vп - рШЬ!п- — - и
(7)
па и * = V п Су'
2г
22
ЬЬ. Са.
2%и У
2 ~ 2ги У
2г 4 ргЬи
Здесь все параметры берутся в центре крыла. Для значений коэффициентов гидродинамических производных имеются известные решения (Белоцерковский, 1958).
Применим полученные соотношения для определения соответствующих составляющих силы тяги и мощности (членов, включающих индуктивное сопротивление) в случае гармонических изменений угла атаки крыла и его линейных колебаний.
Выражение для силы тяги крыла было получено ранее (Романенко, Пушков, 2008):
!Т = рб
2т
2 , 'ипсУуС + Ь1 р5Ь
;8тес - С°у-Ь2 ~8тес - ЬС~-Ь2 ~ Гус - Хс С08 Э - Си2с С08 Э 4. (8)
Здесь т* = А,22
Выражение (8) можно представить в форме коэффициентов тяги
С т С Т1 + С Т2 + С тз + С т4 + С Т5 + С тб . Для мощности получено следующее выражение 2М-с ~
(9)
2.Р V
ус г ус
рБи 0
Ср1 + С р2 + С рз + Ср4 + Ср5 + С рб + С Р7 + Ср8 + Ср9 + С
рБи 0
-Р2
-Р3
-Р4
-Р5
Р6
-Р7
-Р8
-Р9
-Р10
С
Р1Ь
где
- ^ V = А.
± ус г ус
d( V пс С08 Э)
22
VУ,
dt
рБ 2
с ас V ncvcxvyc+1 с ас -■
2А
22
' ус ^ пс ' сх ' ус
рБЬ
Ь V пс ^^ус С08 ес -
- С~- шМхс Vyc - С ~-Ь 2 Vyc 008 ес
+XicVyc sin j +
tSU2 Vyc„ . _ -C sin j
- M.c =
pSb
ma7c acUr + m,
ác b~. Ur
~íbUl
~.b Uc
U0
Здесь и далее Рхс - тяга, Гус - вертикальная сила, Мс - момент, А22 - присоединенная масса крыла, Vпс - нормальная скорость, р - плотность среды, 6С - угол между набегающим на крыло потоком и горизонтальной осью, С - коэффициент сопротивления крыла, ис - мгновенная скорость потока, набегающего на крыло, Хс - индуктивное сопротивление крыла, Ь - хорда крыла, Б - его площадь (одной стороны). Сус, Саус, СС~5', -аэродинамические производные, тУс, тУс, т т ~ - производные момента (Белоцерковский,
Отсюда получим, раскрыв выражение (10),
CT5 -
2r
U 0
■ - т.,
U0
■ - т,
U20
1958). Наличие индекса "с" означает, что величины пересчитаны к центру крыла.
Одна из составляющих коэффициента тяги, включающая индуктивное сопротивление, имеет вид
CT5 - '
2Xic cos j
psu2 '
(10)
Здесь и далее Э - угол наклона крыла к горизонтальной оси.
D1 vnc cos j + D2 vnccos j + D3
v ~ v v v Ш
nc . nc nc nc .
-cos j + D4-cos j + D5-cos j-
Uc
Uc
Uc
D6 ~ cos j + D7 cos j + D8 — cos j + Do
Uc
Uc2
v lc g , ^ ~2 q
-cos j + D10-cos j
Uc2 Uc2
. (11)
Коэффициенты 2rD1 - 2rD10 приведены в работе (Пушков и др., 2009).
Рассмотрим случай гармонических линейных колебаний бесконечного крыла и его угла атаки. В этом случае y = y0sin~t и а = a0cos ~t. (Фазовый сдвиг между линейными и угловыми колебаниями принят равным 90°). Входящие в выражение (11) переменные величины имеют вид
v nc = Vy1 cos j - U0sin j + ш.л = ac Uc, U2 = V2 + V2
w c yc r xc
Vxc = U0- <~ZX sin j, Vyc = Vy1 + Mzx cos j,
где Vy1 = y(t), ~z = j(t), y(t) - вертикальные колебания крыла. (Точка сверху над символом обозначает производную по времени). Угол наклона крыла к горизонтальной оси (j) определяется выражением
j = е1 - а1.
