научная статья по теме ИНФРАКРАСНАЯ АСИМПТОТИКА ЯДРА УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И НЕЛОКАЛЬНОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ Математика

Текст научной статьи на тему «ИНФРАКРАСНАЯ АСИМПТОТИКА ЯДРА УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И НЕЛОКАЛЬНОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 143, № 3 июнь, 2005

© 2005 г. А. О. Барвинский*, Д. В. Нестеров*

ИНФРАКРАСНАЯ АСИМПТОТИКА ЯДРА УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И НЕЛОКАЛЬНОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ

Предлагается обзор новых результатов в непертурбативной теории ядра уравнения теплопроводности и его асимптотике "позднего" времени, описывающей инфракрасное поведение квантового эффективного действия для безмассовых теорий. В частности, выводится обобщение потенциала Коулмена-Вайнберга для теорий с неоднородным фоновым полем. При таком обобщении получается новое нелокальное и не-пертурбативное действие, описывающее эффекты в области перехода между внутренней частью пространства-времени и его бесконечностью. В четырехмерном пространстве эти эффекты приводят к делокализации логарифмического потенциала Коулмена-Вайнберга, в то время как в размерностях d > 4 доминирующим оказывается вклад степенной нелокальной структуры, не зависящей от параметра перенормировки. Не-пертурбативное поведение ядра уравнения теплопроводности рассматривается также для асимптотически плоского искривленного пространства-времени. В частности, анализируются конформные свойства ядра уравнения теплопроводности для случая конформно-инвариантного скалярного поля и обсуждается проблема выделения эффективного космологического члена из нелокального эффективного действия.

Ключевые слова: эффективное действие, нелокальные теории поля, разложение Швинп ра-де Витта.

1. ВВЕДЕНИЕ: ЯДРО УРАВНЕНИЯ т ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ

В настоящее время пвфоко признана важная роль нелокальных процессов в кванто вой физике. В отличие от поляризационных эффектов в вакууме при низких энергия: в массивных теориях, они характеризуют высокоэнергетические квантовые эффекты i массивных теориях или инфракрасное поведение в безмассовых теориях. Даже в моде лях с "хорошим низкоэнергетическим поведением", таких как эйнштейновская гравита ция, нелокальные явления вызывают возрастающий интерес в связи с попытками разре-

Статья написана по заказу Редколлегии.

'Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН, Москва, Россия. E-mail: barvin@lpi.ru. nesterov@lpi.ru

*

шения проблем космологической постоянной и наблюдаемого космологического ускорения с помощью нелокальных модификаций теории для больших расстояний. Эти модификации обычно требуют непертурбативного рассмотрения ввиду непертурбативных аспектов проблемы Захарова-Ван Дамма-Велтмана [1] и наличия скрытого непертурбативного масштаба длины в гравитационных моделях с дополнительными измерениями [2]. ^ ;:

С другой стороны, нелокальности также (и, более того, в основном) возникают в силу фундаментальных квантовых эффектов материальных полей или петлевых гравитационных эффектов, которые, например, могут играть важную роль в теории гравитационного излучения [3], [4] и космологии [5]. Эти механизмы возникновения нелокальностей являются альтернативой популярным феноменологическим механизмам инфракрасных модификаций, индуцированным, к примеру, бранными моделями с дополнительными измерениями [6], [7] или другими современными гравитационными сценариями [8]. Это делает непертурбативный анализ нелокальных квантовых эффектов интересным и многообещающим.

Основным инструментом для описания таких эффектов является формализм квантового эффективного действия и техника его вычисления с помощью ядра (уравнения) теплопроводности. Для теории поля общего вида его классическое действие 5 порождает обратный пропагатор - оператор линейных полевых возмущений над фоновым полем <р(х):

' , ' ' <">

Тогда квантовое эффективное действие Г[</з] следует из соответствующего классического действия как петлевое разложение по степеням Н:

с«5[¥,] Г = + ЙГыоорИ + Й2Г2.,оор[И + • ■ • • (1-2)

Несколько первых порядков этого разложения графически представлены как фейнма-новские диаграммы, в которых пропагатор - функция Грина оператора (1.1) - и соответствующие вершины вычислены на произвольном фоне ср,

Г1-.ООР = \ Тг 1п V) = \ , г2.,оор = I ^ +1 ^ . (1.3)

Однопетлевая часть (1.3) выделена в том смысле, что она не содержит явно вершин классического действия (до тех пор пока она не раскладывается по степеням фонового поля (р) и представима в виде функционального следа логарифма оператора Р( V).

В локальных теориях поля в достаточно общем случае оператор (1.1) представим в виде

и'"'"'4' = " " (1.4)

где У(х) - некоторый потенциал, а □ = д^У^и - ковариантный даламбертиан в искривленном пространстве-времени с метрикой д^.

330

А. О. ВАРВИНСКИЙ, Д. В. НЕСТЕРОВ

Весьма эффективный путь анализа фейнмановских диаграмм типа (1.3) на произвольном фоне, т.е. с произвольными метрикой и потенциалом, основан на использовании ядра теплопроводности -,-• . Л ' . • и -:

' K(slx,y) = exp(sF(V))S(x,y). (1.5)

Оно удовлетворяет уравнению теплопроводности с единичным начальным условием при s = 0,

^ 1 ^-=F(V)K(s), К( 0) =1, (1.6)

и посредством интегрирования по собственному времени позволяет вычислить основной элемент фейнмановской диаграммной техники - пропагатор оператора (1.1) ,

i roo

. G{x,v) = J^6(x,v) = - J dsK(s\x,y), , (1.7)

и в замкнутой форме - однопетлевое эффективное действие

...............Гыоор^! Г ^TrK(s), ' " ' (1.8)

' I ».ц 2 J0 8 «•-• s

'' "!tt*- " ' TiK(s) = JdxK(s\x,x). (1.9)

Эффективность использования ядра теплопроводности и метода собственного времени основана на хорошо известном и универсальном поведении K(s \х, у) для оператора второго порядка по производным общего вида (1.4) при s —> 0. Данный предел определяет ультрафиолетовые расходимости и аномалии в теории поля, перенормировку и разложение по степеням производных, лежащих в основе вакуумных поляризационных эффектов.

Наоборот, нелокальные члены возникают из вклада верхнего предела в интеграле по собственному времени (1.8), что делает асимптотику "позднего" времени Tr K(s) существенной для другого класса эффектов, включающих рождение частиц и рассеяние1^. Подынтегральное выражение - след ядра теплопроводности, с учетом его асимптотики позднего времени впервые было изучено с помощью ковариантного нелокального разложения по кривизнам в [9], [11]—[13]. Цель данной работы - дать краткий обзор этих старых результатов, а также представить некоторые последние достижения в теории ядра теплопроводности, касающиеся непертурбативных асимптотик на плоском пространст-ве-времени [14], обобщения этих результатов на искривленное пространство-время [15], а также приложение их к теории нелокального эффективного действия. • -

данной статье эффективное действие определяется в евклидовом пространстве с положи-тельно-определенной метрикой. Его приложения в физическом пространстве-времени с лоренце-вой сигнатурой основаны на методах аналитического продолжения, как, например, обычный виков-ский поворот в теории рассеяния (для in-out матричных элементов) или специальная прескрипция "запаздывания" в широком классе задач с фоновыми полями (вычисление in-in средних значений) [9], [10]. Эти методы нетривиально работают в применении к нелокальным объектам и включают как обычную теорию возмущений, так и ее частичные пересуммирования в соответствии с непер-турбативной техникой, описанной в данной статье.

¿ г 2. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СХЕМЫ о ^ И ИНФРАКРАСНОЕ ПОВЕДЕНИЕ

С целью упрощения изложения в этом разделе мы будем работать в плоском пространстве-времени с метрикой = <5М„ и только в случае необходимости кратко упомянем соответствующие изменения, учитывающие кривизну. Вместе с этим будет рассматриваться случай скалярного поля, где ядро теплопроводности (1.5) есть бискаляр-ный объект без индексов (как спиновых, так и изотопических). В этом случае поведение ядра теплопроводности при малом (собственном) времени, ответственное за перенормировку в локальной квантовой теории поля, выглядит наиболее просто:

_ K(s\X,y) = (2.1)

f2(s \х,у) —► 1, s 0, (2.2)

где d есть размерность пространства-времени. Этот квазиклассический анзан для ядра теплопроводности гарантирует стремление к ¿-функции 5(х, у) при s -» 0 и содержит всю нетривиальную информацию о потенциале V(x) в функции fl(s | х, у), которая ана-литична при s = 0. Ее разложение по степеням s лежит в основе техники локального разложения Швингера-де Витта.

2.1. Техника локального разложения Швингера-де Витта. Из уравнения теплопроводности (1.6) легко выводится набор рекуррентных уравнений для коэффициентов разложения ii(s | х, у) по малому параметру собственного времени,

оо

. '*. fi(s|x,2/) = ^an(x,y)sn, s 0. . (2.3)

n=0

Коэффициенты этого разложения играют важную роль в квантовой теории поля и в физической литературе чаше всего называются коэффициентами Швингера-де Витта. Уравнения для ап(х,у) могут быть в замкнутой форме решены для пределов совпадения ап(х, х) в терминах потенциала У(х) и его производных. Для оператора (1.4) несколько первых коэффициентов разложения при совпадающих аргументах выглядят следующим образом:

.V»:Л «о(х,х) = 1, , ..

I't.'ii

a1(x,x) = -V(x) + lR(x),

6ЩХ>' (2-4)

- а2(х, х) = + - \я{х)У{х) + 0(Д^а/3),

где мы учли вклад скаляра кривизны пространства-времени и символически обозначили квадратичный вклад тензора кривизны во второй коэффициент. Явно видно, что все эти величины являются локальными функциями коэффициентов исходного оператора и их производных. Размерность ап(х, х) в единицах обратной длины растет с ростом п и составляется из степеней размерных величин У(х), и их производных.

332

А. О. БАРВИНСКИЙ, Д. В. НЕСТЕРОВ

ИНФР

Предположим теперь, что вместо теории с оператором (1.4) мы рассматриваем теорию массивного поля с большой массой т. Это соответствует замене исходного оператора

Х\ -т2. '' Г; ;Ч (2.5)

Соответствующее ядро теплопроводности (2.1) при такой замене, очевидно, приобретает общий экспоненциальный фактор ехр(—вт2), подавляющий вклад больших значений в в интеграле по собственному времени (1.8), .ч, ■-<-. ,

K(s\x,y) =

(47rs)d/2

exp

4 s

— sin2 }Q(s | x,y).

(2.6)

Подставляя это выражение с учетом разложения (2.3) в (1.8) и почленно интегрируя получившийся ряд, мы находим однопетлевое эффективное действи

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»