Угол наклона крыла не имеет индекса "c", так как он одинаков во всех точках крыла, в том числе и в точке x1 (см. рис. в работе (Пушков, Романенко, 2000)). Поэтому он определяется кинематическими параметрами именно этой точки (мгновенным углом набегающего потока i1 и углом атаки а1 в точке х1). Входящие в формулы (3) и (4) величины sinj и cos j с учетом выражения (5) и условия малости угла атаки могут быть записаны в виде:
sin j . sin е1 - a1cos е1,
cos j . cos i1 + a1sin i1.
Здесь i1 = j + а1
Vy1 U0 . y 0 ~ cos ~t
arctg-, cos i, =-, sin i, =-,
U0 1 U1 1 U1
U1 = V U 0 + (y 0 ~ )2cos2 ~t.
Выражение (11) можно представить в виде
СТ5 = СТ5 -1 + СТ5 - 2 + СТ5 - 3 + СТ5 - 4 + СТ5 - 5 + СТ5 - 6 + СТ5 - 7 + СТ5 - 8 + СТ5 - 9 + С Т5 -10 .
Члены в правой части выражения (12) в рассматриваемом случае имеют вид
V2пс008Э „ 2 У2"(Бк0)2АРх2
СТ5-1 = - 1 -:— = - 1 -, ^5-1,
Л-1 =
Ар
(2Ар + 1) а0(2АР + 1)
и20
75-1-1 - а0 75-1-2 +
а0
+
4Ар
2(2 Ар + 1) а0(2АР + 1)2
-7.
(2Ар + 1^2Ар + 1 , а0(2АР + 1)2
5-1-3
7
5-1-4
+
5-1-5
7
5-1-1
1+
16( Бк0)2 АрХ2 1.25 , 2.188
7.
а20
8 Ар (Бк0)2 X2
, а0(2АР + 1)
5-1-6
2Ар 2.461
7
5-1-7
8Ар
5-1-8
3.384
+
(2Ар + 1) (2Ар + 1)2 2.964 2.795
7■
5-1-2
1+
+
(2Ар + 1)5 (2Ар + 1)6 0.75 , 0.938
(2Ар + 1) (2Ар + 1)2 0.457 , 0.3
5-1-3
(2Ар + 1)5 (2Ар + 1)6 0.547 0.564
0.5 +
(2Ар + 1)3 2.094 + (2Ар + 1)7
+ 0.82 (2Ар + 1)3 0.16 + (2Ар + 1)7
0.349
(2Ар + 1)4
1.57 (2Ар + 1)8
+ 0.923 (2Ар + 1)4 0.075 (2Ар + 1)8
0.157
Л
5-1-4
1+
(2Ар + 1)2 (2Ар + 1)4 (2Ар + 1)6 (2Ар + 1)8 0.25 0.0625 0.0234 0.0146 0.0085
7
(2Ар + 1) (2Ар + 1)2 (2Ар + 1)3 (2Ар + 1)4 (2Ар + 1)5 0.25 , 0.1875 , 0.1172 , 0.1025
5-1-6
5-1-5
1.5 + -
1+
(2Ар + 1) (2Ар + 1)2 (2Ар + 1)3 (2Ар + 1)4 0.5 0.1094 , 0.0469 0.0286 . 0.0171
7
5-1-7
(2Ар + 1) (2Ар + 1)2 (2Ар + 1)3 (2Ар + 1)4 (2Ар + 1)5 0.2344 , 0.1538 , 0.0375 , 0.0075
0.5 + -
7
(2Ар + 1)2 (2Ар + 1)4 0.0469
5-1-8
0.5 + -
(2Ар + 1)6 (2Ар + 1)8 0.0171
/ ОпсМ, С08 Э \
СТ5-2 = - 2^ I -I = - 2^
и20
5-2
Л
аа(2АР + 1)
(2Ар + 1)2 (2Ар + 1)4
2 У2(Бк 0)2 АрХ (2Ар + 1)^(2Ар + 1)
а0(2АР + 1)2
7■
5-2?
5-1-1
2АР
5-1-2
4АР
■
5-1-5
+
_а0 2АР
■
а0(2АР + 1)
5-1-3
а0(2АР + 1)2
5-1-7
"Л-!
-8
4Ар 8Ар
Бко)2 Уо Ар
СТ5-3 = - 2кБ3
У»с ~ со8 Э
и о и с
= - 3
(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.